В геометрии окружность, вписанная в срединный треугольник треугольника, называется окружностью Шпикера , названной в честь немецкого геометра 19 века Теодора Шпикера . [1] Ее центр, центр Шпикера , помимо того, что является центром вписанной окружности срединного треугольника, является центром масс однородной по плотности границы треугольника. [1] Центр Шпикера также является точкой, в которой все три кливера треугольника (периметральные биссектрисы с концом в середине стороны) пересекают друг друга. [1]
Кружок Шпикера и центр Шпикера названы в честь Теодора Шпикера , математика и профессора из Потсдама , Германия. В 1862 году он опубликовал Lehrbuch der ebenen geometrie mit übungsaufgaben für höhere lehranstalten , посвященный планарной геометрии. Благодаря этой публикации, оказавшей влияние на жизнь многих известных ученых и математиков, включая Альберта Эйнштейна , Шпикер стал математиком, в честь которого были названы кружок и центр Шпикера. [1]
Чтобы найти окружность Шпикера треугольника, сначала необходимо построить срединный треугольник из середин каждой стороны исходного треугольника. [1] Затем окружность строится таким образом, чтобы каждая сторона срединного треугольника касалась окружности внутри срединного треугольника, создавая вписанную окружность . [1] Этот центр окружности называется центром Шпикера .
Круги Шпикера также имеют отношение к точкам Нагеля . Инцентр треугольника и точка Нагеля образуют линию внутри круга Шпикера. Середина этого отрезка линии является центром Шпикера. [1] Линия Нагеля образована инцентром треугольника, точкой Нагеля и центроидом треугольника. [1] Центр Шпикера всегда будет лежать на этой линии. [1]
Окружности Шпикера были впервые обнаружены как очень похожие на окружности девяти точек Джулианом Кулиджем. В то время она еще не была идентифицирована как окружность Шпикера, но упоминается как «окружность P» на протяжении всей книги. [2] Окружность девяти точек с прямой Эйлера и окружность Шпикера с прямой Нагеля аналогичны друг другу, но не являются двойственными , имея только двойственное сходство. [1] Одно сходство между окружностью девяти точек и окружностью Шпикера касается их построения. Окружность девяти точек является описанной окружностью срединного треугольника, в то время как окружность Шпикера является вписанной окружностью срединного треугольника. [2] По отношению к их связанным линиям инцентр для линии Нагеля связан с центром описанной окружности для линии Эйлера. [1] Другая аналогичная точка — это точка Нагеля и отоцентр , при этом точка Нагеля связана с окружностью Шпикера, а ортоцентр — с окружностью девяти точек. [1] Каждая окружность пересекает стороны срединного треугольника там, где линии от ортоцентра или точки Нагеля к вершинам исходного треугольника пересекают стороны срединного треугольника. [2]
Девятиточечная окружность с прямой Эйлера была обобщена в девятиточечную конику. [1] С помощью аналогичного процесса, из-за аналогичных свойств двух окружностей, окружность Шпикера также удалось обобщить в конику Шпикера. [1] Коника Шпикера по-прежнему находится внутри срединного треугольника и касается каждой стороны срединного треугольника, однако она не пересекает эти стороны треугольника в тех же точках. Если построить линии из каждой вершины срединного треугольника до точки Нагеля, то можно найти середину каждой из этих линий. [3] Кроме того, середины каждой стороны срединного треугольника находятся и соединяются со средней точкой противоположной линии через точку Нагеля. [3] Каждая из этих линий имеет общую среднюю точку S. [3] При отражении каждой из этих линий через S результатом будет 6 точек внутри срединного треугольника. Проведите конику через любые 5 из этих отраженных точек, и коника коснется конечной точки. [1] Это было доказано де Вильерсом в 2006 году. [1]
Радикальная окружность Шпикера — это окружность с центром в центре Шпикера, которая ортогональна трем вневписанным окружностям срединного треугольника. [4] [5]