stringtranslate.com

Число Stella octangula

124 магнитных шарика, расположенных в форме звездочки-восьмиугольника

В математике звездно-октагональное число — это фигурное число, основанное на звездно-октагональном числе , имеющее вид n (2 n 2 − 1) . [1] [2]

Последовательность чисел звездного октаэдра:

0, 1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990, ... (последовательность A007588 в OEIS ) [1]

Только два из этих чисел являются квадратными .

Уравнение Льюнггрена

Существует только два положительных квадратных звездно-октагональных числа: 1 и 9653449 = 3107 2 = (13 × 239) 2 , что соответствует n = 1 и n = 169 соответственно. [1] [3] Эллиптическая кривая, описывающая квадратные звездно-октагональные числа,

может быть помещен в эквивалентную форму Вейерштрасса

заменой переменных x = 2 m , y = 2 n . Поскольку два множителя n и 2 n 2 − 1 квадрата числа m 2 являются взаимно простыми , каждый из них сам должен быть квадратом, и вторая замена переменных и приводит к уравнению Льюнггрена

[3]

Теорема Зигеля утверждает, что каждая эллиптическая кривая имеет только конечное число целочисленных решений, и Вильгельм Люнггрен  (1942) нашел сложное доказательство того, что единственными целочисленными решениями его уравнения были (1,1) и (239,13) , соответствующие двум квадратным числам stella octangula. [4] Луис Дж. Морделл предположил, что доказательство можно упростить, и несколько более поздних авторов опубликовали упрощения. [3] [5] [6]

Дополнительные приложения

Числа stella octangula возникают в параметрическом семействе случаев для задачи о скрещенных лестницах , в которой длины и высоты лестниц, а также высота их точки пересечения являются целыми числами. В этих случаях отношение высот двух лестниц является числом stella octangula. [7]

Ссылки

  1. ^ abc Sloane, N. J. A. (ред.), "Последовательность A007588 (числа Stella octangula: n*(2*n^2 - 1))", Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей , Фонд OEIS.
  2. ^ Конвей, Джон ; Гай, Ричард (1996), Книга чисел, Springer, стр. 51, ISBN 978-0-387-97993-9.
  3. ^ abc Сиксек, Самир (1995), Спуски по кривым рода I (PDF) , докторская диссертация, Университет Эксетера, стр. 16–17
  4. ^ Юнггрен, Вильгельм (1942), «Zur Theorie der Gleichung x 2  + 1 =  Dy 4 », Avh. Норвежский вид. Акад. Осло. И. , 1942 (5): 27, МР  0016375.
  5. ^ Штайнер, Рэй; Цанакис, Никос (1991), «Упрощение решения уравнения Льюнггрена X2 + 1 = 2Y4» (PDF) , Журнал теории чисел , 37 (2): 123–132, doi : 10.1016/S0022-314X(05)80029-0 , MR  1092598.
  6. ^ Драциотис, Константинос А. (2007), «Возвращение к уравнению Юнггрена», Colloquium Mathematicum , 109 (1): 9–11, doi : 10,4064/cm109-1-2 , MR  2308822.
  7. ^ Бремнер, А.; Хойбакк, Р.; Луккассен, Д. (2009), «Скрещенные лестницы и квартика Эйлера» (PDF) , Annales Mathematicae et Informaticae , 36 : 29–41, MR  2580898.

Внешние ссылки