Полулинейный ответ

Расширение теории линейного отклика в мезоскопических режимах

Движение вызывает переходы между уровнями замкнутой системы, что приводит к диффузии в энергетическом пространстве и, следовательно, к связанному с этим нагреву. Коэффициент диффузии можно рассчитать, используя аналогию с сетью резисторов.

Теория полулинейного отклика (SLRT) является расширением теории линейного отклика (LRT) для мезоскопических обстоятельств: LRT применяется, если управляемые переходы намного слабее/медленнее, чем эффект релаксации/дефазировки окружающей среды, в то время как SLRT предполагает противоположные условия. SLRT использует аналогию с резисторной сетью (см. иллюстрацию) для расчета скорости поглощения энергии: Возбуждение вызывает переходы между уровнями энергии, и связанные последовательности переходов необходимы для получения неисчезающего результата, как в теории перколяции.

Приложения

Первоначальной мотивацией для введения SLRT было изучение мезозопической проводимости ^{[1] [2] [3]} . ^[4] Термин SLRT был введен в ^[5], где он был применен к расчету поглощения энергии металлическими зернами. Позже теория была применена для анализа скорости нагрева атомов в вибрирующих ловушках . ^[6]

Определение полулинейного отклика

Рассмотрим систему, которая приводится в действие источником , имеющим спектр мощности . Последний определяется как преобразование Фурье . В теории линейного отклика (LRT) движущий источник вызывает устойчивое состояние, которое лишь немного отличается от состояния равновесия. В таких обстоятельствах отклик ( ) является линейным функционалом спектра мощности: ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle {\tilde {S}}(\omega )}$ ${\displaystyle \langle f(t)f(0)\rangle }$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G=G[{\tilde {S}}(\omega )]=\int _{-\infty }^{\infty }\eta (\omega ){\tilde {S}}(\omega )\,d\omega }$

В традиционном контексте LRT представляет собой скорость нагревания и может быть определен как коэффициент поглощения. Всякий раз, когда применяется такое отношение ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \eta (\omega )}$

${\displaystyle [A]\ \ \ \ {\tilde {S}}(\omega )\mapsto \lambda {\tilde {S}}(\omega ){\text{ implies }}G\mapsto \lambda G}$

${\displaystyle [B]\ \ \ \ {\tilde {S}}(\omega )\mapsto {\tilde {S}}_{1}(\omega )+{\tilde {S}}_{2}(\omega ){\text{ implies }}G\mapsto G_{1}+G_{2}}$

Если воздействие очень сильное, реакция становится нелинейной, что означает, что оба свойства [A] и [B] не выполняются. Но есть класс систем, реакция которых становится полулинейной, т. е. первое свойство [A] все еще выполняется, но не [B].

Моделирование резисторной цепи

SLRT применяется всякий раз, когда возбуждение достаточно сильное, так что релаксация к устойчивому состоянию происходит медленно по сравнению с динамикой возбуждения. Тем не менее, предполагается, что система может быть смоделирована как сеть резисторов, математически выраженная как . Обозначение обозначает обычный электротехнический расчет двухполюсной проводимости данной сети резисторов. Например, параллельные соединения подразумевают , в то время как последовательные соединения подразумевают . Расчет сети резисторов явно полулинейный, поскольку он удовлетворяет , но в целом . ${\displaystyle G=[[G_{nm}]]}$ ${\displaystyle [[G_{nm}]]}$ ${\displaystyle G=\sum _{nm}G_{nm}}$ ${\displaystyle G=\left[\sum _{nm}G_{nm}^{-1}\right]^{-1}}$ ${\displaystyle [[\lambda A]]=\lambda [[A]]}$ ${\displaystyle [[A+B]]\neq [[A]]+[[B]]}$

Золотое правило Ферми, картинка

В квантово-механическом расчете поглощения энергии представляют собой скорости перехода по золотому правилу Ферми между уровнями энергии. Если связаны только соседние уровни, последовательное сложение подразумевает ${\displaystyle G_{nm}}$

${\displaystyle G=G[{\tilde {S}}(\omega )]=\left[\int _{-\infty }^{\infty }\mu (\omega ){\tilde {S}}(\omega )^{-1}\,d\omega \right]^{-1}}$

что явно полулинейно. Результаты для разреженных сетей, которые встречаются при анализе слабохаотических управляемых систем, более интересны и могут быть получены с использованием обобщенной схемы переменного диапазона прыжков (VRH).

Ссылки

1. Коэн, Дорон; Коттос, Цампикос; Шанц, Хольгер (2006-09-05). «Скорость поглощения энергии замкнутым баллистическим кольцом». Journal of Physics A: Mathematical and General . 39 (38): 11755–11771. arXiv : cond-mat/0505295 . Bibcode :2006JPhA...3911755C. doi :10.1088/0305-4470/39/38/004. ISSN  0305-4470. S2CID  13946424.
2. Бандопадхай, С.; Этциони, И.; Коэн, Д. (2006). «Проводимость многомодового баллистического кольца: за пределами Ландауэра и Кубо». Europhysics Letters (EPL) . 76 (5): 739–745. arXiv : cond-mat/0603484 . Bibcode : 2006EL.....76..739B. doi : 10.1209/epl/i2006-10360-9. ISSN  0295-5075. S2CID  14747016.
3. Стотланд, Александр; Будойо, Рангга; Пир, Тал; Коттос, Цампикос; Коэн, Дорон (2008-06-04). "Мезоскопическая проводимость неупорядоченных колец, ее случайная матричная теория и обобщенная картина прыжков с переменной длиной волны". Журнал физики A: Математическое и теоретическое . 41 (26). Издательство IOP: 262001. arXiv : 0712.0439 . doi : 10.1088/1751-8113/41/26/262001. ISSN  1751-8113. S2CID  51758094.
4. Стотланд, Александр; Коттос, Цампикос; Коэн, Дорон (31.03.2010). "Моделирование полулинейного отклика с помощью случайной матрицы, обобщенная картина прыжков с переменной длиной и проводимость мезоскопических колец". Physical Review B. 81 ( 11): 115464. arXiv : 0908.3991 . Bibcode : 2010PhRvB..81k5464S. doi : 10.1103/physrevb.81.115464. ISSN  1098-0121. S2CID  53008179.
5. Уилкинсон, М.; Мелиг, Б.; Коэн, Д. (2006). «Полулинейный отклик». Europhysics Letters (EPL) . 75 (5): 709–715. arXiv : cond-mat/0512070 . Bibcode : 2006EL.....75..709W. doi : 10.1209/epl/i2006-10182-9. ISSN  0295-5075. S2CID  118982511.
6. Stotland, A.; Cohen, D.; Davidson, N. (2009). "Полулинейный отклик для скорости нагрева холодных атомов в вибрирующих ловушках". EPL (Europhysics Letters) . 86 (1): 10004. arXiv : 0810.0360 . Bibcode : 2009EL.....8610004S. doi : 10.1209/0295-5075/86/10004. ISSN  0295-5075. S2CID  5155754.