Уравнение Фоккера–Планка

Уравнение с частными производными

Решение одномерного уравнения Фоккера–Планка с дрейфовым и диффузионным членами. В этом случае начальным условием является дельта-функция Дирака, центрированная от нулевой скорости. Со временем распределение расширяется из-за случайных импульсов.

В статистической механике и теории информации уравнение Фоккера -Планка представляет собой уравнение в частных производных , которое описывает временную эволюцию функции плотности вероятности скорости частицы под воздействием сил сопротивления и случайных сил, как в броуновском движении . Уравнение можно обобщить и на другие наблюдаемые величины. ^[1] Уравнение Фоккера-Планка имеет множество приложений в теории информации, теории графов, науке о данных, финансах, экономике и т. д.

Он назван в честь Адриана Фоккера и Макса Планка , которые описали его в 1914 и 1917 годах. ^{[2] [3]} Он также известен как прямое уравнение Колмогорова , в честь Андрея Колмогорова , который независимо открыл его в 1931 году. ^[4] Применительно к распределениям положений частиц он более известен как уравнение Смолуховского (в честь Мариана Смолуховского ), ^[5] и в этом контексте он эквивалентен уравнению конвекции-диффузии . Применительно к распределениям положений и импульсов частиц он известен как уравнение Клейна-Крамерса . Случай с нулевой диффузией — это уравнение непрерывности . Уравнение Фоккера-Планка получается из основного уравнения посредством разложения Крамерса-Мойала . ^[6]

Первый последовательный микроскопический вывод уравнения Фоккера–Планка в единой схеме классической и квантовой механики был выполнен Николаем Боголюбовым и Николаем Крыловым . ^{[7] [8]}

Одно измерение

В одном пространственном измерении x для процесса Ито , управляемого стандартным процессом Винера и описываемого стохастическим дифференциальным уравнением (СДУ) ${\displaystyle W_{t}}$ $${\displaystyle dX_{t}=\mu (X_{t},t)\,dt+\sigma (X_{t},t)\,dW_{t}}$$

с коэффициентом дрейфа и диффузии уравнение Фоккера–Планка для плотности вероятности случайной величины имеет вид ^[9] ${\displaystyle \mu (X_{t},t)}$ ${\displaystyle D(X_{t},t)=\sigma ^{2}(X_{t},t)/2}$ ${\displaystyle p(x,t)}$ ${\displaystyle X_{t}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}p(x,t)=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\mu (x,t)p(x,t)\right]+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[D(x,t)p(x,t)\right].}$

Связь между уравнением Ито SDE и уравнением Фоккера–Планка

В дальнейшем используйте . ${\displaystyle \sigma ={\sqrt {2D}}}$

Определим бесконечно малый генератор (следующее можно найти в ^[10] ): ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}p(X_{t})=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\left(\mathbb {E} {\big [}p(X_{t+\Delta t})\mid X_{t}=x{\big ]}-p(x)\right).}$$

Вероятность перехода , вероятность перехода от к , вводится здесь; ожидание можно записать как Теперь мы заменяем в определении , умножаем на и интегрируем по . Предел берется на Обратите внимание, что это теорема Чепмена–Колмогорова. Заменив фиктивную переменную на , получаем что является производной по времени. Наконец, мы приходим к Отсюда можно вывести обратное уравнение Колмогорова. Если вместо этого использовать сопряженный оператор , , определенный таким образом, что тогда мы приходим к прямому уравнению Колмогорова или уравнению Фоккера–Планка, которое, упрощая запись , в дифференциальной форме имеет вид ${\displaystyle \mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')}$ ${\displaystyle (t',x')}$ ${\displaystyle (t,x)}$ $${\displaystyle \mathbb {E} (p(X_{t+\Delta t})\mid X_{t}=x)=\int p(y)\,\mathbb {P} _{t+\Delta t,t}(y\mid x)\,dy.}$$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')}$ ${\displaystyle dx}$ $${\displaystyle \int p(y)\int \mathbb {P} _{t+\Delta t,t}(y\mid x)\,\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\,dx\,dy-\int p(x)\,\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\,dx.}$$ $${\displaystyle \int \mathbb {P} _{t+\Delta t,t}(y\mid x)\,\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\,dx=\mathbb {P} _{t+\Delta t,t'}(y\mid x'),}$$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int p(x)\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\left(\mathbb {P} _{t+\Delta t,t'}(x\mid x')-\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\right)\,dx,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \int [{\mathcal {L}}p(x)]\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\,dx=\int p(x)\,\partial _{t}\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\,dx.}$$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\dagger }}$ $${\displaystyle \int [{\mathcal {L}}p(x)]\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\,dx=\int p(x)[{\mathcal {L}}^{\dagger }\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')]\,dx,}$$ ${\displaystyle p(x,t)=\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\dagger }p(x,t)=\partial _{t}p(x,t).}$$

