Раздавленная запутанность

Сжатая запутанность , также называемая запутанностью CMI (CMI можно произносить как "see me"), является информационной теоретико- мерой квантовой запутанности для двухчастичной квантовой системы. Если - матрица плотности системы, состоящей из двух подсистем и , то запутанность CMI системы определяется как ${\displaystyle \varrho _{A,B}}$ ${\displaystyle (A,B)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle E_{CMI}}$ ${\displaystyle (A,B)}$

где — множество всех матриц плотности для трехчастной системы, такой что . Таким образом, запутанность CMI определяется как экстремум функционала от . Мы определяем , квантовую условную взаимную информацию (CMI) , ниже. Более общая версия уравнения (1) заменяет «min» (минимум) в уравнении (1) на «inf» ( инфинум ). Когда — чистое состояние, , в соответствии с определением запутанности формирования для чистых состояний. Здесь — энтропия фон Неймана матрицы плотности . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \varrho _{A,B,\Lambda }}$ ${\displaystyle (A,B,\Lambda )}$ ${\displaystyle \varrho _{A,B}=tr_{\Lambda }(\varrho _{A,B,\Lambda })}$ ${\displaystyle S(A:B|\Lambda )}$ ${\displaystyle \varrho _{A,B,\Lambda }}$ ${\displaystyle S(A:B|\Lambda )}$ ${\displaystyle \varrho _{A,B}}$ ${\displaystyle E_{CMI}(\varrho _{A,B})=S(\varrho _{A})=S(\varrho _{B})}$ ${\displaystyle S(\varrho )}$ ${\displaystyle \varrho }$

Мотивация определения запутанности CMI

Запутанность CMI берет свое начало в классической (неквантовой) теории информации , как мы объясним далее.

При наличии любых двух случайных величин классическая теория информации определяет взаимную информацию , меру корреляций, как ${\displaystyle A,B}$

Для трех случайных величин CMI определяется как ${\displaystyle A,B,\Lambda }$

Можно показать, что . ${\displaystyle H(A:B|\Lambda )\geq 0}$

Теперь предположим, что есть матрица плотности для трехчастной системы . Мы представим частичный след относительно одной или двух ее подсистем с помощью со стертым символом для прослеживаемой системы. Например, . Можно определить квантовый аналог уравнения (2) как ${\displaystyle \varrho _{A,B,\Lambda }}$ ${\displaystyle (A,B,\Lambda )}$ ${\displaystyle \varrho _{A,B,\Lambda }}$ ${\displaystyle \varrho _{A,B,\Lambda }}$ ${\displaystyle \varrho _{A,B}=tr_{\Lambda }(\varrho _{A,B,\Lambda })}$

и квантовый аналог уравнения (3)

Можно показать, что . Это неравенство часто называют свойством сильной субаддитивности квантовой энтропии. ${\displaystyle S(A:B|\Lambda )\geq 0}$

Рассмотрим три случайные величины с распределением вероятностей , которое мы будем сокращать как . Для тех специальных величин вида ${\displaystyle A,B,\Lambda }$ ${\displaystyle P_{A,B,\Lambda }(a,b,\lambda )}$ ${\displaystyle P(a,b,\lambda )}$ ${\displaystyle P(a,b,\lambda )}$

Рис.1: Байесовское сетевое представление уравнения (6)

можно показать, что . Распределения вероятностей вида Ур.(6) на самом деле описываются байесовской сетью, показанной на рис.1. ${\displaystyle H(A:B|\Lambda )=0}$

Классическую запутанность CMI можно определить следующим образом:

где — множество всех распределений вероятностей в трех случайных величинах , таких, что для всех . Поскольку, имея распределение вероятностей , его всегда можно расширить до распределения вероятностей , которое удовлетворяет уравнению (6) ^{[ требуется ссылка ]} , отсюда следует, что классическая запутанность CMI, , равна нулю для всех . Тот факт, что всегда обращается в нуль, является важной мотивацией для определения . Нам нужна мера квантовой запутанности, которая обращается в нуль в классическом режиме. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P_{A,B,\Lambda }}$ ${\displaystyle A,B,\Lambda }$ ${\displaystyle \sum _{\lambda }P_{A,B,\Lambda }(a,b,\lambda )=P_{A,B}(a,b)\,}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle P_{A,B}}$ ${\displaystyle P_{A,B,\Lambda }}$ ${\displaystyle E_{CMI}(P_{A,B})}$ ${\displaystyle P_{A,B}}$ ${\displaystyle E_{CMI}(P_{A,B})}$ ${\displaystyle E_{CMI}(\varrho _{A,B})}$

