Симплектическая группа

В математике название симплектическая группа может относиться к двум различным, но тесно связанным, наборам математических групп , обозначаемым $Sp(2 n, F)$ и $Sp(n)$ для положительного целого числа n и поля F (обычно C или R ). Последний называется компактной симплектической группой и также обозначается . Многие авторы предпочитают немного другие обозначения, обычно отличающиеся в $2$ раза . Обозначения, используемые здесь, согласуются с размером наиболее распространенных матриц , представляющих группы. В классификации Картана простых алгебр Ли алгебра Ли комплексной группы $Sp(2$ $n$ $,$ $C$ $)$ обозначается $C$ $n$ , а $Sp($ $n$ $)$ является компактной вещественной формой Sp $(2$ $n$ $,$ $C$ $)$ . Обратите внимание, что когда мы ссылаемся на ( компактную ) симплектическую группу, подразумевается, что мы говорим о наборе (компактных) симплектических групп, индексированных по их размерности $n$ . $\mathrm {USp} (n)$

Название « симплектическая группа» было придумано Германом Вейлем в качестве замены предыдущих запутанных названий комплексная группа ( линия ) и абелева линейная группа , и является греческим аналогом слова «комплекс».

Метаплектическая группа является двойным покрытием симплектической группы над R ; она имеет аналоги над другими локальными полями , конечными полями и кольцами аделей .

Sp( 2n , F )

Симплектическая группа — это классическая группа, определяемая как множество линейных преобразований $2 n$ -мерного векторного пространства над полем $F,$ которые сохраняют невырожденную кососимметричную билинейную форму . Такое векторное пространство называется симплектическим векторным пространством , а симплектическая группа абстрактного симплектического векторного пространства $V$ обозначается $Sp(V)$ . После фиксации базиса для $V$ симплектическая группа становится группой симплектических матриц размера $2 n \times 2 n$ с элементами в $F$ , относительно операции умножения матриц . Эта группа обозначается либо $Sp(2$ $n$ $,$ $F$ $)$ , либо $Sp($ $n$ $,$ $F$ $)$ . Если билинейная форма представлена невырожденной кососимметричной матрицей Ω, то

\operatorname {Sp} (2n,F)=\{M\in M_{2n\times 2n}(F):M^{\mathrm {T} }\Omega M=\Omega \},

где M ^T — транспонированная M. Часто Ω определяется как

\Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}},

где I _n — единичная матрица. В этом случае $Sp(2 n, F)$ можно выразить как те блочные матрицы , где , удовлетворяющие трем уравнениям: $({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}})$ $A,B,C,D\in M_{n\times n}(F)$

{\begin{aligned}-C^{\mathrm {T} }A+A^{\mathrm {T} }C&=0,\\-C^{\mathrm {T} }B+A^{\mathrm {T} }D&=I_{n},\\-D^{\mathrm {T} }B+B^{\mathrm {T} }D&=0.\end{aligned}}

Поскольку все симплектические матрицы имеют определитель $1$ , симплектическая группа является подгруппой специальной линейной группы $SL(2 n, F)$ . Когда $n = 1$ , симплектическое условие на матрице выполняется тогда и только тогда, когда определитель равен единице, так что $Sp(2, F) = SL(2, F)$ . Для $n > 1$ существуют дополнительные условия, т.е. $Sp(2 n, F)$ является собственной подгруппой $SL(2 n, F)$ .

Обычно поле $F$ является полем действительных чисел $R$ или комплексных чисел $C$ . В этих случаях $Sp(2 n, F)$ является действительной или комплексной группой Ли действительной или комплексной размерности $n (2 n + 1)$ , соответственно. Эти группы связны , но некомпактны .

