Конверт Снелла

Огибающая Снелла , используемая в стохастике и финансовой математике , является наименьшим супермартингалом, доминирующим над стохастическим процессом . Огибающая Снелла названа в честь Джеймса Лори Снелла .

Определение

При наличии отфильтрованного вероятностного пространства и абсолютно непрерывной вероятностной меры адаптированный процесс является огибающей Снеллиуса относительно процесса, если ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \ll \mathbb {P} }$ ${\displaystyle U=(U_{t})_{t\in [0,T]}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in [0,T]}}$

1. ${\displaystyle U}$является -супермартингалом ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
2. ${\displaystyle U}$доминирует , т.е. - почти наверняка на все времена ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{t}\geq X_{t}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle t\in [0,T]}$
3. Если - супермартингал, который доминирует , то доминирует . ^[1] ${\displaystyle V=(V_{t})_{t\in [0,T]}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$

Строительство

Если задано (дискретное) отфильтрованное вероятностное пространство и абсолютно непрерывная вероятностная мера , то огибающая Снеллиуса относительно процесса задается рекурсивной схемой ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{n})_{n=0}^{N},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \ll \mathbb {P} }$ ${\displaystyle (U_{n})_{n=0}^{N}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle (X_{n})_{n=0}^{N}}$

${\displaystyle U_{N}:=X_{N},}$

${\displaystyle U_{n}:=X_{n}\lor \mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[U_{n+1}\mid {\mathcal {F}}_{n}]}$для ${\displaystyle n=N-1,...,0}$

где — объединение (в данном случае равное максимуму из двух случайных величин). ^[1] ${\displaystyle \lor }$

Приложение

• Если — дисконтированный американский опцион с конвертом Снелла, то — это минимальное требование к капиталу для хеджирования с момента истечения срока действия. ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{t}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t}$

Ссылки

1. Фёлльмер, Ганс; Шид, Александр (2004). Стохастические финансы: введение в дискретное время (2-е изд.). Вальтер де Грюйтер. стр. 280–282. ISBN 9783110183467.