Остается вопрос явного определения . Это можно сделать, взяв ожидание из интегральной формы леммы Ито : ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ $${\displaystyle \mathbb {E} {\big (}p(X_{t}){\big )}=p(X_{0})+\mathbb {E} \left(\int _{0}^{t}\left(\partial _{t}+\mu \partial _{x}+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\partial _{x}^{2}\right)p(X_{t'})\,dt'\right).}$$

Часть, которая зависит от , исчезла из-за свойства мартингейла. ${\displaystyle dW_{t}}$

Тогда для частицы, подчиняющейся уравнению Ито, с его помощью можно легко вычислить, используя интегрирование по частям, что приводит нас к уравнению Фоккера–Планка: $${\displaystyle {\mathcal {L}}=\mu \partial _{x}+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\partial _{x}^{2},}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\dagger }=-\partial _{x}(\mu \cdot )+{\frac {1}{2}}\partial _{x}^{2}(\sigma ^{2}\cdot ),}$$ $${\displaystyle \partial _{t}p(x,t)=-\partial _{x}{\big (}\mu (x,t)\cdot p(x,t){\big )}+\partial _{x}^{2}\left({\frac {\sigma (x,t)^{2}}{2}}\,p(x,t)\right).}$$

В то время как уравнение Фоккера–Планка используется в задачах, где известно начальное распределение, если задача состоит в том, чтобы узнать распределение в предыдущие моменты времени, можно использовать формулу Фейнмана–Каца , которая является следствием обратного уравнения Колмогорова.

Стохастический процесс, определенный выше в смысле Ито, может быть переписан в рамках соглашения Стратоновича как СДУ Стратоновича: Он включает в себя добавленный член дрейфа, вызванный шумом из-за эффектов градиента диффузии, если шум зависит от состояния. Это соглашение чаще используется в физических приложениях. Действительно, хорошо известно, что любое решение СДУ Стратоновича является решением СДУ Ито. $${\displaystyle dX_{t}=\left[\mu (X_{t},t)-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial X_{t}}}D(X_{t},t)\right]\,dt+{\sqrt {2D(X_{t},t)}}\circ dW_{t}.}$$

Уравнение нулевого дрейфа с постоянной диффузией можно рассматривать как модель классического броуновского движения : $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}p(x,t)=D_{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[p(x,t)\right].}$$

Эта модель имеет дискретный спектр решений, если добавить условие фиксированных границ : ${\displaystyle \{0\leq x\leq L\}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}p(0,t)&=p(L,t)=0,\\p(x,0)&=p_{0}(x).\end{aligned}}}$$

Показано ^[11], что в этом случае аналитический спектр решений позволяет вывести локальное соотношение неопределенности для фазового объема координаты-скорости: Здесь — минимальное значение соответствующего диффузионного спектра , а и представляют собой неопределенность определения координаты-скорости. $${\displaystyle \Delta x\,\Delta v\geq D_{0}.}$$ ${\displaystyle D_{0}}$ ${\displaystyle D_{j}}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta v}$

Более высокие измерения

В более общем смысле, если

$${\displaystyle d\mathbf {X} _{t}={\boldsymbol {\mu }}(\mathbf {X} _{t},t)\,dt+{\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {X} _{t},t)\,d\mathbf {W} _{t},}$$

где и являются N -мерными векторами , является матрицей и является M -мерным стандартным винеровским процессом , плотность вероятности для удовлетворяет уравнению Фоккера–Планка ${\displaystyle \mathbf {X} _{t}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}(\mathbf {X} _{t},t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {X} _{t},t)}$ ${\displaystyle N\times M}$ ${\displaystyle \mathbf {W} _{t}}$ ${\displaystyle p(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {X} _{t}}$

${\displaystyle {\frac {\partial p(\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[\mu _{i}(\mathbf {x} ,t)p(\mathbf {x} ,t)\right]+\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}\left[D_{ij}(\mathbf {x} ,t)p(\mathbf {x} ,t)\right],}$

с вектором дрейфа и тензором диффузии , т.е. ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=(\mu _{1},\ldots ,\mu _{N})}$ ${\textstyle \mathbf {D} ={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\sigma \sigma }}^{\mathsf {T}}}$ $${\displaystyle D_{ij}(\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{M}\sigma _{ik}(\mathbf {x} ,t)\sigma _{jk}(\mathbf {x} ,t).}$$