Центр Sp $(2$ n $,$ $F$ $)$ $состоит$ из матриц $I$ $2$ $n$ и $-$ $I$ $2$ $n ,$ пока характеристика поля не равна $2$ . ^[1] Поскольку центр $Sp(2$ $n$ $,$ $F$ $)$ дискретен и его частное по модулю центра является простой группой , $Sp(2$ $n$ $,$ $F$ $)$ считается простой группой Ли .

Действительный ранг соответствующей алгебры Ли, а следовательно, и группы Ли $Sp(2 n, F)$ , равен $n$ .

Алгебра Ли Sp $(2 n, F)$ — это множество

{\mathfrak {sp}}(2n,F)=\{X\in M_{2n\times 2n}(F):\Omega X+X^{\mathrm {T} }\Omega =0\},

снабженная коммутатором в качестве скобки Ли. ^[2] Для стандартной кососимметричной билинейной формы эта алгебра Ли представляет собой множество всех блочных матриц, подчиненных условиям $\Omega =({\begin{smallmatrix}0&I\\-I&0\end{smallmatrix}})$ $({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}})$

{\begin{aligned}A&=-D^{\mathrm {T} },\\B&=B^{\mathrm {T} },\\C&=C^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}

Sp( 2n , C )

Симплектическая группа над полем комплексных чисел является некомпактной , односвязной , простой группой Ли .

Sp( 2n , R )

$Sp(n, C)$ является комплексификацией действительной группы $Sp(2 n, R)$ . $Sp(2 n, R)$ является действительной, некомпактной , связной , простой группой Ли . ^[3] Она имеет фундаментальную группу, изоморфную группе целых чисел по сложению. Как действительная форма простой группы Ли ее алгебра Ли является расщепляемой алгеброй Ли .

Некоторые дополнительные свойства $Sp(2 n, R)$ :

Экспоненциальное отображение из алгебры Ли $sp (2 n, R)$ в группу $Sp(2 n, R)$ не является сюръективным . Однако любой элемент группы можно представить в виде произведения двух экспонент. ^[4] Другими словами,

\forall S\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )\,\,\exists X,Y\in {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbf {R} )\,\,S=e^{X}e^{Y}.

Для всех $S$ в $Sp(2 n, R)$ :

S=OZO'\quad {\text{such that}}\quad O,O'\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )\cap \operatorname {SO} (2n)\cong U(n)\quad {\text{and}}\quad Z={\begin{pmatrix}D&0\\0&D^{-1}\end{pmatrix}}.

Матрица

D

положительно определена и диагональна . Множество таких

Z

s образует некомпактную подгруппу

Sp(2 n, R)

, тогда как

U(n)

образует компактную подгруппу. Это разложение известно как разложение «Эйлера» или «Блоха–Мессии». ^[5] Дополнительные свойства симплектических матриц можно найти на этой странице Википедии.

Как группа Ли , $Sp(2 n, R)$ имеет структуру многообразия. Многообразие для $Sp(2 n, R)$ диффеоморфно декартову произведению унитарной группы $U($ $n$ $)$ с векторным пространством размерности $n$ $($ $n$ $+1)$ . ^[6]

Бесконечно малые генераторы

Членами симплектической алгебры Ли $sp (2 n, F)$ являются гамильтоновы матрицы .

Это матрицы, такие что $Q$

$Q={\begin{pmatrix}A&B\\C&-A^{\mathrm {T} }\end{pmatrix}}$

где $B$ и $C$ — симметричные матрицы . См. классическую группу для вывода.

