Метод Шеффе

В статистике метод Шеффе , названный в честь американского статистика Генри Шеффе , представляет собой метод корректировки уровней значимости в линейном регрессионном анализе для учета множественных сравнений . Он особенно полезен в дисперсионном анализе (частный случай регрессионного анализа) и при построении одновременных доверительных интервалов для регрессий, включающих базисные функции .

Метод Шеффе — это одношаговая процедура множественного сравнения, которая применяется к набору оценок всех возможных контрастов среди средних значений уровня факторов, а не только к парным различиям, рассматриваемым методом Тьюки–Крамера . Он работает на тех же принципах, что и процедура Уоркинга–Хотеллинга для оценки средних ответов в регрессии, которая применяется к набору всех возможных уровней факторов.

Метод

Пусть будет средним значением некоторой переменной в непересекающихся совокупностях. ${\textstyle \mu _{1},\ldots ,\mu _{r}}$ ${\textstyle r}$

Произвольный контраст определяется как

${\displaystyle C=\sum _{i=1}^{r}c_{i}\mu _{i}}$

где

${\displaystyle \sum _{i=1}^{r}c_{i}=0.}$

Если все равны друг другу, то все контрасты между ними равны 0. В противном случае некоторые контрасты отличаются от 0 . ${\textstyle \mu _{1},\ldots ,\mu _{r}}$

Технически существует бесконечно много контрастов. Коэффициент одновременной уверенности равен точно , независимо от того, равны или не равны размеры выборок на уровне факторов. (Обычно интерес представляет только конечное число сравнений. В этом случае метод Шеффе обычно довольно консервативен, и частота ошибок по семейству (частота экспериментальных ошибок) будет, как правило, намного меньше .) ^{[1] [2]} ${\textstyle 1-\alpha }$ ${\textstyle \alpha }$

Мы оцениваем по ${\textstyle C}$

${\displaystyle {\hat {C}}=\sum _{i=1}^{r}c_{i}{\bar {Y}}_{i}}$

для которого предполагаемая дисперсия составляет

${\displaystyle s_{\hat {C}}^{2}={\hat {\sigma }}_{e}^{2}\sum _{i=1}^{r}{\frac {c_{i}^{2}}{n_{i}}},}$

где

• ${\textstyle n_{i}}$- размер выборки, взятой из ^-й популяции (той, чье среднее значение равно ), и ${\textstyle i}$ ${\textstyle \mu _{i}}$
• ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{e}^{2}}$— предполагаемая дисперсия ошибок .

Можно показать, что вероятность состоит в том, что все доверительные пределы типа ${\textstyle 1-\alpha }$

${\displaystyle {\hat {C}}\pm \,s_{\hat {C}}{\sqrt {\left(r-1\right)F_{\alpha ;r-1;N-r}}}}$

одновременно верны, где, как обычно, размер всей популяции. Норман Р. Дрейпер и Гарри Смит в своем «Прикладном регрессионном анализе» (см. ссылки) указывают, что должно быть в уравнении вместо . Смещение с является результатом неспособности учесть дополнительный эффект постоянного члена во многих регрессиях. То, что результат, основанный на , неверен, легко увидеть, рассмотрев , как в стандартной простой линейной регрессии. Эта формула затем сводится к формуле с обычным -распределением, которое подходит для прогнозирования/оценки для одного значения независимой переменной, а не для построения доверительного интервала для диапазона значений независимой величины. Также обратите внимание, что формула предназначена для работы со средними значениями для диапазона независимых величин, а не для сравнения с отдельными значениями, такими как отдельные наблюдаемые значения данных. ^[3] ${\textstyle N}$ ${\textstyle r}$ ${\textstyle r-1}$ ${\textstyle r-1}$ ${\textstyle r-1}$ ${\textstyle r=2}$ ${\textstyle t}$

Обозначение значимости Шеффе в таблице

Часто нижние индексы используются для указания того, какие значения существенно различаются с использованием метода Шеффе. Например, когда средние значения переменных, проанализированных с помощью ANOVA , представлены в таблице, им присваивается другой буквенный индекс на основе контраста Шеффе. Значения, которые существенно не различаются на основе апостериорного контраста Шеффе, будут иметь одинаковый нижний индекс, а значения, которые существенно различаются, будут иметь разные нижние индексы (например, 15 _a , 17 _a , 34 _b будет означать, что первая и вторая переменные обе отличаются от третьей переменной, но не друг от друга, потому что им обеим присвоен нижний индекс «a»). ^{[ необходима цитата ]}

Сравнение с методом Тьюки–Крамера

Если необходимо провести только фиксированное количество парных сравнений, метод Тьюки–Крамера даст более точный доверительный интервал. В общем случае, когда могут представлять интерес многие или все контрасты, метод Шеффе более уместен и даст более узкие доверительные интервалы в случае большого количества сравнений.

Ссылки

1. Максвелл, Скотт Э.; Делани, Гарольд Д. (2004). Планирование экспериментов и анализ данных: сравнение моделей . Lawrence Erlbaum Associates. стр. 217–218. ISBN 0-8058-3718-3.
2. Милликен, Джордж А.; Джонсон, Даллас Э. (1993). Анализ беспорядочных данных . CRC Press. стр. 35–36. ISBN 0-412-99081-4.
3. Дрейпер, Норман Р.; Смит, Гарри (1998). Прикладной регрессионный анализ (2-е изд.). John Wiley and Sons, Inc. стр. 93. ISBN 9780471170822.

• Борер, Роберт (1967). «Об уточнении границ Шеффе». Журнал Королевского статистического общества . Серия B. 29 (1): 110–114. JSTOR  2984571.
• Шеффе, Х. (1999) [1959]. Анализ дисперсии . Нью-Йорк: Wiley. ISBN 0-471-34505-9.

Внешние ссылки

• Метод Шеффе

 В статье использованы материалы, являющиеся общественным достоянием Национального института стандартов и технологий.