Если вместо уравнения Ито рассматривается уравнение Стратоновича ,

$${\displaystyle d\mathbf {X} _{t}={\boldsymbol {\mu }}(\mathbf {X} _{t},t)\,dt+{\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {X} _{t},t)\circ d\mathbf {W} _{t},}$$

уравнение Фоккера–Планка будет иметь вид: ^{[10] : 129}

$${\displaystyle {\frac {\partial p(\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[\mu _{i}(\mathbf {x} ,t)\,p(\mathbf {x} ,t)\right]+{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{M}\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left\{\sigma _{ik}(\mathbf {x} ,t)\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[\sigma _{jk}(\mathbf {x} ,t)\,p(\mathbf {x} ,t)\right]\right\}}$$

Обобщение

В общем случае уравнения Фоккера–Планка являются частным случаем общего прямого уравнения Колмогорова

$${\displaystyle \partial _{t}\rho ={\mathcal {A}}^{*}\rho }$$

где линейный оператор является эрмитовым сопряженным к бесконечно малому генератору для марковского процесса . ^[12] ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}}$

Примеры

процесс Винера

Стандартный скалярный винеровский процесс генерируется стохастическим дифференциальным уравнением

$${\displaystyle dX_{t}=dW_{t}.}$$

Здесь дрейфовый член равен нулю, а коэффициент диффузии равен 1/2. Таким образом, соответствующее уравнение Фоккера–Планка имеет вид

$${\displaystyle {\frac {\partial p(x,t)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}p(x,t)}{\partial x^{2}}},}$$

что является простейшей формой уравнения диффузии . Если начальное условие , то решение ${\displaystyle p(x,0)=\delta (x)}$

$${\displaystyle p(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t}}}e^{-{x^{2}}/({2t})}.}$$

Распределение Больцмана при термодинамическом равновесии

Сверхдемпфированное уравнение Ланжевена дает . Распределение Больцмана является равновесным распределением, и если предположить, что оно растет достаточно быстро (то есть потенциальная яма достаточно глубока, чтобы удержать частицу), распределение Больцмана является единственным равновесным распределением. $${\displaystyle dx_{t}=-{\frac {1}{k_{\text{B}}T}}(\nabla _{x}U)dt+dW_{t}}$$ ${\textstyle \partial _{t}p={\frac {1}{2}}\nabla \cdot \left({\frac {p}{k_{\text{B}}T}}\nabla U+\nabla p\right)}$ ${\displaystyle p(x)\propto e^{-U(x)/k_{\text{B}}T}}$ ${\displaystyle U}$

Процесс Орнштейна-Уленбека

Процесс Орнштейна -Уленбека — это процесс, определяемый как

$${\displaystyle dX_{t}=-aX_{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}.}$$

с . Физически это уравнение можно сформулировать следующим образом: частица массы со скоростью, движущаяся в среде, например, жидкости, будет испытывать силу трения, которая сопротивляется движению, величина которой может быть приближенно пропорциональна скорости частицы с . Другие частицы в среде будут случайным образом толкать частицу, сталкиваясь с ней, и этот эффект можно приблизить термином белого шума; . Второй закон Ньютона записывается как ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V_{t}}$ ${\displaystyle -aV_{t}}$ ${\displaystyle a=\mathrm {constant} }$ ${\displaystyle \sigma (dW_{t}/dt)}$

$${\displaystyle m{\frac {dV_{t}}{dt}}=-aV_{t}+\sigma {\frac {dW_{t}}{dt}}.}$$

Взяв для простоты и изменив обозначение, приходим к знакомой форме . ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle V_{t}\rightarrow X_{t}}$ ${\displaystyle dX_{t}=-aX_{t}dt+\sigma dW_{t}}$

Соответствующее уравнение Фоккера–Планка имеет вид $${\displaystyle {\frac {\partial p(x,t)}{\partial t}}=a{\frac {\partial }{\partial x}}\left(x\,p(x,t)\right)+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}p(x,t)}{\partial x^{2}}},}$$

Стационарное решение ( ) есть ${\displaystyle \partial _{t}p=0}$ $${\displaystyle p_{ss}(x)={\sqrt {\frac {a}{\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{ax^{2}}/{\sigma ^{2}}}.}$$

