Теорема Софи Жермен

О делимости решений Великой теоремы Ферма для простых показателей

В теории чисел теорема Софи Жермен представляет собой утверждение о делимости решений уравнения Великой теоремы Ферма для нечетных простых чисел . ${\displaystyle x^{p}+y^{p}=z^{p}}$ ${\displaystyle p}$

Официальное заявление

В частности, Софи Жермен доказала, что по крайней мере одно из чисел , , должно делиться на , если можно найти вспомогательное простое число , удовлетворяющее двум условиям: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle q}$

1. Никакие две ненулевые степени не отличаются по модулю на единицу ; и ${\displaystyle p^{\mathrm {th} }}$ ${\displaystyle q}$
2. ${\displaystyle p}$сама по себе не является модулем мощности . ${\displaystyle p^{\mathrm {th} }}$ ${\displaystyle q}$

Наоборот, первый случай Великой теоремы Ферма (случай, когда не делится ) должен выполняться для каждого простого числа , для которого можно найти хотя бы одно вспомогательное простое число. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle xyz}$ ${\displaystyle p}$

История

Жермен определила такое вспомогательное простое число для каждого простого числа, меньшего 100. Теорема и ее применение к простым числам, меньшим 100, были приписаны Жермен Адриеном -Мари Лежандром в 1823 году. ^[1] ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$

Общее доказательство теоремы

В то время как вспомогательное простое число не имеет никакого отношения к делимости на и также должно делить либо , либо , для чего произошло бы нарушение теоремы Ферма, и скорее всего верна гипотеза, что для заданного вспомогательного простого числа может быть сколь угодно большим, подобно простым числам Мерсенна, она, скорее всего, доказала теорему в общем случае, рассмотрев ее методом бесконечного восхождения, поскольку тогда по крайней мере одно из чисел , или должно быть сколь угодно большим, если делится на бесконечное число делителей и, следовательно, все по равенству, то их не существует. ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

Примечания

1. Лежандр AM (1823). «Исследования неопределенных и частных объектов анализа теории Ферма». Память акад. Рой. наук Института Франции . 6 .Дидо, Париж, 1827 г. Также появилось как второе приложение (1825 г.) к Essai sur la theorie des nombres , 2-е изд., Париж, 1808 г.; также переиздано в «Сфинкс-Эдипе» 4 (1909), 97–128.

Ссылки

• Лаубенбахер Р., Пенгелли Д. (2007) «Voici ce que j'ai trouvé»: грандиозный план Софи Жермен по доказательству Великой теоремы Ферма
• Морделл Л. Дж. (1921). Три лекции о Великой теореме Ферма. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. 27–31.
• Рибенбойм П (1979). 13 лекций по Великой теореме Ферма . Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 54–63. ISBN 978-0-387-90432-0.