Пример симплектических матриц

Для $Sp(2, R)$ , группы матриц $2 \times 2$ с определителем $1$ , три симплектические $(0, 1)$ -матрицы имеют вид: ^[7]

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.$

Сп(2н, Р)

Оказывается, что может иметь довольно явное описание с использованием генераторов. Если обозначить симметричные матрицы, то генерируется где $\operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )$ $\operatorname {Sym} (n)$ $n\times n$ $\operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )$ $D(n)\cup N(n)\cup \{\Omega \},$

${\begin{aligned}D(n)&=\left\{\left.{\begin{bmatrix}A&0\\0&(A^{T})^{-1}\end{bmatrix}}\,\right|\,A\in \operatorname {GL} (n,\mathbf {R} )\right\}\\[6pt]N(n)&=\left\{\left.{\begin{bmatrix}I_{n}&B\\0&I_{n}\end{bmatrix}}\,\right|\,B\in \operatorname {Sym} (n)\right\}\end{aligned}}$

являются подгруппами ^[8]^{стр. 173}^[9]^{стр. 2} . $\operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )$

Связь с симплектической геометрией

Симплектическая геометрия — это изучение симплектических многообразий . Касательное пространство в любой точке симплектического многообразия является симплектическим векторным пространством . ^[10] Как отмечалось ранее, сохраняющие структуру преобразования симплектического векторного пространства образуют группу , и эта группа есть $Sp(2 n, F)$ , в зависимости от размерности пространства и поля , над которым она определена.

Симплектическое векторное пространство само является симплектическим многообразием. Таким образом, преобразование под действием симплектической группы является, в некотором смысле, линеаризованной версией симплектоморфизма, который является более общим сохраняющим структуру преобразованием на симплектическом многообразии.

Сп( н )

Компактная симплектическая группа ^[11] $Sp(n)$ является пересечением $Sp(2 n, C)$ с унитарной группой: $2n\times 2n$

\operatorname {Sp} (n):=\operatorname {Sp} (2n;\mathbf {C} )\cap \operatorname {U} (2n)=\operatorname {Sp} (2n;\mathbf {C} )\cap \operatorname {SU} (2n).

Иногда его записывают как $USp(2 n)$ . В качестве альтернативы $Sp(n)$ можно описать как подгруппу $GL(n, H)$ (обратимые кватернионные матрицы), которая сохраняет стандартную эрмитову форму на $H n$ :

\langle x,y\rangle ={\bar {x}}_{1}y_{1}+\cdots +{\bar {x}}_{n}y_{n}.

То есть $Sp(n)$ — это просто кватернионная унитарная группа , $U(n, H)$ . ^[12] Действительно, ее иногда называют гиперунитарной группой . Также Sp(1) — это группа кватернионов нормы $1$ , эквивалентная $SU(2)$ и топологически $3$ -сфере $S 3$ .

Обратите внимание, что $Sp(n)$ не является симплектической группой в смысле предыдущего раздела — она не сохраняет невырожденную кососимметричную $H$ -билинейную форму на $H n$ : такой формы нет, кроме нулевой. Вместо этого она изоморфна подгруппе $Sp(2 n, C)$ , и поэтому сохраняет комплексную симплектическую форму в векторном пространстве удвоенной размерности. Как объясняется ниже, алгебра Ли $Sp(n)$ является компактной вещественной формой комплексной симплектической алгебры Ли $sp (2 n, C)$ .

$Sp(n)$ — действительная группа Ли с (действительной) размерностью $n (2 n + 1)$ . Она компактна и односвязна . ^[13]

Алгебра Ли $Sp(n)$ задается кватернионными косоэрмитовыми матрицами, набором кватернионных матриц $размера$ $n на n$ , которые удовлетворяют

A+A^{\dagger }=0

где $A †$ — сопряженное транспонирование A (здесь берется кватернионное сопряжение). Скобка Ли задается коммутатором $.$

Важные подгруппы

Некоторые основные подгруппы:

\operatorname {Sp} (n)\supset \operatorname {Sp} (n-1)

\operatorname {Sp} (n)\supset \operatorname {U} (n)

\operatorname {Sp} (2)\supset \operatorname {O} (4)

Наоборот, она сама является подгруппой некоторых других групп:

\operatorname {SU} (2n)\supset \operatorname {Sp} (n)

\operatorname {F} _{4}\supset \operatorname {Sp} (4)

\operatorname {G} _{2}\supset \operatorname {Sp} (1)

Имеются также изоморфизмы алгебр Ли $sp (2) = so (5)$ и $sp (1) = so (3) = su (2)$ .