Физика плазмы

В физике плазмы функция распределения для вида частиц , , занимает место функции плотности вероятности . Соответствующее уравнение Больцмана задается как ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle p_{s}(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t)}$

$${\displaystyle {\frac {\partial p_{s}}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}p_{s}+{\frac {Z_{s}e}{m_{s}}}\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\cdot {\boldsymbol {\nabla }}_{v}p_{s}=-{\frac {\partial }{\partial v_{i}}}\left(p_{s}\langle \Delta v_{i}\rangle \right)+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial v_{i}\,\partial v_{j}}}\left(p_{s}\langle \Delta v_{i}\,\Delta v_{j}\rangle \right),}$$

где третий член включает ускорение частицы из-за силы Лоренца , а член Фоккера–Планка в правой части представляет эффекты столкновений частиц. Величины и представляют собой среднее изменение скорости, которое испытывает частица типа из-за столкновений со всеми другими видами частиц в единицу времени. Выражения для этих величин приведены в другом месте. ^[13] Если игнорировать столкновения, уравнение Больцмана сводится к уравнению Власова . ${\displaystyle \langle \Delta v_{i}\rangle }$ ${\displaystyle \langle \Delta v_{i}\,\Delta v_{j}\rangle }$ ${\displaystyle s}$

Уравнение диффузии Смолуховского

Рассмотрим сверхдемпфированную броуновскую частицу под действием внешней силы : ^[14] где член пренебрежимо мал (смысл «сверхдемпфированный»). Таким образом, это просто . Уравнение Фоккера–Планка для этой частицы — это уравнение диффузии Смолуховского: Где — константа диффузии, а . Важность этого уравнения в том, что оно позволяет учесть как влияние температуры на систему частиц, так и пространственно зависимую константу диффузии. ${\displaystyle F(r)}$ $${\displaystyle m{\ddot {r}}=-\gamma {\dot {r}}+F(r)+\sigma \xi (t)}$$ ${\displaystyle m{\ddot {r}}}$ ${\displaystyle \gamma \,dr=F(r)\,dt+\sigma \,dW_{t}}$ $${\displaystyle \partial _{t}P(r,t|r_{0},t_{0})=\nabla \cdot [D(\nabla -\beta F(r))P(r,t|r_{0},t_{0})]}$$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\text{B}}T}}}$

Вывод уравнения Смолуховского из уравнения Фоккера–Планка

Начнем с уравнения Ланжевена броуновской частицы во внешнем поле , где — член трения, — флуктуирующая сила, действующая на частицу, — амплитуда флуктуации. ${\displaystyle F(r)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \sigma }$

$${\displaystyle m{\ddot {r}}=-\gamma {\dot {r}}+F(r)+\sigma \xi (t)}$$

В состоянии равновесия сила трения намного больше силы инерции, . Поэтому уравнение Ланжевена принимает вид, ${\displaystyle \left\vert \gamma {\dot {r}}\right\vert \gg \left\vert m{\ddot {r}}\right\vert }$

$${\displaystyle \gamma {\dot {r}}=F(r)+\sigma \xi (t)}$$

Что порождает следующее уравнение Фоккера–Планка:

$${\displaystyle \partial _{t}P(r,t|r_{0},t_{0})=\left(\nabla ^{2}{\frac {\sigma ^{2}}{2\gamma ^{2}}}-\nabla \cdot {\frac {F(r)}{\gamma }}\right)P(r,t|r_{0},t_{0})}$$

Переформулируем уравнение Фоккера–Планка,

$${\displaystyle \partial _{t}P(r,t|r_{0},t_{0})=\nabla \cdot \left(\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}\right)P(r,t|r_{0},t_{0})}$$

Где . Обратите внимание , что коэффициент диффузии не обязательно может быть пространственно независимым, если или пространственно зависимы. ${\displaystyle D={\frac {\sigma ^{2}}{2\gamma ^{2}}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \gamma }$

Далее, общее число частиц в любом конкретном объеме определяется по формуле:

$${\displaystyle N_{V}(t|r_{0},t_{0})=\int _{V}drP(r,t|r_{0},t_{0})}$$

Таким образом, поток частиц можно определить, взяв производную по времени от числа частиц в данном объеме, подставив уравнение Фоккера–Планка, а затем применив теорему Гаусса .

$${\displaystyle \partial _{t}N_{V}(t|r_{0},t_{0})=\int _{V}dV\nabla \cdot \left(\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}\right)P(r,t|r_{0},t_{0})=\int _{\partial V}d\mathbf {a} \cdot j(r,t|r_{0},t_{0})}$$

$${\displaystyle j(r,t|r_{0},t_{0})=\left(\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}\right)P(r,t|r_{0},t_{0})}$$

