Гипотеза сестры Бейтер

Гипотеза о коэффициентах циклотомических полиномов

В математике гипотеза сестры Бейтер — это гипотеза о размере коэффициентов тернарных циклотомических многочленов (т.е. где индекс — произведение трех простых чисел). Она названа в честь Мэрион Бейтер , католической монахини, которая впервые предложила ее в 1968 году. ^[1]

Фон

Для максимального коэффициента (по абсолютной величине) циклотомического полинома обозначим . ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{>0}}$ ${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$ ${\displaystyle A(n)}$

Пусть — три простых числа. В этом случае циклотомический многочлен называется тернарным . В 1895 году А. С. Банг ^[2] доказал, что . Это подразумевает существование такого, что . ${\displaystyle 3\leq p\leq q\leq r}$ ${\displaystyle \Phi _{pqr}(x)}$ ${\displaystyle A(pqr)\leq p-1}$ ${\displaystyle M(p):=\max \limits _{p\leq q\leq r{\text{ prime}}}A(pqr)}$ ${\displaystyle 1\leq M(p)\leq p-1}$

Заявление

Сестра Бейтер предположила ^[1] в 1968 году, что . Позднее это было опровергнуто, но была выдвинута исправленная гипотеза сестры Бейтер как . ${\displaystyle M(p)\leq {\frac {p+1}{2}}}$ ${\displaystyle M(p)\leq {\frac {2}{3}}p}$

Статус

Препринт ^[3] от 2023 года подробно объясняет историю и утверждает, что доказывает эту исправленную гипотезу. Явно утверждается, что доказывает $${\displaystyle M(p)\leq {\frac {2}{3}}p{\text{ and }}\lim \limits _{p\rightarrow \infty }{\frac {M(p)}{p}}={\frac {2}{3}}.}$$

Ссылки

1. Beiter, Marion (апрель 1968). «Величина коэффициентов циклотомического многочлена ». The American Mathematical Monthly . 75 (4): 370–372. doi :10.2307/2313416. JSTOR  2313416. ${\displaystyle F_{pqr}(x)}$
2. Банг, А.С. (1895). «Ом Линнинген ». Тидсскр. Математика . 6 :6–12. ${\displaystyle \Phi _{n}(x)=0}$
3. Юран, Бранко; Мори, Питер; Рикерт, Адриан; Шмитц, Дэвид; Фёльмекке, Джулиан (2023). «Доказательство исправленной гипотезы о циклотомическом коэффициенте сестры Бейтер, вдохновленное Чжао и Чжаном». arXiv : 2304.09250 [math.NT].