Уравнение Сакура–Тетроде

Выражение энтропии одноатомного идеального газа

Уравнение Сакура–Тетроде представляет собой выражение для энтропии одноатомного идеального газа . [ ^1]

Он назван в честь Гуго Мартина Тетроде ^[2] (1895–1931) и Отто Сакура ^[3] (1880–1914), которые разработали его независимо друг от друга как решение уравнений газовой статистики и энтропии Больцмана примерно в одно и то же время в 1912 году. ^[4]

Формула

Уравнение Сакура–Тетроде выражает энтропию одноатомного идеального газа через его термодинамическое состояние, а именно, его объем , внутреннюю энергию и число частиц : ^{[1] [4]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\frac {S}{k_{\rm {B}}N}}=\ln \left[{\frac {V}{N}}\left({\frac {4\pi m}{3h^{2}}}{\frac {U}{N}}\right)^{3/2}\right]+{\frac {5}{2}},}$

где — постоянная Больцмана , — масса частицы газа, — постоянная Планка . ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle h}$

Уравнение также можно выразить через тепловую длину волны : ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle {\frac {S}{k_{\rm {B}}N}}=\ln \left({\frac {V}{N\Lambda ^{3}}}\right)+{\frac {5}{2}},}$

Кривые зависимости энтропии от температуры классических и квантовых идеальных газов ( ферми-газ , бозе-газ ) в трех измерениях. Хотя все они находятся в близком согласии при высокой температуре, они расходятся при низких температурах, где классическая энтропия (уравнение Сакура–Тетроде) начинает приближаться к отрицательным значениям.

Для вывода уравнения Сакура–Тетроде см. парадокс Гиббса . Для ограничений, накладываемых на энтропию идеального газа одной лишь термодинамикой, см. статью об идеальном газе .

Вышеприведенные выражения предполагают, что газ находится в классическом режиме и описывается статистикой Максвелла–Больцмана (с «правильным подсчетом Больцмана»). Из определения тепловой длины волны это означает, что уравнение Сакура–Тетроде справедливо только тогда, когда

${\displaystyle {\frac {V}{N\Lambda ^{3}}}\gg 1.}$

Энтропия, предсказываемая уравнением Сакура–Тетроде, стремится к отрицательной бесконечности по мере того, как температура приближается к нулю.

Константа Сакура–Тетроде

Константа Сакура -Тетроде , обозначаемая как S ₀ / R , равна S / k _B N , рассчитанная при температуре T  = 1  кельвин и стандартном давлении (100 кПа или 101,325 кПа, будет указано дополнительно) для одного моля идеального газа, состоящего из частиц с массой, равной атомной массовой константе ( m _u  = 1,660 539 068 92 (52) × 10 ⁻²⁷  кг ‍ [ ^5] ). Его рекомендуемое значение CODATA 2018 года составляет:

С ₀ / Р =−1,151 707 537 06 (45) для p ^o = 100 кПа ^[6]

С ₀ / Р =−1,164 870 523 58 (45) для p ^o = 101,325 кПа. ^[7]

Информационно-теоретическая интерпретация

В дополнение к термодинамической перспективе энтропии , инструменты теории информации могут быть использованы для предоставления информационной перспективы энтропии . В частности, можно вывести уравнение Сакура-Тетрода в терминах теории информации. Общая энтропия представлена ​​как сумма четырех индивидуальных энтропий, т. е. четырех различных источников недостающей информации. Это позиционная неопределенность, неопределенность импульсов, квантово-механический принцип неопределенности и неразличимость частиц. ^[8] Суммируя четыре части, уравнение Сакура-Тетрода затем задается как

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {S}{k_{\rm {B}}N}}&=[\ln V]+\left[{\frac {3}{2}}\ln \left(2\pi emk_{\rm {B}}T\right)\right]+[-3\ln h]+\left[-{\frac {\ln N!}{N}}\right]\\&\approx \ln \left[{\frac {V}{N}}\left({\frac {2\pi mk_{\rm {B}}T}{h^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}\right]+{\frac {5}{2}}\end{aligned}}}$