В равновесии предполагается, что поток стремится к нулю. Поэтому для вероятности нахождения частицы в равновесии можно применить статистику Больцмана, где — консервативная сила, а вероятность нахождения частицы в состоянии задается как . ${\displaystyle F(r)=-\nabla U(r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle P(r,t|r_{0},t_{0})={\frac {e^{-\beta U(r)}}{Z}}}$

$${\displaystyle j(r,t|r_{0},t_{0})=\left(\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}\right){\frac {e^{-\beta U(r)}}{Z}}=0}$$

$${\displaystyle \Rightarrow \nabla D=F(r)\left({\frac {1}{\gamma }}-D\beta \right)}$$

Это соотношение является реализацией теоремы флуктуации-диссипации . Теперь, применяя и используя теорему флуктуации-диссипации, ${\displaystyle \nabla \cdot \nabla }$ ${\displaystyle DP(r,t|r_{0},t_{0})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \nabla DP(r,t|r_{0},t_{0})&=\nabla \cdot D\nabla P(r,t|r_{0},t_{0})+\nabla \cdot P(r,t|r_{0},t_{0})\nabla D\\&=\nabla \cdot D\nabla P(r,t|r_{0},t_{0})+\nabla \cdot P(r,t|r_{0},t_{0}){\frac {F(r)}{\gamma }}-\nabla \cdot P(r,t|r_{0},t_{0})D\beta F(r)\end{aligned}}}$$

Перестановка,

$${\displaystyle \Rightarrow \nabla \cdot \left(\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}\right)P(r,t|r_{0},t_{0})=\nabla \cdot D(\nabla -\beta F(r))P(r,t|r_{0},t_{0})}$$

Таким образом, уравнение Фоккера–Планка становится уравнением Смолуховского, $${\displaystyle \partial _{t}P(r,t|r_{0},t_{0})=\nabla \cdot D(\nabla -\beta F(r))P(r,t|r_{0},t_{0})}$$

для произвольной силы . ${\displaystyle F(r)}$

Вычислительные соображения

Броуновское движение следует уравнению Ланжевена , которое может быть решено для многих различных стохастических воздействий с усреднением результатов (канонический ансамбль в молекулярной динамике ). Однако вместо этого вычислительно интенсивного подхода можно использовать уравнение Фоккера–Планка и рассмотреть вероятность того, что частица имеет скорость в интервале , когда она начинает свое движение в момент времени 0. ${\displaystyle p(\mathbf {v} ,t)\,d\mathbf {v} }$ ${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {v} +d\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$

Моделирование броуновской динамики для частиц в одномерном линейном потенциале по сравнению с решением уравнения Фоккера–Планка

Пример одномерного линейного потенциала

Броуновская динамика в одном измерении проста. ^{[14] [15]}

Теория

Начиная с линейного потенциала вида, соответствующее уравнение Смолуховского принимает вид: ${\displaystyle U(x)=cx}$

$${\displaystyle \partial _{t}P(x,t|x_{0},t_{0})=\partial _{x}D(\partial _{x}+\beta c)P(x,t|x_{0},t_{0})}$$

Где константа диффузии, , постоянна в пространстве и времени. Граничные условия таковы, что вероятность исчезает при с начальным условием ансамбля частиц, начинающихся в одном и том же месте, . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x\rightarrow \pm \infty }$ ${\displaystyle P(x,t|x_{0},t_{0})=\delta (x-x_{0})}$

Определение и применение преобразования координат, ${\displaystyle \tau =Dt}$ ${\displaystyle b=\beta c}$

$${\displaystyle y=x+\tau b,\ \ \ y_{0}=x_{0}+\tau _{0}b}$$

При этом уравнение Смолуховского становится таким: ${\displaystyle P(x,t,|x_{0},t_{0})=q(y,\tau |y_{0},\tau _{0})}$ $${\displaystyle \partial _{\tau }q(y,\tau |y_{0},\tau _{0})=\partial _{y}^{2}q(y,\tau |y_{0},\tau _{0})}$$

Что такое уравнение свободной диффузии с решением, $${\displaystyle q(y,\tau |y_{0},\tau _{0})={\frac {1}{\sqrt {4\pi (\tau -\tau _{0})}}}e^{-{\frac {(y-y_{0})^{2}}{4(\tau -\tau _{0})}}}}$$

И после преобразования обратно в исходные координаты, $${\displaystyle P(x,t|x_{0},t_{0})={\frac {1}{\sqrt {4\pi D(t-t_{0})}}}\exp {\left[{-{\frac {(x-x_{0}+D\beta c(t-t_{0}))^{2}}{4D(t-t_{0})}}}\right]}}$$

