Линейчатая поверхность

Поверхность, содержащая линию, проходящую через каждую точку

Определение линейчатой ​​поверхности: каждая точка лежит на прямой.

В геометрии поверхность S называется линейчатой ​​(также называемой свитком ), если через каждую точку S проходит прямая линия , лежащая на S. Примеры включают плоскость , боковую поверхность цилиндра или конуса , коническую поверхность с эллиптической направляющей , правый коноид , геликоид и касательную, развивающуюся к гладкой кривой в пространстве.

Линейчатую поверхность можно описать как множество точек, по которым проходит движущаяся прямая. Например, конус формируется путем фиксации одной точки линии при перемещении другой точки по окружности . Поверхность называется дважды линейчатой, если через каждую ее точку проходят две различные прямые, лежащие на поверхности. Гиперболический параболоид и однолистный гиперболоид представляют собой двулинейчатые поверхности. Плоскость — единственная поверхность, каждая точка которой содержит как минимум три различные линии (Фукс и Табачников, 2007).

Свойства управляемости или двойной управляемости сохраняются проективными отображениями и, следовательно, являются понятиями проективной геометрии . В алгебраической геометрии линейчатые поверхности иногда считаются поверхностями в аффинном или проективном пространстве над полем , но их также иногда рассматривают как абстрактные алгебраические поверхности без вложения в аффинное или проективное пространство, и в этом случае под «прямой линией» понимается означают аффинную или проективную прямую.

Определение и параметрическое представление

Линейчатая поверхность, созданная двумя кривыми Безье в качестве направляющих (красная, зеленая)

Двумерное дифференцируемое многообразие называется линейчатой ​​поверхностью , если оно представляет собой объединение одного параметрического семейства прямых. Линии этого семейства являются образующими линейчатой ​​поверхности.

Линейчатую поверхность можно описать параметрическим представлением вида

• (КР) . ${\displaystyle \quad \mathbf {x} (u,v)={\color {red}\mathbf {c} (u)}+v\;{\color {blue}\mathbf {r} (u)}\ ,\ v\in \mathbb {R} \ ,}$

Любая кривая с фиксированным параметром является образующей (линией), а кривая является директрисой представления. Векторы описывают направления образующих. ${\displaystyle \;v\mapsto \mathbf {x} (u_{0},v)\;}$ ${\displaystyle u=u_{0}}$ ${\displaystyle \;u\mapsto \mathbf {c} (u)\;}$ ${\displaystyle \;\mathbf {r} (u)\neq {\bf {0\;}}}$

Директриса может свернуться в точку (в случае конуса см. пример ниже).

В качестве альтернативы линейчатая поверхность (CR) может быть описана как

• (CD) ${\displaystyle \quad \mathbf {x} (u,v)=(1-v)\;{\color {red}\mathbf {c} (u)}+v\;{\color {green}\mathbf {d} (u)}\ }$

со второй директрисой . ${\displaystyle \;\mathbf {d} (u)=\mathbf {c} (u)+\mathbf {r} (u)\;}$

Альтернативно, можно начать с двух непересекающихся кривых в качестве направляющих и получить (CD) линейчатую поверхность с направлениями линий. ${\displaystyle \mathbf {c} (u),\mathbf {d} (u)}$ ${\displaystyle \;\mathbf {r} (u)=\mathbf {d} (u)-\mathbf {c} (u)\ .}$

Для построения линейчатой ​​поверхности двумя директрисами (или одной директрисой и векторами направлений линий) существенна не только геометрическая форма этих кривых, но и специальные параметрические представления их, влияющие на форму линейчатой ​​поверхности (см. примеры а). ), г)).

