В дифференциальной геометрии вторая фундаментальная форма (или тензор формы ) — это квадратичная форма на касательной плоскости гладкой поверхности в трехмерном евклидовом пространстве , обычно обозначаемая (читай «два»). Вместе с первой фундаментальной формой она служит для определения внешних инвариантов поверхности, ее главных кривизн . В более общем смысле такая квадратичная форма определяется для гладкого погруженного подмногообразия в римановом многообразии .
Вторая фундаментальная форма параметрической поверхности S в R3 была введена и изучена Гауссом . Сначала предположим, что поверхность является графиком дважды непрерывно дифференцируемой функции z = f ( x , y ) и что плоскость z = 0 касается поверхности в начале координат. Тогда f и ее частные производные по x и y обращаются в нуль в точке (0,0). Следовательно, разложение Тейлора f в точке (0,0) начинается с квадратичных членов:
а вторая фундаментальная форма в начале координат ( x , y ) — это квадратичная форма
Для гладкой точки P на S можно выбрать систему координат так, чтобы плоскость z = 0 касалась S в точке P , и таким же образом определить вторую фундаментальную форму.
Вторая фундаментальная форма общей параметрической поверхности определяется следующим образом. Пусть r = r ( u , v ) — регулярная параметризация поверхности в R3 , где r — гладкая вектор-функция двух переменных. Частные производные r по u и v принято обозначать через ru и r v . Регулярность параметризации означает, что ru и r v линейно независимы для любого ( u , v ) в области определения r и, следовательно, охватывают касательную плоскость к S в каждой точке. Эквивалентно, векторное произведение r u × r v представляет собой ненулевой вектор, нормальный к поверхности. Таким образом, параметризация определяет поле единичных нормальных векторов n :
Вторая фундаментальная форма обычно записывается как
его матрица в базисе { r u , r v } касательной плоскости равна
Коэффициенты L , M , N в данной точке параметрической uv -плоскости задаются проекциями вторых частных производных r в этой точке на нормальную линию к S и могут быть вычислены с помощью скалярного произведения как следует:
Для знакового поля расстояний гессиана H коэффициенты второй фундаментальной формы можно вычислить следующим образом:
Вторая фундаментальная форма общей параметрической поверхности S определяется следующим образом.
Пусть r = r ( u 1 , u 2 ) — регулярная параметризация поверхности в R 3 , где r — гладкая вектор-функция двух переменных. Частные производные r по u α принято обозначать через r α , α = 1, 2 . Регулярность параметризации означает, что r 1 и r 2 линейно независимы для любых ( u 1 , u 2 ) в области определения r и, следовательно, охватывают касательную плоскость к S в каждой точке. Эквивалентно, векторное произведение r 1 × r 2 является ненулевым вектором, нормальным к поверхности. Таким образом, параметризация определяет поле единичных нормальных векторов n :
Вторая фундаментальная форма обычно записывается как
В приведенном выше уравнении используется соглашение Эйнштейна о суммировании .
Коэффициенты b αβ в данной точке параметрической плоскости u 1 u 2 задаются проекциями вторых частных производных r в этой точке на нормальную линию к S и могут быть вычислены через вектор нормали n как следует:
В евклидовом пространстве вторая фундаментальная форма задается формулой
где – отображение Гаусса , а дифференциал рассматривается как векторнозначная дифференциальная форма , а скобки обозначают метрический тензор евклидова пространства.
В более общем смысле, на римановом многообразии вторая фундаментальная форма является эквивалентным способом описания оператора формы (обозначаемого S ) гиперповерхности:
где ∇ v w обозначает ковариантную производную объемлющего многообразия, а n — поле нормальных векторов на гиперповерхности. (Если аффинная связность не имеет кручения , то вторая фундаментальная форма симметрична.)
Знак второй фундаментальной формы зависит от выбора направления n (которое называется коориентацией гиперповерхности - для поверхностей в евклидовом пространстве это эквивалентно задается выбором ориентации поверхности).
Вторая фундаментальная форма может быть обобщена на произвольную коразмерность . В этом случае это квадратичная форма в касательном пространстве со значениями в нормальном расслоении , и ее можно определить формулой
где обозначает ортогональную проекцию ковариантной производной на нормальное расслоение.
В евклидовом пространстве тензор кривизны подмногообразия можно описать следующей формулой:
Это называется уравнением Гаусса , поскольку его можно рассматривать как обобщение теоремы Гаусса Egregium .
Для общих римановых многообразий необходимо добавить кривизну объемлющего пространства; если N — многообразие, вложенное в риманово многообразие ( M , g ) , то тензор кривизны RN N с индуцированной метрикой может быть выражен с использованием второй фундаментальной формы и RM , тензора кривизны M :