Моделирование

Моделирование справа было завершено с использованием моделирования броуновской динамики . ^{[16] [17]} Начиная с уравнения Ланжевена для системы, где — член трения, — флуктуирующая сила на частице, — амплитуда флуктуации. В состоянии равновесия сила трения намного больше силы инерции, . Поэтому уравнение Ланжевена становится таким: $${\displaystyle m{\ddot {x}}=-\gamma {\dot {x}}-c+\sigma \xi (t)}$$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \left|\gamma {\dot {x}}\right|\gg \left|m{\ddot {x}}\right|}$ $${\displaystyle \gamma {\dot {x}}=-c+\sigma \xi (t)}$$

Для моделирования броуновской динамики предполагается, что сила флуктуации является гауссовой с амплитудой, зависящей от температуры системы . Переписывая уравнение Ланжевена, ${\displaystyle \xi (t)}$ ${\textstyle \sigma ={\sqrt {2\gamma k_{\text{B}}T}}}$

$${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=-D\beta c+{\sqrt {2D}}\xi (t)}$$где — соотношение Эйнштейна. Интеграция этого уравнения была выполнена с использованием метода Эйлера–Маруямы для численной аппроксимации траектории этой броуновской частицы. ${\textstyle D={\frac {k_{\text{B}}T}{\gamma }}}$

Решение

Будучи частным дифференциальным уравнением , уравнение Фоккера–Планка может быть решено аналитически только в особых случаях. Формальная аналогия уравнения Фоккера–Планка с уравнением Шредингера позволяет использовать передовые операторные методы, известные из квантовой механики, для его решения в ряде случаев. Кроме того, в случае сверхдемпфированной динамики, когда уравнение Фоккера–Планка содержит вторые частные производные по всем пространственным переменным, уравнение можно записать в виде основного уравнения , которое можно легко решить численно. ^[18] Во многих приложениях интересует только стационарное распределение вероятностей , которое можно найти из . Вычисление средних времен первого прохождения и вероятностей расщепления можно свести к решению обыкновенного дифференциального уравнения, которое тесно связано с уравнением Фоккера–Планка. ${\displaystyle p_{0}(x)}$ ${\textstyle {\frac {\partial p(x,t)}{\partial t}}=0}$

Частные случаи с известным решением и инверсией

В математических финансах для моделирования волатильности улыбки опционов через локальную волатильность возникает проблема вывода коэффициента диффузии , согласующегося с плотностью вероятности, полученной из рыночных котировок опционов. Таким образом, эта проблема является инверсией уравнения Фоккера–Планка: учитывая плотность f(x,t) базового опциона X, выведенную из рынка опционов, мы стремимся найти локальную волатильность, согласующуюся с f . Это обратная задача , которая была решена в общем случае Дюпиром (1994, 1997) с помощью непараметрического решения. ^{[19] [20]} Бриго и Меркурио (2002, 2003) предлагают решение в параметрической форме через конкретную локальную волатильность, согласующуюся с решением уравнения Фоккера–Планка, заданного смешанной моделью . ^{[21] [22]} Более подробная информация доступна также в Fengler (2008), ^[23] Gatheral (2008), ^[24] и Musiela и Rutkowski (2008). ^[25] ${\displaystyle {\sigma }(\mathbf {X} _{t},t)}$ ${\displaystyle {\sigma }(\mathbf {X} _{t},t)}$ ${\displaystyle {\sigma }(\mathbf {X} _{t},t)}$

Уравнение Фоккера–Планка и интеграл по траектории

Каждое уравнение Фоккера–Планка эквивалентно интегралу по траектории . Формулировка интеграла по траектории является превосходной отправной точкой для применения методов теории поля. ^[26] Это используется, например, в критической динамике .

Вывод интеграла по траектории возможен аналогично квантовой механике. Вывод для уравнения Фоккера–Планка с одной переменной выглядит следующим образом. Начнем с вставки дельта-функции , а затем проинтегрируем по частям: ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}p{\left(x',t\right)}&=-{\frac {\partial }{\partial x'}}\left[D_{1}(x',t)p(x',t)\right]+{\frac {\partial ^{2}}{\partial {x'}^{2}}}\left[D_{2}(x',t)p(x',t)\right]\\[1ex]&=\int _{-\infty }^{\infty }dx\left[\left(D_{1}{\left(x,t\right)}{\frac {\partial }{\partial x}}+D_{2}{\left(x,t\right)}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)\delta {\left(x'-x\right)}\right]p(x,t).\end{aligned}}}$$

Производные здесь действуют только на -функцию, а не на . Интегрируем по временному интервалу , ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle p(x,t)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

$${\displaystyle p(x',t+\varepsilon )=\int _{-\infty }^{\infty }\,\mathrm {d} x\left(\left(1+\varepsilon \left[D_{1}(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}+D_{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right]\right)\delta (x'-x)\right)p(x,t)+O(\varepsilon ^{2}).}$$