Вывод использует приближение Стирлинга , . Строго говоря, использование размерных аргументов для логарифмов неверно, однако их использование является «сокращением», сделанным для простоты. Если бы каждый логарифмический аргумент был разделен на неуказанное стандартное значение, выраженное через неуказанные стандартные массу, длину и время, эти стандартные значения отменились бы в конечном результате, давая тот же вывод. Отдельные члены энтропии не будут абсолютными, а будут зависеть от выбранных стандартов и будут отличаться с разными стандартами на аддитивную константу. ${\displaystyle \ln N!\approx N\ln N-N}$

Ссылки

1. Шредер, Дэниел В. (1999), Введение в теплофизику , Эддисон Уэсли Лонгман, ISBN 0-201-38027-7
2. Х. Тетрод (1912) «Die chemische Konstante der Gase und das elementare Wirkungsquantum» (Химическая константа газов и элементарный квант действия), Annalen der Physik 38 : 434–442. См. также: Х. Тетроде (1912) «Berichtigung zu meiner Arbeit: «Die chemische Konstante der Gase und das elementare Wirkungsquantum»» (Поправка к моей работе: «Химическая константа газов и элементарный квант действия»), Annalen der Физика 39 : 255–256.
3. Сакур опубликовал свои выводы в следующей серии статей:
   1. О. Сакур (1911) «Die Anwendung der kinetischen Theorie der Gase auf chemische Issuee» (Применение кинетической теории газов к химическим проблемам), Annalen der Physik , 36 : 958–980.
   2. О. Сакур, «Die Bedeutung des elementaren Wirkungsquantums für die Gastheorie und die Berechnung der chemischen Konstanten» (Значение элементарного кванта действия для теории газа и расчета химической константы), Festschrift W. Nernst zu seinem 25jährigen Doktorjubiläum gewidmet фон Сейнен Шулерн (Halle an der Saale, Германия: Вильгельм Кнапп, 1912), страницы 405–423.
   3. О. Сакур (1913) «Die Universelle Bedeutung des sog. elementaren Wirkungsquantums» (Универсальное значение так называемого элементарного кванта действия), Annalen der Physik 40 : 67–86.
4. Гримус, Уолтер (2013). «100-летие уравнения Сакура – ​​Тетроде». Аннален дер Физик . 525 (3): А32–А35. arXiv : 1112.3748 . Бибкод : 2013АнП...525А..32Г. дои : 10.1002/andp.201300720 . ISSN  0003-3804.
5. "2022 CODATA Value: атомная массовая константа". Справочник NIST по константам, единицам и неопределенности . NIST . Май 2024. Получено 2024-05-18 .
6. "2018 CODATA Value: Константа Сакура–Тетроде". Справочник NIST по константам, единицам и неопределенности . NIST . 20 мая 2019 г. Получено 20 мая 2019 г.
7. "2018 CODATA Value: Константа Сакура–Тетроде". Справочник NIST по константам, единицам и неопределенности . NIST . 20 мая 2019 г. Получено 20 мая 2019 г.
8. Бен-Наим, Арье (2008), Прощание с энтропией: статистическая термодинамика, основанная на информации, World Scientific , ISBN 978-981-270-706-2, получено 2017-12-12.

Дальнейшее чтение

• Эмч, Г.Г.; Лю, Ч. (2002), Логика термостатической физики , Springer-Verlag , Глава 3: Кинетическая теория газов.
• Куцойяннис, Д. (2013), «Физика неопределенности, парадокс Гиббса и неразличимые частицы», Исследования по истории и философии науки, часть B , 44 (4): 480–489, Bibcode : 2013SHPMP..44..480K, doi : 10.1016/j.shpsb.2013.08.007. (Это выводит уравнение Сакура–Тетроде другим способом, также основанным на информации.)
• Paños, FJ; Pérez, E. (2015), "Уравнение Сакура–Тетроде в лаборатории", European Journal of Physics , 36 (5): 055033, Bibcode : 2015EJPh...36e5033J, doi : 10.1088/0143-0807/36/5/055033, S2CID  124422176.
• Уильямс, Ричард (2009), «Уравнение Сакура–Тетрода: как энтропия встретилась с квантовой механикой», APS News , 18 (8).