Шлихтинг реактивный

Струя Шлихтинга — это устойчивая ламинарная круглая струя, выходящая в однотипную неподвижную жидкость с очень высоким числом Рейнольдса . Задача была сформулирована и решена Германом Шлихтингом в 1933 году ^[1] , который в той же статье сформулировал и соответствующую плоскую задачу о струе Бикли . ^[2] Струя Ландау-Сквайра из точечного источника является точным решением уравнений Навье-Стокса , которое справедливо для всех чисел Рейнольдса, сводится к решению струи Шлихтинга при больших числах Рейнольдса на расстояниях, далеких от начала струи.

Описание потока

Рассмотрим осесимметричную струю, выходящую из отверстия, расположенного в начале цилиндрических полярных координат где - ось струи , а - радиальное расстояние от оси симметрии. Поскольку струя находится под постоянным давлением, поток импульса в направлении постоянен и равен потоку импульса в начале координат: ${\displaystyle (r,x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle J=2\pi \rho \int _{0}^{\infty }ru^{2}dr={\text{constant}},}$

где – постоянная плотность, – компоненты скорости по и направлению соответственно, – известный поток импульса в начале координат. Величина называется потоком кинематического импульса . Уравнения пограничного слоя имеют вид ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle (v,u)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle K=J/\rho }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial (rv)}{\partial r}}&=0,\\u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial r}}&={\frac {\nu }{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u}{\partial r}}\right),\end{aligned}}}$

где - кинематическая вязкость . Граничные условия: ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\begin{aligned}r=0:&\quad v=0,\quad {\frac {\partial u}{\partial r}}=0,\\r\rightarrow \infty :&\quad u=0.\end{aligned}}}$

Число Рейнольдса струи,

${\displaystyle Re={\frac {1}{\nu }}\left({\frac {J}{2\pi \rho }}\right)^{1/2}={\frac {1}{\nu }}\left({\frac {K}{2\pi }}\right)^{1/2}\gg 1}$

это большое число для самолета Шлихтинга.

Самоподобное решение

Для поставленной задачи существует автомодельное решение. Самоподобные переменные:

${\displaystyle \eta ={\frac {r}{x}},\quad u={\frac {\nu }{x}}{\frac {F'(\eta )}{\eta }},\quad v={\frac {\nu }{x}}\left[F'(\eta )-{\frac {F(\eta )}{\eta }}\right].}$

Тогда уравнение пограничного слоя сводится к

${\displaystyle \eta F''+FF'-F'=0}$

с граничными условиями . Если есть решение, то это тоже решение. Частное решение, удовлетворяющее условию при, имеет вид ${\displaystyle F(0)=F'(0)=0}$ ${\displaystyle F(\eta )}$ ${\displaystyle F(\gamma \eta )=F(\xi )}$ ${\displaystyle \eta =0}$

${\displaystyle F={\frac {4\xi ^{2}}{4+\xi ^{2}}}={\frac {4\gamma ^{2}\eta ^{2}}{4+\gamma ^{2}\eta ^{2}}}.}$

Константу можно оценить из условия импульса: ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \gamma ^{2}={\frac {3J}{16\pi \rho \nu ^{2}}}={\frac {3{\rm {Re}}^{2}}{8}}.}$

Таким образом, решение

${\displaystyle F(\eta )={\frac {4({\rm {Re}}\,\eta )^{2}}{32/3+({\rm {Re}}\,\eta )^{2}}}.}$

В отличие от потока импульса, объемный расход в струе не постоянен, а увеличивается за счет медленного уноса внешней жидкости струей. ${\displaystyle x}$

${\displaystyle Q=2\pi \int _{0}^{\infty }rudr=8\pi \nu x,}$

линейно возрастает с расстоянием вдоль оси. Поток Шнайдера описывает поток, создаваемый струей вследствие увлечения. ^[3]

Другие варианты

Проблема струи Шлихтинга для сжимаемой жидкости была решена MZ Krzywoblocki ^[4] и DC Pack. ^[5] Аналогичным образом, струя Шлихтинга с закрученным движением изучается Х. Гертлером. ^[6]

Смотрите также

• Самолет Ландау-Сквайр
• поток Шнайдера
• Бикли Джет

Рекомендации

1. Шлихтинг, Герман . «Ламинарное стралаусбреитунг». ZAMM-Журнал прикладной математики и механики/Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik 13.4 (1933): 260-263.
2. Шлихтинг, Х (1979). Теория пограничного слоя, седьмое издание, McGraw-Hill Book Company
3. Шнайдер, В. (1981). Поток, создаваемый струями и шлейфами. Журнал механики жидкости, 108, 55–65.
4. Кшивоблоки, МЗ (1949). Устойчивые ламинарные круглые струи в сжимаемых вязких газах для заротовой зоны. Остерр. Инж.-Арх, 3, 373-383.
5. Пак, округ Колумбия (1954, январь). Ламинарное течение в аксиально-симметричной струе сжимаемой жидкости вдали от отверстия. В математических трудах Кембриджского философского общества (том 50, № 1, стр. 98–104). Издательство Кембриджского университета.
6. Гертлер, Х. (1954). Распад закрутки в осесимметричной струе вдали от отверстия. Revista matemática hispanoamericana, 14 (4), 143–178.