Связь между симплектическими группами

Каждая комплексная полупростая алгебра Ли имеет расщеплённую действительную форму и компактную действительную форму ; первая называется комплексификацией последних двух.

Алгебра Ли $Sp(2 n, C)$ является полупростой и обозначается $sp (2 n, C)$ . Ее расщепленная вещественная форма — $sp (2 n, R)$ , а ее компактная вещественная форма — $sp (n)$ . Они соответствуют группам Ли $Sp(2 n, R)$ и $Sp(n)$ соответственно.

Алгебры $sp (p, n - p)$ , которые являются алгебрами Ли $Sp(p, n - p)$ , имеют неопределенную сигнатуру, эквивалентную компактной форме.

Физическое значение

Классическая механика

Некомпактная симплектическая группа $Sp(2 n, R)$ возникает в классической физике как симметрии канонических координат, сохраняющие скобку Пуассона.

Рассмотрим систему из $n$ частиц, эволюционирующую согласно уравнениям Гамильтона , положение которой в фазовом пространстве в данный момент времени обозначается вектором канонических координат ,

\mathbf {z} =(q^{1},\ldots ,q^{n},p_{1},\ldots ,p_{n})^{\mathrm {T} }.

Элементы группы $Sp(2 n, R)$ являются, в определенном смысле, каноническими преобразованиями на этом векторе, т.е. они сохраняют вид уравнений Гамильтона . ^[14]^[15] Если

\mathbf {Z} =\mathbf {Z} (\mathbf {z} ,t)=(Q^{1},\ldots ,Q^{n},P_{1},\ldots ,P_{n})^{\mathrm {T} }

— новые канонические координаты, затем, с точкой, обозначающей производную по времени,

{\dot {\mathbf {Z} }}=M({\mathbf {z} },t){\dot {\mathbf {z} }},

где

M(\mathbf {z} ,t)\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )

для всех $t$ и всех $z$ в фазовом пространстве. ^[16]

Для особого случая риманова многообразия уравнения Гамильтона описывают геодезические на этом многообразии. Координаты находятся на базовом многообразии, а импульсы находятся в кокасательном расслоении . Вот почему их обычно записывают с верхними и нижними индексами; это делается для того, чтобы различать их местоположения. Соответствующий гамильтониан состоит исключительно из кинетической энергии: это где — обратная величина метрического тензора на римановом многообразии. ^[17]^[15] Фактически, кокасательное расслоение любого гладкого многообразия может быть задано симплектической структурой каноническим способом, с симплектической формой, определенной как внешняя производная тавтологической одноформы . ^[18] $q^{i}$ $p_{i}$ $H={\tfrac {1}{2}}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}$ $g^{ij}$ $g_{ij}$

Квантовая механика

Рассмотрим систему из $n$ частиц, квантовое состояние которой кодирует ее положение и импульс. Эти координаты являются непрерывными переменными, и, следовательно, гильбертово пространство , в котором находится состояние, является бесконечномерным. Это часто делает анализ этой ситуации сложным. Альтернативный подход заключается в рассмотрении эволюции операторов положения и импульса под уравнением Гейзенберга в фазовом пространстве .

Построить вектор канонических координат ,

\mathbf {\hat {z}} =({\hat {q}}^{1},\ldots ,{\hat {q}}^{n},{\hat {p}}_{1},\ldots ,{\hat {p}}_{n})^{\mathrm {T} }.

Каноническое коммутационное соотношение можно выразить просто как

[\mathbf {\hat {z}} ,\mathbf {\hat {z}} ^{\mathrm {T} }]=i\hbar \Omega

где

\Omega ={\begin{pmatrix}\mathbf {0} &I_{n}\\-I_{n}&\mathbf {0} \end{pmatrix}}

а $I n$ — единичная матрица размера $n \times n$ .