Для теоретических исследований представление (CR) более выгодно, поскольку параметр появляется только один раз. ${\displaystyle v}$

Примеры

цилиндр, конус

Правый круглый цилиндр

${\displaystyle \ x^{2}+y^{2}=a^{2}\ }$:

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(a\cos u,a\sin u,v)^{T}}$

${\displaystyle ={\color {red}(a\cos u,a\sin u,0)^{T}}\;+\;v\;{\color {blue}(0,0,1)^{T}}}$

${\displaystyle =(1-v)\;{\color {red}(a\cos u,a\sin u,0)^{T}}\;+\;v\;{\color {green}(a\cos u,a\sin u,1)^{T}}\ .}$

с

${\displaystyle \mathbf {c} (u)=(a\cos u,a\sin u,0)^{T}\ ,\ \mathbf {r} (u)=(0,0,1)^{T}\ ,\ \mathbf {d} (u)=(a\cos u,a\sin u,1)^{T}\ .}$

Правый круглый конус

${\displaystyle \ x^{2}+y^{2}=z^{2}\ }$:

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(\cos u,\sin u,1)^{T}\;+\;v\;(\cos u,\sin u,1)^{T}}$

${\displaystyle =(1-v)\;(\cos u,\sin u,1)^{T}\;+\;v\;(2\cos u,2\sin u,2)^{T}.}$

В этом случае можно было бы использовать вершину в качестве направляющей, т. е. и в качестве направления линии. ${\displaystyle \quad \mathbf {c} (u)=(\cos u,\sin u,1)^{T}\;=\;\mathbf {r} (u)\ ,\quad \mathbf {d} (u)=(2\cos u,2\sin u,2)^{T}\ .}$
${\displaystyle \ \mathbf {c} (u)=(0,0,0)^{T}\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {r} (u)=(\cos u,\sin u,1)^{T}\ }$

Для любого конуса в качестве направляющей можно выбрать вершину. Этот случай показывает: Направляющая линейчатой ​​поверхности может вырождаться в точку .

геликоид

геликоид

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\;(v\cos u,v\sin u,ku)^{T}\;}$

${\displaystyle =\;(0,0,ku)^{T}\;+\;v\;(\cos u,\sin u,0)^{T}\ }$

${\displaystyle =\;(1-v)\;(0,0,ku)^{T}\;+\;v\;(\cos u,\sin u,ku)^{T}\ .}$

Директриса — это ось Z, направления линий — это , а вторая директриса — это спираль . ${\displaystyle \ \mathbf {c} (u)=(0,0,ku)^{T}\;}$ ${\displaystyle \;\mathbf {r} (u)=\ (\cos u,\sin u,0)^{T}\;}$ ${\displaystyle \ \mathbf {d} (u)=(\cos u,\sin u,ku)^{T}\ }$

Геликоид — частный случай линейчатых обобщенных геликоидов .

Цилиндр, конус и гиперболоиды

однолистный гиперболоид для ${\displaystyle \varphi =63^{\circ }}$

Параметрическое представление

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(1-v)\;(\cos(u-\varphi ),\sin(u-\varphi ),-1)^{T}\;+\;v\;(\cos(u+\varphi ),\sin(u+\varphi ),1)^{T}}$

имеет два горизонтальных круга в качестве направляющих. Дополнительный параметр позволяет варьировать параметрические представления окружностей. Для ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi =0\ }$один получает цилиндр , потому что ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

${\displaystyle \varphi =\pi /2\ }$каждый получает конус и за ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$

${\displaystyle 0<\varphi <\pi /2\ }$получается однолистный гиперболоид с уравнением и полуосями . ${\displaystyle \ {\tfrac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {z^{2}}{c^{2}}}=1\ }$ ${\displaystyle \ a=\cos \varphi \;,\;c=\cot \varphi }$

Однолистный гиперболоид представляет собой двулинейчатую поверхность.

