Спинорные сферические гармоники

Специальные функции на сфере

В квантовой механике спинорные сферические гармоники ^[1] (также известные как спиновые сферические гармоники [ ^2] спинорные гармоники ^[3] и спиноры Паули ^[4] ) являются специальными функциями, определенными над сферой. Спинорные сферические гармоники являются естественным спинорным аналогом векторных сферических гармоник . В то время как стандартные сферические гармоники являются базисом для оператора углового момента , спинорные сферические гармоники являются базисом для оператора полного углового момента (угловой момент плюс спин ). Эти функции используются в аналитических решениях уравнения Дирака в радиальном потенциале . ^[3] Спинорные сферические гармоники иногда называют центральными полевыми спинорами Паули , в честь Вольфганга Паули , который использовал их в решении атома водорода со спин-орбитальным взаимодействием . ^[1]

Характеристики

Сферические гармоники спинора Y _{l, s, j, m} являются собственными состояниями спинора оператора полного углового момента в квадрате:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} ^{2}Y_{l,s,j,m}&=j(j+1)Y_{l,s,j,m}\\\mathrm {j} _{\mathrm {z} }Y_{l,s,j,m}&=mY_{l,s,j,m}\;;\;m=-j,-(j-1),\cdots ,j-1,j\\\mathbf {l} ^{2}Y_{l,s,j,m}&=l(l+1)Y_{l,s,j,m}\\\mathbf {s} ^{2}Y_{l,s,j,m}&=s(s+1)Y_{l,s,j,m}\end{aligned}}}$

где j = l + s , где j , l и s — (безразмерные) операторы полного, орбитального и спинового углового момента, j — полное азимутальное квантовое число , а m — полное магнитное квантовое число .

При выполнении операции четности имеем

${\displaystyle PY_{l,sj,m}=(-1)^{l}Y_{l,s,j,m}.}$

Для систем со спином 1/2 они задаются в матричной форме следующим образом: ^{[1] [3] [5]}

${\displaystyle Y_{l,\pm {\frac {1}{2}},j,m}={\frac {1}{\sqrt {2{\bigl (}j\mp {\frac {1}{2}}{\bigr )}+1}}}{\begin{pmatrix}\pm {\sqrt {j\mp {\frac {1}{2}}\pm m+{\frac {1}{2}}}}Y_{l}^{m-{\frac {1}{2}}}\\{\sqrt {j\mp {\frac {1}{2}}\mp m+{\frac {1}{2}}}}Y_{l}^{m+{\frac {1}{2}}}\end{pmatrix}}.}$

где - обычные сферические гармоники . ${\displaystyle Y_{l}^{m}}$

Ссылки

1. Biedenharn, LC ; Louck, JD (1981), Угловой момент в квантовой физике: теория и применение , Энциклопедия математики, т. 8, Чтение: Addison-Wesley , стр. 283, ISBN 0-201-13507-8
2. Эдмондс, AR (1957), Угловой момент в квантовой механике , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-07912-7
3. Greiner, Walter (6 декабря 2012 г.). "9.3 Разделение переменных для уравнения Дирака с центральным потенциалом (минимально связанным)". Релятивистская квантовая механика: волновые уравнения. Springer. ISBN 978-3-642-88082-7.
4. Роуз, ME (2013-12-20). Элементарная теория углового момента. Dover Publications, Incorporated. ISBN 978-0-486-78879-1.
5. Берестецкий, В.Б.; Е.М. Лифшиц; Л.П. Питаевский (2008). Квантовая электродинамика . Перевод JB Sykes; JS Bell (2-е изд.). Oxford: Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-08-050346-2. OCLC  785780331.