Предположим, что для — это набор неотрицательных чисел, которые в сумме дают единицу, а для — ортонормированный базис для гильбертова пространства, связанного с квантовой системой . Предположим, что и , для — матрицы плотности для систем и , соответственно. Можно показать, что следующая матрица плотности ${\displaystyle w_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda =1,2,...,dim(\Lambda )}$ ${\displaystyle |\lambda \rangle }$ ${\displaystyle \lambda =1,2,...,dim(\Lambda )}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \varrho _{A}^{\lambda }}$ ${\displaystyle \varrho _{B}^{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda =1,2,...,dim(\Lambda )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

удовлетворяет . Уравнение (8) является квантовым аналогом уравнения (6). Прослеживая матрицу плотности уравнения (8) по , получаем , которое является разделимым состоянием . Следовательно, заданное уравнением (1) обращается в нуль для всех разделимых состояний. ${\displaystyle S(A:B|\Lambda )=0}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \varrho _{A,B}=\sum _{\lambda }\varrho _{A}^{\lambda }\varrho _{B}^{\lambda }w_{\lambda }\,}$ ${\displaystyle E_{CMI}(\varrho _{A,B})}$

Когда — чистое состояние, получаем . Это согласуется с определением запутанности формирования для чистых состояний, данным в Ben96 . ${\displaystyle \varrho _{A,B}}$ ${\displaystyle E_{CMI}(\varrho _{A,B})=S(\varrho _{A})=S(\varrho _{B})}$

Далее предположим , что есть некоторые состояния в гильбертовом пространстве, связанные с квантовой системой . Пусть будет набором матриц плотности, определенным ранее для уравнения (1). Определим как набор всех матриц плотности , которые являются элементами и имеют специальную форму . Можно показать, что если мы заменим в уравнении (1) набор его собственным подмножеством , то уравнение (1) сводится к определению запутанности формирования для смешанных состояний, как дано в Ben96 . и представляют собой различные степени знания о том, как было создано. представляет собой полное невежество. ${\displaystyle |\psi _{A,B}^{\lambda }\rangle }$ ${\displaystyle \lambda =1,2,...,dim(\Lambda )}$ ${\displaystyle (A,B)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{o}}$ ${\displaystyle \varrho _{A,B,\Lambda }}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \varrho _{A,B,\Lambda }=\sum _{\lambda }|\psi _{A,B}^{\lambda }\rangle \langle \psi _{A,B}^{\lambda }|w_{\lambda }|\lambda \rangle \langle \lambda |\,}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{o}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{o}}$ ${\displaystyle \varrho _{A,B,\Lambda }}$ ${\displaystyle K}$

Поскольку запутанность CMI сводится к запутанности формирования, если минимизировать по вместо , можно ожидать, что запутанность CMI унаследует многие желательные свойства от запутанности формирования. ${\displaystyle K_{o}}$ ${\displaystyle K}$

История

Важное неравенство впервые доказали Либ и Рускаи в LR73 . ${\displaystyle S(A:B|\Lambda )\geq 0}$

Классический CMI, заданный уравнением (3), впервые вошел в теорию информации вскоре после основополагающей статьи Шеннона 1948 года и, по крайней мере, еще в 1954 году в McG54 . Квантовый CMI, заданный уравнением (5), был впервые определен Серфом и Адами в Cer96 . Однако, похоже, Серф и Адами не осознавали связь CMI с запутанностью или возможность получения меры квантовой запутанности на основе CMI; это можно вывести, например, из более поздней статьи Cer97 , где они пытаются использовать вместо CMI для понимания запутанности. Первой статьей, явно указывающей на связь между CMI и квантовой запутанностью, по-видимому, является Tuc99 . ${\displaystyle S(A|B)}$

Окончательное определение уравнения (1) запутанности CMI было впервые дано Туччи в серии из 6 статей. (См., например, уравнение (8) из Tuc02 и уравнение (42) из ​​Tuc01a ). В Tuc00b он указал на классическую вероятностную мотивацию уравнения (1) и ее связь с определениями запутанности формирования для чистых и смешанных состояний. В Tuc01a он представил алгоритм и компьютерную программу, основанные на методе Аримото-Блахута теории информации, для численного расчета запутанности CMI. В Tuc01b он аналитически рассчитал запутанность CMI для смешанного состояния двух кубитов .

В Hay03 Хейден, Йожа, Петц и Винтер исследовали связь между квантовой CMI и разделимостью .

Однако только в Chr03 было показано, что запутанность CMI на самом деле является мерой запутанности, т. е. она не увеличивается при локальных операциях и классической коммуникации (LOCC). Доказательство адаптировало аргументы Ben96 о запутанности формирования. В Chr03 они также доказали много других интересных неравенств, касающихся запутанности CMI, включая то, что она аддитивна, и исследовали ее связь с другими мерами запутанности. Название « сжатая запутанность» впервые появилось в Chr03 . В Chr05 Кристандл и Винтер аналитически вычислили запутанность CMI некоторых интересных состояний.