Гиперболический параболоид

Гиперболический параболоид

Если две директрисы в (CD) являются линиями

${\displaystyle \mathbf {c} (u)=(1-u)\mathbf {a} _{1}+u\mathbf {a} _{2},\quad \mathbf {d} (u)=(1-u)\mathbf {b} _{1}+u\mathbf {b} _{2}}$

каждый получает

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(1-v){\big (}(1-u)\mathbf {a} _{1}+u\mathbf {a} _{2}{\big )}\ +\ v{\big (}(1-u)\mathbf {b} _{1}+u\mathbf {b} _{2}{\big )}\ }$,

который представляет собой гиперболический параболоид, который билинейно интерполирует 4 точки. ^[1] ${\displaystyle \ \mathbf {a} _{1},\;\mathbf {a} _{2},\;\mathbf {b} _{1},\;\mathbf {b} _{2}\ }$

Очевидно, что линейчатая поверхность является двойной линейчатой ​​поверхностью , поскольку любая точка лежит на двух линиях поверхности.

Для примера, показанного на схеме:

${\displaystyle \ \mathbf {a} _{1}=(0,0,0)^{T},\;\mathbf {a} _{2}=(1,0,0)^{T},\;\mathbf {b} _{1}=(0,1,0)^{T},\;\mathbf {b} _{2}=(1,1,1)^{T}\ }$.

Гиперболический параболоид имеет уравнение . ${\displaystyle z=xy}$

Лента Мёбиуса

Лента Мёбиуса

Линейчатая поверхность

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\;\mathbf {r} (u)}$

с

${\displaystyle \mathbf {c} (u)=(\cos 2u,\sin 2u,0)^{T}\ }$(круг как директриса),

${\displaystyle \mathbf {r} (u)=(\cos u\cos 2u,\cos u\sin 2u,\sin u)^{T}\ ,\quad 0\leq u<\pi \ ,}$

содержит ленту Мёбиуса.

На диаграмме изображена лента Мёбиуса для . ${\displaystyle -0.3\leq v\leq 0.3}$

Простой расчет показывает (см. следующий раздел). Следовательно, данная реализация ленты Мёбиуса неразвертываема . Но существуют развертывающиеся ленты Мёбиуса. ^[2] ${\displaystyle \det(\mathbf {\dot {c}} (0)\;,\;\mathbf {\dot {r}} (0)\;,\;\mathbf {r} (0))\;\neq \;0\ }$

Дальнейшие примеры

• Коноид
• Каталонская поверхность
• Развертывающиеся валики ( олоид , сферикон )

Касательные плоскости, развертывающиеся поверхности

В приведенных ниже соображениях предполагается, что существует любая необходимая производная.

Для определения вектора нормали в точке нужны частные производные представления  : ${\displaystyle \quad \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\;\mathbf {r} (u)}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{u}=\mathbf {\dot {c}} (u)+v\;\mathbf {\dot {r}} (u)\ }$, ${\displaystyle \quad \mathbf {x} _{v}=\;\mathbf {r} (u)}$

Следовательно, нормальный вектор

• ${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {x} _{u}\times \mathbf {x} _{v}=\mathbf {\dot {c}} \times \mathbf {r} +v(\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {r} )\ .}$

Поскольку (смешанное произведение двух равных векторов всегда равно 0!), вектор является касательным вектором в любой точке . Касательные плоскости вдоль этой линии все одинаковы, если кратно . Это возможно только в том случае, если три вектора лежат в одной плоскости, т. е. линейно зависимы. Линейную зависимость трех векторов можно проверить с помощью определителя этих векторов: ${\displaystyle \mathbf {n} \cdot \mathbf {r} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (u_{0})}$ ${\displaystyle \mathbf {x} (u_{0},v)}$ ${\displaystyle \mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {\dot {c}} \times \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {\dot {c}} \;,\;\mathbf {\dot {r}} \;,\;\mathbf {r} \ }$

• Касательные плоскости вдоль прямой равны, если ${\displaystyle \mathbf {x} (u_{0},v)=\mathbf {c} (u_{0})+v\;\mathbf {r} (u_{0})}$

${\displaystyle \det(\mathbf {\dot {c}} (u_{0})\;,\;\mathbf {\dot {r}} (u_{0})\;,\;\mathbf {r} (u_{0}))\;=\;0\ .}$