Вставьте интеграл Фурье

$${\displaystyle \delta {\left(x'-x\right)}=\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\mathrm {d} {\tilde {x}}}{2\pi i}}e^{{\tilde {x}}{\left(x-x'\right)}}}$$

для -функции, ${\displaystyle \delta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}p(x',t+\varepsilon )&=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\mathrm {d} {\tilde {x}}}{2\pi i}}\left(1+\varepsilon \left[{\tilde {x}}D_{1}(x,t)+{\tilde {x}}^{2}D_{2}(x,t)\right]\right)e^{{\tilde {x}}(x-x')}p(x,t)+O(\varepsilon ^{2})\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\mathrm {d} {\tilde {x}}}{2\pi i}}\exp \left(\varepsilon \left[-{\tilde {x}}{\frac {(x'-x)}{\varepsilon }}+{\tilde {x}}D_{1}(x,t)+{\tilde {x}}^{2}D_{2}(x,t)\right]\right)p(x,t)+O(\varepsilon ^{2}).\end{aligned}}}$$

Это уравнение выражается как функционал от . Итерации по времени и выполнение предела дают интеграл по пути с действием ${\displaystyle p(x',t+\varepsilon )}$ ${\displaystyle p(x,t)}$ ${\displaystyle (t'-t)/\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0}$

$${\displaystyle S=\int \mathrm {d} t\left[{\tilde {x}}D_{1}(x,t)+{\tilde {x}}^{2}D_{2}(x,t)-{\tilde {x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}\right].}$$

Переменные, сопряженные с , называются «переменными отклика». ^[27] ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ ${\displaystyle x}$

Хотя формально они эквивалентны, различные проблемы могут быть решены проще в уравнении Фоккера–Планка или формулировке интеграла по траектории. Например, равновесное распределение может быть получено более непосредственно из уравнения Фоккера–Планка.

Смотрите также

• Иерархия уравнений Боголюбова–Борна–Грина–Кирквуда–Ивона
• Уравнение Больцмана
• Уравнение конвекции-диффузии
• Уравнение Клейна–Крамерса
• Обратное уравнение Колмогорова
• Уравнение Колмогорова
• Уравнение Ланжевена
• Основное уравнение
• Теория игр среднего поля
• Процесс Орнштейна-Уленбека
• Уравнение Власова