В Ali03 , Alicki и Fannes доказали непрерывность запутанности CMI. В BCY10 , Brandao, Christandl и Yard показали, что запутанность CMI равна нулю тогда и только тогда, когда состояние разделимо. В Hua14 , Huang доказал, что вычисление сжатой запутанности является NP-трудным.

Ссылки

• Ali03 Alicki, R.; Fannes, M. (2003). «Непрерывность квантовой взаимной информации». J. Phys. A . 37 (55): L55–L57. arXiv : quant-ph/0312081 . Bibcode :2004JPhA...37L..55A. doi :10.1088/0305-4470/37/5/L01. S2CID  118859724.
• BCY10 Брандао, Ф.; Кристандл, М.; Ярд, Дж. (сентябрь 2011 г.). «Правильная сжатая запутанность». Сообщения по математической физике . 306 (3): 805–830. arXiv : 1010.1750 . Bibcode :2011CMaPh.306..805B. doi :10.1007/s00220-011-1302-1. S2CID  46576412.
• Ben96 Беннетт, Чарльз Х.; ДиВинченцо, Дэвид П.; Смолин, Джон А.; Вуттерс, Уильям К. (1996). «Запутанность смешанных состояний и квантовая коррекция ошибок». Physical Review A. 54 ( 5): 3824–3851. arXiv : quant-ph/9604024 . Bibcode : 1996PhRvA..54.3824B. doi : 10.1103/PhysRevA.54.3824. PMID  9913930. S2CID  3059636.
• Cer96 Серф, Нью-Джерси; Адами, К. (1996). «Квантовая механика измерения». arXiv : quant-ph/9605002 .
• Cer97 Серф, Нью-Джерси; Адами, К.; Гингрич, Р.М. (1999). «Квантовый условный оператор и критерий разделимости». Physical Review A. 60 ( 2): 893–898. arXiv : quant-ph/9710001 . Bibcode : 1999PhRvA..60..893C. doi : 10.1103/PhysRevA.60.893. S2CID  119451904.
• Chr03 Маттиас Кристандл; Андреас Винтер (2003).«Сжатая запутанность»: мера аддитивной запутанности. Журнал математической физики . 45 (3): 829–840. arXiv : quant-ph/0308088 . Bibcode : 2004JMP....45..829C. doi : 10.1063/1.1643788. S2CID  119459299.
• Chr05 Маттиас Кристандл; Андреас Винтер (2005). «Неопределенность, моногамия и блокировка квантовых корреляций». Труды IEEE по теории информации . 51 (9): 3159–3165. arXiv : quant-ph/0501090 . doi : 10.1109/TIT.2005.853338. S2CID  7911129.
• Chr06 Маттиас Кристандл (2006). "Структура двудольных квантовых состояний - выводы из теории групп и криптографии". arXiv : quant-ph/0604183 .Диссертация на соискание докторской степени в Кембридже.
• Hay03 Патрик Хайден; Ричард Йожа; Денес Петц; Андреас Винтер (2004). «Структура состояний, удовлетворяющих сильной субаддитивности квантовой энтропии с равенством». Сообщения по математической физике . 246 (2): 359–374. arXiv : quant-ph/0304007 . Bibcode :2004CMaPh.246..359H. doi :10.1007/s00220-004-1049-z. S2CID  27093521.
• Hua14 Хуан, Ичен (21 марта 2014 г.). "Вычисление квантового разногласия является NP-полным". New Journal of Physics . 16 (3): 033027. arXiv : 1305.5941 . Bibcode :2014NJPh...16c3027H. doi :10.1088/1367-2630/16/3/033027. S2CID  118556793.
• LR73 Эллиотт Х. Либ, Мэри Бет Раскай, «Доказательство сильной субаддитивности квантово-механической энтропии», Журнал математической физики 14 (1973) 1938–1941.
• McG54 WJ McGill, «Многомерная передача информации», IRE Trans. Info. Theory 4 (1954) 93–111.
• Tuc99 Туччи, Роберт Р. (1999). «Квантовая запутанность и условная передача информации». arXiv : quant-ph/9909041 .
• Tuc00a Tucci, Robert R. (2000). «Разделимость матриц плотности и условная передача информации». arXiv : quant-ph/0005119 .
• Tuc00b Туччи, Роберт Р. (2000). «Запутанность формирования и условная передача информации». arXiv : quant-ph/0010041 .
• Tuc01a Tucci, Robert R. (2001). «Метод релаксации для расчета квантовой запутанности». arXiv : quant-ph/0101123 .
• Tuc01b Туччи, Роберт Р. (2001). «Запутанность смесей Белла двух кубитов». arXiv : quant-ph/0103040 .
• Tuc02 Туччи, Роберт Р. (2002). «Запутанность дистилляции и условная взаимная информация». arXiv : quant-ph/0202144 .

Внешние ссылки

• Верное раздавленное запутывание