Шур-выпуклая функция

В математике функция Шура-выпуклая , также известная как S-выпуклая , изотоническая функция и функция сохранения порядка, — это функция , которая для всех таких, что мажорируется , имеет место, что . Названные в честь Иссая Шура , функции Шура-выпуклые используются при изучении мажорирования . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f(x)\leq f(y)}$

Функция f является «вогнутой по Шуру», если ее отрицательное число, − f , является выпуклым по Шуру.

Характеристики

Каждая функция, которая является выпуклой и симметричной (относительно перестановок аргументов), является также выпуклой по Шуру.

Каждая выпуклая по Шуру функция симметрична, но не обязательно выпукла. ^[1]

Если (строго) выпукло по Шуру и (строго) монотонно возрастает, то (строго) выпукло по Шуру. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g\circ f}$

Если — выпуклая функция, определенная на действительном интервале, то — выпуклая по Шуру. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}g(x_{i})}$

Критерий Шура–Островского

Если f симметрична и существуют все первые частные производные, то f является выпуклой по Шуру тогда и только тогда, когда

${\displaystyle (x_{i}-x_{j})\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)\geq 0}$для всех ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$

справедливо для всех . ^[2] ${\displaystyle 1\leq i,j\leq d}$

Примеры

• ${\displaystyle f(x)=\min(x)}$является вогнутым по Шуру, а является выпуклым по Шуру. Это можно увидеть непосредственно из определения. ${\displaystyle f(x)=\max(x)}$
• Функция энтропии Шеннона является вогнутой по Шуру. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{d}{P_{i}\cdot \log _{2}{\frac {1}{P_{i}}}}}$
• Функция энтропии Реньи также является вогнутой по Шуру.
• ${\displaystyle x\mapsto \sum _{i=1}^{d}{x_{i}^{k}},k\geq 1}$является Шур-выпуклым, если , и Шур-вогнутым, если . ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle k\in (0,1)}$
• Функция является вогнутой по Шуру, когда мы предполагаем, что все . Точно так же все элементарные симметричные функции являются вогнутыми по Шуру, когда . ${\displaystyle f(x)=\prod _{i=1}^{d}x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}>0}$ ${\displaystyle x_{i}>0}$
• Естественная интерпретация мажорирования заключается в том, что если то менее распространено, чем . Поэтому естественно спросить, являются ли статистические меры изменчивости выпуклыми по Шуру. Дисперсия и стандартное отклонение являются выпуклыми по Шуру функциями, тогда как медианное абсолютное отклонение таковым не является. ${\displaystyle x\succ y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$
• Пример вероятности: если — взаимозаменяемые случайные величины , то функция является выпуклой по Шуру как функция , предполагая, что ожидания существуют. ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ ${\displaystyle {\text{E}}\prod _{j=1}^{n}X_{j}^{a_{j}}}$ ${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})}$
• Коэффициент Джини строго выпуклый по Шуру.

Ссылки

1. Робертс, А. Уэйн; Варберг, Дэйл Э. (1973). Выпуклые функции . Нью-Йорк: Academic Press. стр. 258. ISBN 9780080873725.
2. E. Peajcariaac, Josip; L. Tong, Y. (3 июня 1992 г.). Выпуклые функции, частичные упорядочения и статистические приложения . Academic Press. стр. 333. ISBN 9780080925226.

Смотрите также

• Квазивыпуклая функция