Примечания и ссылки

1. Лео П. Каданофф (2000). Статистическая физика: статика, динамика и перенормировка. World Scientific. ISBN 978-981-02-3764-6.
2. Фоккер, AD (1914). «Die mittlere Energie rotierender elektrischer Dipole im Strahlungsfeld». Энн. Физ. 348 (4. Фольге 43): 810–820. Бибкод : 1914АнП...348..810F. дои : 10.1002/andp.19143480507.
3. Планк, М. (1917). «Über einen Satz der statistischen Dynamik und seine Erweiterung in der Quantentheorie». Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin . 24 : 324–341.
4. Колмогоров, Андрей (1931). «Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitstheorie» [Об аналитических методах в теории вероятностей]. Mathematische Annalen (на немецком языке). 104 (1): 415–458 [стр. 448–451]. дои : 10.1007/BF01457949. S2CID  119439925.
5. Дхонт, Дж. К. Г. (1996). Введение в динамику коллоидов. Elsevier. стр. 183. ISBN 978-0-08-053507-4.
6. Пауль, Вольфганг; Башнагель, Йорг (2013). «Краткий обзор математики теории вероятностей». Стохастические процессы . Springer. стр. 17–61 [особенно 33–35]. doi :10.1007/978-3-319-00327-6_2. ISBN 978-3-319-00326-9.
7. Н. Н. Боголюбов-младший и Д. П. Санкович (1994). "Н. Н. Боголюбов и статистическая механика". Обзоры РАН 49 (5): 19—49. doi :10.1070/RM1994v049n05ABEH002419
8. Н. Н. Боголюбов и Н. М. Крылов (1939). Уравнения Фоккера–Планка, полученные в теории возмущений методом, основанным на спектральных свойствах возмущенного гамильтониана . Записки Кафедры Физики Академии Наук Украинской ССР 4 : 81–157 (на украинском языке).
9. Рискен, Х. (1996), Уравнение Фоккера–Планка: методы решения и приложения , т. Второе издание, третий тираж, стр. 72
10. Оттингер, Ганс Кристиан (1996). Стохастические процессы в полимерных жидкостях . Берлин-Гейдельберг: Springer-Verlag. п. 75. ИСБН 978-3-540-58353-0.
11. Каменщиков, С. (2014). «Кластеризация и неопределенность в системах идеального хаоса». Журнал хаоса . 2014 : 1–6. arXiv : 1301.4481 . doi : 10.1155/2014/292096 . S2CID  17719673.
12. Павлиотис, Григориос А. (2014). Стохастические процессы и приложения: диффузионные процессы, уравнения Фоккера-Планка и Ланжевена . Springer. стр. 38–40. doi :10.1007/978-1-4939-1323-7_2. ISBN 978-1-4939-1322-0.
13. Rosenbluth, MN (1957). "Уравнение Фоккера–Планка для силы, обратно пропорциональной квадрату". Physical Review . 107 (1): 1–6. Bibcode : 1957PhRv..107....1R. doi : 10.1103/physrev.107.1.
14. Ioan, Kosztin (весна 2000 г.). "Уравнение диффузии Смолуховского". Неравновесная статистическая механика: заметки по курсу .
15. Коштин, Иоан (весна 2000 г.). «Применение метода броуновской динамики». Неравновесная статистическая механика: заметки по курсу .
16. Козтин, Иоан. "Броуновская динамика". Неравновесная статистическая механика: заметки по курсу . Архивировано из оригинала 2020-01-15 . Получено 2020-05-18 .
17. Kosztin, Ioan. "The Brownian Dynamics Method Applied". Non-Equilibrium Statistical Mechanics: Course Notes . Архивировано из оригинала 2020-01-15 . Получено 2020-05-18 .
18. Голубец Виктор, Крой Клаус и Стеффенони Стефано (2019). "Физически согласованный численный решатель для зависящих от времени уравнений Фоккера–Планка". Phys. Rev. E . 99 (4): 032117. arXiv : 1804.01285 . Bibcode :2019PhRvE..99c2117H. doi :10.1103/PhysRevE.99.032117. PMID  30999402. S2CID  119203025.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
19. Бруно Дюпире (1994) Цены с улыбкой. Журнал «Риск» , 18–20 января.
20. Бруно Дюпир (1997) Ценообразование и хеджирование с улыбками. Математика производных ценных бумаг. Под редакцией MAH Dempster и SR Pliska, Cambridge University Press, Кембридж, 103–111. ISBN 0-521-58424-8 . 
21. Бриго, Д.; Меркурио, Фабио (2002). «Динамика логнормальной смеси и калибровка улыбок волатильности рынка». Международный журнал теоретических и прикладных финансов . 5 (4): 427–446. CiteSeerX 10.1.1.210.4165 . doi :10.1142/S0219024902001511. 
22. Бриго, Д.; Меркурио, Ф.; Сарторелли, Г. (2003). «Альтернативная динамика цен на активы и улыбка волатильности». Количественные финансы . 3 (3): 173–183. doi :10.1088/1469-7688/3/3/303. S2CID  154069452.
23. Фенглер, MR (2008). Полупараметрическое моделирование подразумеваемой волатильности, 2005, Springer Verlag, ISBN 978-3-540-26234-3 
24. Джим Гатерал (2008). Поверхность волатильности. Wiley and Sons, ISBN 978-0-471-79251-2 . 
25. Марек Мусиела, Марек Рутковски. Методы Мартингейла в финансовом моделировании , 2008 г., 2-е издание, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-20966-9 . 
26. Зинн-Джастин, Жан (1996). Квантовая теория поля и критические явления . Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-851882-2.
27. Janssen, HK (1976). «О лагранже для классической динамики поля и расчете ренормгруппы динамических критических свойств». Z. Phys . B23 (4): 377–380. Bibcode : 1976ZPhyB..23..377J. doi : 10.1007/BF01316547. S2CID  121216943.

Дальнейшее чтение

• Франк, Тилл Даниэль (2005). Нелинейные уравнения Фоккера–Планка: основы и приложения . Серия Springer по синергетике. Springer. ISBN 3-540-21264-7.
• Гардинер, Криспин (2009). Стохастические методы (4-е изд.). Springer. ISBN 978-3-540-70712-7.
• Павлиотис, Григориос А. (2014). Стохастические процессы и приложения: диффузионные процессы, уравнения Фоккера–Планка и Ланжевена . Springer Texts in Applied Mathematics. Springer. ISBN 978-1-4939-1322-0.
• Рискен, Ханнес (1996). Уравнение Фоккера–Планка: методы решений и приложений . Springer Series in Synergetics (2-е изд.). Springer. ISBN 3-540-61530-X.