Во многих физических ситуациях требуются только квадратичные гамильтонианы , т.е. гамильтонианы вида

{\hat {H}}={\frac {1}{2}}\mathbf {\hat {z}} ^{\mathrm {T} }K\mathbf {\hat {z}}

где $K$ — действительная симметричная матрица размером $2 n \times 2 n$ . Это оказывается полезным ограничением и позволяет нам переписать уравнение Гейзенберга как

{\frac {d\mathbf {\hat {z}} }{dt}}=\Omega K\mathbf {\hat {z}}

Решение этого уравнения должно сохранять каноническое коммутационное соотношение . Можно показать, что временная эволюция этой системы эквивалентна действию вещественной симплектической группы Sp(2n, R) на фазовом пространстве.

Смотрите также

Примечания

^ «Симплектическая группа», Энциклопедия математики . Получено 13 декабря 2014 г.
^ Холл 2015 Предложение 3.25
^ «Является ли симплектическая группа Sp(2n, R) простой?», Stack Exchange Получено 14 декабря 2014 г.
^ «Является ли экспоненциальное отображение для Sp(2n, R) сюръективным?», Stack Exchange Получено 5 декабря 2014 г.
^ «Стандартные формы и проектирование запутанности многомодовых гауссовых состояний при локальных операциях – Серафини и Адессо», Получено 30 января 2015 г.
^ «Симплектическая геометрия – Арнольд и Гивенталь», Получено 30 января 2015 г.
^ Симплектическая группа, (источник: Wolfram MathWorld ), загружено 14 февраля 2012 г.
^ Джеральд Б. Фолланд. (2016). Гармонический анализ в фазовом пространстве. Принстон: Princeton Univ Press. стр. 173. ISBN 978-1-4008-8242-7. OCLC 945482850.
^ Хаберман, Катарина, 1966- (2006). Введение в симплектические операторы Дирака. Springer. ISBN 978-3-540-33421-7. OCLC 262692314.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
^ «Конспект лекций – Лекция 2: Симплектическая редукция», Получено 30 января 2015 г.
^ Холл 2015 Раздел 1.2.8
^ Холл 2015 стр. 14
^ Холл 2015 Предложение 13.12
^ Арнольд 1989 дает обширный математический обзор классической механики. См. главу 8 о симплектических многообразиях .
^ ab Ральф Абрахам и Джеррольд Э. Марсден , Основы механики , (1978) Benjamin-Cummings, Лондон ISBN 0-8053-0102-X
^ Гольдштейн 1980, Раздел 9.3
^ Юрген Йост, (1992) Риманова геометрия и геометрический анализ , Springer.
^ da Silva, Ana Cannas (2008). Лекции по симплектической геометрии. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1764. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. стр. 9. doi :10.1007/978-3-540-45330-7. ISBN 978-3-540-42195-5.

Ссылки

Арнольд, VI (1989), Математические методы классической механики , Graduate Texts in Mathematics , т. 60 (второе изд.), Springer-Verlag , ISBN 0-387-96890-3
Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
Фултон, У .; Харрис, Дж. (1991), Теория представлений, Первый курс , Graduate Texts in Mathematics , т. 129, Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97495-8.
Goldstein, H. (1980) [1950]. "Глава 7". Классическая механика (2-е изд.). Reading MA: Addison-Wesley . ISBN 0-201-02918-9.
Ли, Дж. М. (2003), Введение в гладкие многообразия , Graduate Texts in Mathematics , т. 218, Springer-Verlag , ISBN 0-387-95448-1
Россманн, Вульф (2002), Группы Ли – Введение через линейные группы , Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9
Ферраро, Алессандро; Оливарес, Стефано; Парис, Маттео GA (март 2005 г.), «Гауссовы состояния в непрерывной переменной квантовой информации», arXiv : quant-ph/0503237.