О важности этого определяющего условия свидетельствует следующее утверждение:

• Линейчатая поверхность разворачивается в плоскость, если для каждой точки гауссова кривизна обращается в нуль. Это именно тот случай, если ${\displaystyle \quad \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\;\mathbf {r} (u)}$

${\displaystyle \det(\mathbf {\dot {c}} \;,\;\mathbf {\dot {r}} \;,\;\mathbf {r} )\;=\;0\quad }$

в каждой точке верно. ^[3]

Образующие любой линейчатой ​​поверхности объединяются с одним семейством ее асимптотических линий. Для развертывающихся поверхностей они также образуют одно семейство линий кривизны . Можно показать, что любая развертывающаяся поверхность представляет собой конус, цилиндр или поверхность, образованную всеми касательными пространственной кривой. ^[4]

Применение и история развертывающихся поверхностей

Развертывающееся соединение двух эллипсов и его развитие.

Определяющее условие развертываемости поверхностей используется для определения численно развертывающихся связей между пространственными кривыми (направлениями). На схеме изображена развертывающаяся связь между двумя эллипсами, содержащимися в разных плоскостях (один горизонтальный, другой вертикальный), и ее развитие. ^[5]

Впечатление об использовании развертывающихся поверхностей в системе автоматизированного проектирования ( САПР ) дано в разделе «Интерактивное проектирование развертывающихся поверхностей» ^[6].

Исторический обзор развертывающихся поверхностей можно найти в книге « Развертывающиеся поверхности: их история и применение» ^[7].

Линейчатые поверхности в алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии линейчатые поверхности первоначально определялись как проективные поверхности в проективном пространстве , содержащие прямую линию, проходящую через любую заданную точку. Это немедленно подразумевает, что на поверхности существует проективная линия, проходящая через любую данную точку, и это условие теперь часто используется в качестве определения линейчатой ​​поверхности: линейчатые поверхности определяются как абстрактные проективные поверхности, удовлетворяющие условию существования проективной линии. через любую точку. Это эквивалентно утверждению, что они бирациональны произведению кривой и проективной прямой. Иногда линейчатая поверхность определяется как поверхность, удовлетворяющая более сильному условию, заключающемуся в том, что она имеет расслоение над кривой со слоями, которые являются проективными прямыми. Это исключает проективную плоскость, которая имеет проективную линию через каждую точку, но не может быть записана как такое расслоение.

Линейчатые поверхности появляются в классификации проективных комплексных поверхностей Энриквеса, потому что каждая алгебраическая поверхность размерности Кодайры является линейчатой ​​поверхностью (или проективной плоскостью, если использовать ограничительное определение линейчатой ​​поверхности). Каждая минимальная проективная линейчатая поверхность, отличная от проективной плоскости, является проективным расслоением двумерного векторного расслоения над некоторой кривой. Линейчатые поверхности с базовой кривой рода 0 являются поверхностями Хирцебруха . ${\displaystyle -\infty }$

Линейчатые поверхности в архитектуре

Поверхности с двойной линейкой послужили источником вдохновения для создания изогнутых гиперболоидных структур , которые можно построить с помощью решетки из прямых элементов, а именно:

• Гиперболические параболоиды, такие как односкатные крыши .
• Однолистные гиперболоиды, такие как градирни и некоторые мусорные баки .

В ракетном двигателе RM-81 Agena использовались прямые каналы охлаждения, расположенные на линейчатой ​​поверхности и образующие горло сопловой части .

