Квадратный корень из матрицы 2 на 2

Квадратный корень матрицы 2×2 M — это другая матрица 2×2 R, такая что M = R ² , где R ² обозначает матричное произведение R на себя. В общем случае может быть ноль, две, четыре или даже бесконечность матриц квадратных корней . Во многих случаях такую ​​матрицу R можно получить с помощью явной формулы.

Квадратные корни, которые не являются матрицей всех нулей, идут парами: если R является квадратным корнем из M , то − R также является квадратным корнем из M , так как (− R )(− R ) = (−1)(−1)( RR ) = R ² = M .
Матрица 2×2 с двумя различными ненулевыми собственными значениями имеет четыре квадратных корня. Положительно определенная матрица имеет ровно один положительно определенный квадратный корень.

Общая формула

Ниже приведена общая формула, которая применима почти к любой матрице 2 × 2. ^[1] Пусть задана матрица , где A , B , C , и D могут быть действительными или комплексными числами. Кроме того, пусть τ = A + D будет следом M , а δ = AD − BC будет его определителем . Пусть s будет таким, что s ² = δ , а t будет таким, что t ² = τ + 2s . То есть, Тогда, если t ≠ 0, квадратный корень из M равен $${\displaystyle M={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}},}$$ $${\displaystyle s=\pm {\sqrt {\delta }},\qquad t=\pm {\sqrt {\tau +2s}}.}$$ $${\displaystyle R={\frac {1}{t}}{\begin{pmatrix}A+s&B\\C&D+s\end{pmatrix}}={\frac {1}{t}}\left(M+sI\right).}$$

Действительно, квадрат R равен $${\displaystyle {\begin{aligned}R^{2}&={\frac {1}{t^{2}}}{\begin{pmatrix}A^{2}+BC+2sA+s^{2}&AB+BD+2sB\\CA+DC+2sC&CB+D^{2}+2sD+s^{2}\end{pmatrix}}\\[1ex]&={\frac {1}{t^{2}}}{\begin{pmatrix}A^{2}+BC+2sA+AD-BC&AB+BD+2sB\\AC+CD+2sC&BC+D^{2}+2sD+AD-BC\end{pmatrix}}\\[1ex]&={\frac {1}{A+D+2s}}{\begin{pmatrix}A(A+D+2s)&B(A+D+2s)\\C(A+D+2s)&D(A+D+2s)\end{pmatrix}}=M.\end{aligned}}}$$

Обратите внимание, что R может иметь комплексные элементы, даже если M — действительная матрица; это будет иметь место, в частности, если определитель δ отрицателен.

Общий случай этой формулы — когда δ не равно нулю, а τ ² ≠ 4 δ , в этом случае s не равно нулю, а t не равно нулю для каждого выбора знака s . Тогда формула выше даст четыре различных квадратных корня R , по одному для каждого выбора знаков для s и t .

Частные случаи формулы

Если определитель δ равен нулю, но след τ не равен нулю, общая формула выше даст только два различных решения, соответствующих двум знакам t . А именно, где t — любой квадратный корень следа τ . $${\displaystyle R=\pm {\frac {1}{t}}{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\pm {\frac {1}{t}}M,}$$

Формула также дает только два различных решения, если δ не равно нулю, и τ ² = 4 δ (случай дублирующихся собственных значений ), в этом случае один из выборов для s сделает знаменатель t равным нулю. В этом случае два корня равны , где s — квадратный корень из δ , который делает τ  − 2 s ненулевым, а t — любой квадратный корень из τ  − 2 s . $${\displaystyle R=\pm {\frac {1}{t}}{\begin{pmatrix}A+s&B\\C&D+s\end{pmatrix}}=\pm {\frac {1}{t}}\left(M+sI\right),}$$

Формула выше полностью неверна, если δ и τ оба равны нулю; то есть, если D = − A , и A ² = − BC , так что и след, и определитель матрицы равны нулю. В этом случае, если M — нулевая матрица (с A = B = C = D = 0), то нулевая матрица также является квадратным корнем M , как и любая матрица $${\displaystyle R={\begin{pmatrix}0&0\\c&0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad R={\begin{pmatrix}0&b\\0&0\end{pmatrix}},}$$

где b и c — произвольные действительные или комплексные значения. В противном случае M не имеет квадратного корня.

Формулы для специальных матриц

Идемпотентная матрица

Если M — идемпотентная матрица , что означает, что MM = M , то если она не единичная, то ее определитель равен нулю, а ее след равен ее рангу , который (исключая нулевую матрицу) равен 1. Тогда в приведенной выше формуле s = 0 и τ = 1, что дает M и − M как два квадратных корня из M.

Экспоненциальная матрица

Если матрица M может быть выражена как действительное кратное показателя некоторой матрицы A , , то два ее квадратных корня равны . В этом случае квадратный корень является действительным. ^[2] ${\displaystyle M=r\exp(A)}$ ${\displaystyle \pm {\sqrt {r}}\exp \left({\tfrac {1}{2}}A\right)}$

Диагональная матрица

Если M диагональна (то есть B = C = 0), можно использовать упрощенную формулу $${\displaystyle R={\begin{pmatrix}a&0\\0&d\end{pmatrix}},}$$

где a = ±√ A , а d = ±√ D. Это, для различных выборов знаков, дает четыре, две или одну отличную матрицу, если ни одна из матриц, только одна из матриц или обе матрицы A и D равны нулю соответственно.

Матрица идентичности

Поскольку у нее есть повторяющиеся собственные значения , единичная матрица 2×2 имеет бесконечно много симметричных рациональных квадратных корней, определяемых соотношением , где ( r , s , t ) — любые комплексные числа, такие, что ^[3] ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)}$ $${\displaystyle {\frac {1}{t}}{\begin{pmatrix}s&r\\r&-s\end{pmatrix}}{\text{ and }}{\begin{pmatrix}\pm 1&0\\0&\pm 1\end{pmatrix}},}$$ ${\displaystyle r^{2}+s^{2}=t^{2}.}$

Матрица с одним недиагональным нулем

Если B равен нулю, но A и D оба не равны нулю, можно использовать $${\displaystyle R={\begin{pmatrix}a&0\\{\frac {C}{a+d}}&d\end{pmatrix}}.}$$

Эта формула даст два решения, если A = D или A = 0 или D = 0, и четыре в противном случае. Похожую формулу можно использовать, когда C равно нулю, но A и D не равны нулю оба.

Ссылки

1. Левингер, Бернард В. (сентябрь 1980 г.), «Квадратный корень матрицы », Mathematics Magazine , 53 (4): 222–224, doi :10.1080/0025570X.1980.11976858, JSTOR  2689616 ${\displaystyle 2\times 2}$
2. Харкин, Энтони А.; Харкин, Джозеф Б. (2004), «Геометрия обобщенных комплексных чисел» (PDF) , Mathematics Magazine , 77 (2): 118–129, doi :10.1080/0025570X.2004.11953236, JSTOR  3219099, MR  1573734
3. Митчелл, Дуглас В. (ноябрь 2003 г.), «87.57 Использование пифагорейских троек для генерации квадратных корней », The Mathematical Gazette , 87 (510): 499–500, doi : 10.1017/S0025557200173723 , JSTOR  3621289 ${\displaystyle I_{2}}$