В алгебраической геометрии многообразие Шуберта — это определенное подмногообразие грассманиана , -мерных подпространств векторного пространства , обычно с особыми точками . Подобно грассманиану, это своего рода модульное пространство , элементы которого удовлетворяют условиям, дающим нижние границы размерностей пересечений его элементов , с элементами указанного полного флага. Здесь может быть векторное пространство над произвольным полем , но чаще всего это либо действительные, либо комплексные числа .
Типичным примером является множество -мерных подпространств 4-мерного пространства , которые нетривиально пересекают фиксированное (опорное) 2-мерное подпространство .
Над полем действительных чисел это можно изобразить в обычном xyz -пространстве следующим образом. Заменяя подпространства соответствующими им проективными пространствами и пересекая с аффинным координатным фрагментом , мы получаем открытое подмножество X ° ⊂ X . Оно изоморфно множеству всех прямых L (не обязательно проходящих через начало координат), которые пересекают ось x . Каждая такая прямая L соответствует точке X °, а непрерывное перемещение L в пространстве (сохраняя контакт с осью x ) соответствует кривой в X °. Поскольку существует три степени свободы при перемещении L (перемещение точки по оси x , вращение и наклон), X является трехмерным действительным алгебраическим многообразием . Однако, когда L равно оси x , его можно вращать или наклонять вокруг любой точки на оси, и этот избыток возможных движений делает L особой точкой X .
В более общем смысле, многообразие Шуберта в определяется указанием минимальной размерности пересечения -мерного подпространства с каждым из пространств в фиксированном опорном полном флаге , где . (В приведенном выше примере это означало бы требование определенных пересечений прямой L с осью x и плоскостью xy .)
В еще большей общности, если задана полупростая алгебраическая группа с подгруппой Бореля и стандартной параболической подгруппой , известно, что однородное пространство , являющееся примером многообразия флагов , состоит из конечного числа -орбит, которые могут быть параметризованы некоторыми элементами группы Вейля . Замыкание -орбиты , связанной с элементом , обозначается и называется многообразием Шуберта в . Классический случай соответствует , причем , -й максимальной параболической подгруппе в , так что является грассманианом -плоскостей в .
Многообразия Шуберта образуют один из самых важных и наиболее изученных классов сингулярных алгебраических многообразий . Определенная мера сингулярности многообразий Шуберта обеспечивается многочленами Каждана–Люстига , которые кодируют их локальные когомологии пересечения Горески–Макферсона .
Алгебры регулярных функций на многообразиях Шуберта имеют глубокое значение в алгебраической комбинаторике и являются примерами алгебр с законом выпрямления . (Ко)гомологии грассманиана и, в более общем смысле, более общих флаговых многообразий имеют основу, состоящую из классов (ко)гомологий многообразий Шуберта, или циклов Шуберта . Изучение теории пересечений на грассманиане было начато Германом Шубертом и продолжено Цойтеном в 19 веке под заголовком исчислительной геометрии . Давид Гильберт считал эту область достаточно важной, чтобы включить ее в качестве пятнадцатой из его знаменитых 23 проблем . Исследование продолжилось в XX веке как часть общего развития алгебраической топологии и теории представлений , но ускорилось в 1990-х годах, начиная с работы Уильяма Фултона по локусам вырождения и полиномам Шуберта , продолжая более ранние исследования Бернштейна – Гельфанда – Гельфанда и Демазюра по теории представлений в 1970-х годах, Ласку и Шютценбергера по комбинаторике в 1980-х годах, а также Фултона и Макферсона по теории пересечений особых алгебраических многообразий также в 1980-х годах.