• 
  Охлаждающие гиперболические башни на электростанции Дидкот , Великобритания; поверхность может быть дважды линейчатой.
• 
  Двойная водонапорная башня с тороидальным резервуаром работы Яна Богуславского в Цеханове , Польша.
• 
  Гиперболоид Кобе Порт Тауэр , Кобе , Япония, с двойной линейкой.
• 
  Гиперболоидная водонапорная башня, 1896 год, Нижний Новгород .
• 
  Решетчатая оболочка Шуховской башни в Москве, секции которой имеют двойную линейку.
• 
  Винтовая винтовая лестница с линейками внутри Торраццо в Кремоне .
• 
  Деревенская церковь в Село, Словения: и крыша (коническая), и стена (цилиндрическая) представляют собой линованные поверхности.
• 
  Гиперболическая параболоидная крыша железнодорожной станции Варшава Охота в Варшаве , Польша.
• 
  Линейчатая коническая шляпа .
• 
  Гофрированная черепица имеет параллельные линии в одном направлении и синусоидальные в перпендикулярном направлении.
• 
  Устройство плоской поверхности путем выравнивания ( стяжки ) бетона

Рекомендации

1. Г. Фарин: Кривые и поверхности для компьютерного геометрического проектирования , Academic Press, 1990, ISBN  0-12-249051-7 , стр. 250
2. В. Вундерлих: Über ein abwickelbares Möbiusband , Monatshefte für Mathematik 66, 1962, S. 276-289.
3. В. Кюнель: Дифференциальная геометрия , с. 58–60
4. Г. Фарин: с. 380
5. Э. Хартманн: Геометрия и алгоритмы для САПР, конспект лекции, TU Darmstadt, стр. 113
6. Тан, Бо, Валлнер, Поттманн: Интерактивный дизайн развертывающихся поверхностей, ACM Trans. Граф. (МЕСЯЦ 2015 ГОДА), DOI: 10.1145/2832906
7. Снежана Лоуренс : Развертывающиеся поверхности: их история и применение, в Nexus Network Journal 13 (3) · октябрь 2011 г., doi : 10.1007/s00004-011-0087-z

• До Карму, Манфредо П.: Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей , Прентис-Холл; 1 издание, ISBN 1976 г. 978-0132125895 
• Барт, Вольф П.; Хулек, Клаус; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные комплексные поверхности , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фолге., т. 3. 4, Шпрингер-Верлаг, Берлин, номер номера : 10.1007/978-3-642-57739-0, ISBN 978-3-540-00832-3, МР  2030225
• Бовилль, Арно (1996), Комплексные алгебраические поверхности , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 34 (2-е изд.), Cambridge University Press , номер документа : 10.1017/CBO9780511623936, ISBN. 978-0-521-49510-3, МР  1406314
• Эдж, WL (1931), Теория линейчатых поверхностей, Издательство Кембриджского университета - через Интернет-архив. Обзор: Бюллетень Американского математического общества 37 (1931), 791-793, номер документа : 10.1090/S0002-9904-1931-05248-4.
• Фукс, Д.; Табачников, Серж (2007), «16.5 Не существует неплоских тройнолинейчатых поверхностей», Математический омнибус: тридцать лекций по классической математике, Американское математическое общество, с. 228, ISBN 9780821843161.
• Ли, Та-цянь (редактор) (2011), Проблемы и решения по математике, 3103 (2-е изд.), World Scientific Publishing Company , ISBN 9789810234805 {{citation}}: |first=имеет общее имя ( справка ) .
• Гильберт, Дэвид ; Кон-Воссен, Стефан (1952), Геометрия и воображение (2-е изд.), Нью-Йорк: Челси, ISBN 978-0-8284-1087-8.
• Исковских, В.А. (2001) [1994], «Линейчатая поверхность», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Шарп, Джон (2008), D-формы: удивительные новые трехмерные формы из плоских изогнутых форм , Тарквин, ISBN 978-1-899618-87-3. Обзор: Секен, Карло Х. (2009), Журнал математики и искусств 3: 229–230, doi : 10.1080/17513470903332913

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Управляемая поверхность». Математический мир .
• Фотографии линейчатой ​​поверхности из Университета Аризоны.
• Примеры развертывающихся поверхностей на сайте Rhino3DE