Параметры Стокса

Набор значений, описывающих состояние поляризации электромагнитного излучения.

Параметры Стокса I, Q, U и V

Параметры Стокса — это набор величин, описывающих состояние поляризации электромагнитного излучения . Они были определены Джорджем Габриэлем Стоксом в 1852 году ^{[1] [2]} как математически удобная альтернатива более распространенному описанию некогерентного или частично поляризованного излучения через его полную интенсивность ( I ), (дробную) степень поляризации ( p ) и параметры формы эллипса поляризации . Влияние оптической системы на поляризацию света можно определить, построив вектор Стокса для входного света и применив исчисление Мюллера , чтобы получить вектор Стокса света, выходящего из системы. Оригинальная статья Стокса была открыта независимо Фрэнсисом Перрином в 1942 году ^[3] и Субраманьяном Чандрасекаром в 1947 году ^{[4] [5]} , который назвал ее параметрами Стокса.

Определения

Эллипс поляризации, показывающий связь с параметрами сферы Пуанкаре ψ и χ.

Сфера Пуанкаре — это параметризация последних трёх параметров Стокса в сферических координатах .

Изображение состояний поляризации на сфере Пуанкаре

Связь параметров Стокса S ₀ , S ₁ , S ₂ , S ₃ с параметрами интенсивности и эллипса поляризации показана в уравнениях ниже и на рисунке справа.

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{0}&=I\\S_{1}&=Ip\cos 2\psi \cos 2\chi \\S_{2}&=Ip\sin 2\psi \cos 2\chi \\S_{3}&=Ip\sin 2\chi \end{aligned}}}$

Здесь , и – сферические координаты трехмерного вектора декартовых координат . – полная интенсивность луча, – степень поляризации, ограниченная . Коэффициент два раньше представляет тот факт, что любой эллипс поляризации неотличим от эллипса, повернутого на 180 °, тогда как коэффициент два раньше указывает на то, что эллипс неотличим от эллипса с измененной длиной полуоси, сопровождаемой поворотом на 90 °. Фазовая информация поляризованного света не записывается в параметрах Стокса. Четыре параметра Стокса иногда обозначаются I , Q , U и V соответственно. ${\displaystyle Ip}$ ${\displaystyle 2\psi }$ ${\displaystyle 2\chi }$ ${\displaystyle (S_{1},S_{2},S_{3})}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \chi }$

Учитывая параметры Стокса, можно найти сферические координаты с помощью следующих уравнений:

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=S_{0}\\p&={\frac {\sqrt {S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}}}{S_{0}}}\\2\psi &=\mathrm {arctan} {\frac {S_{2}}{S_{1}}}\\2\chi &=\mathrm {arctan} {\frac {S_{3}}{\sqrt {S_{1}^{2}+S_{2}^{2}}}}\\\end{aligned}}}$

Векторы Стокса

Параметры Стокса часто объединяют в вектор, известный как вектор Стокса :

${\displaystyle {\vec {S}}\ ={\begin{pmatrix}S_{0}\\S_{1}\\S_{2}\\S_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I\\Q\\U\\V\end{pmatrix}}}$

Вектор Стокса охватывает пространство неполяризованного, частично поляризованного и полностью поляризованного света. Для сравнения: вектор Джонса охватывает только пространство полностью поляризованного света, но более полезен для задач, связанных с когерентным светом. Четыре параметра Стокса не являются предпочтительной системой координат пространства, а были выбраны потому, что их можно легко измерить или вычислить.

Обратите внимание, что для компонента существует неоднозначный знак в зависимости от используемого физического соглашения. На практике используются два отдельных соглашения: либо определение параметров Стокса при взгляде вниз на луч к источнику (против направления распространения света), либо при взгляде вниз на луч в сторону от источника (совпадает с направлением распространения света). Эти два соглашения приводят к разным знакам для , и соглашение необходимо выбрать и соблюдать. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Примеры

Ниже показаны некоторые векторы Стокса для распространенных состояний поляризации света.

Альтернативное объяснение

Монохроматическая плоская волна задается вектором распространения , , и комплексными амплитудами электрического поля , и , в базисе . Эта пара называется вектором Джонса . В качестве альтернативы можно указать вектор распространения, фазу , и состояние поляризации , где кривая, очерчиваемая электрическим полем как функция времени в фиксированной плоскости. Наиболее известные состояния поляризации — линейная и круговая, которые являются вырожденными случаями наиболее общего состояния — эллипса . ${\displaystyle {\vec {k}}}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle ({\hat {\epsilon }}_{1},{\hat {\epsilon }}_{2})}$ ${\displaystyle (E_{1},E_{2})}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi }$

Один из способов описания поляризации — указать большую и малую полуоси эллипса поляризации, его ориентацию и направление вращения (см. рисунок выше). Параметры Стокса , , и обеспечивают альтернативное описание состояния поляризации, которое удобно экспериментально, поскольку каждый параметр соответствует сумме или разности измеримых интенсивностей. На следующем рисунке показаны примеры параметров Стокса в вырожденных состояниях. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

Определения

Параметры Стокса определяются ^{следующим образом :}

${\displaystyle {\begin{aligned}I&\equiv \langle E_{x}^{2}\rangle +\langle E_{y}^{2}\rangle \\&=\langle E_{a}^{2}\rangle +\langle E_{b}^{2}\rangle \\&=\langle E_{r}^{2}\rangle +\langle E_{l}^{2}\rangle ,\\Q&\equiv \langle E_{x}^{2}\rangle -\langle E_{y}^{2}\rangle ,\\U&\equiv \langle E_{a}^{2}\rangle -\langle E_{b}^{2}\rangle ,\\V&\equiv \langle E_{r}^{2}\rangle -\langle E_{l}^{2}\rangle .\end{aligned}}}$

где индексы относятся к трем различным базам пространства векторов Джонса : стандартному декартову базису ( ), декартову базису, повернутому на 45° ( ), и круговому базису ( ). Круговой базис определяется так, что , . ${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$ ${\displaystyle {\hat {a}},{\hat {b}}}$ ${\displaystyle {\hat {l}},{\hat {r}}}$ ${\displaystyle {\hat {l}}=({\hat {x}}+i{\hat {y}})/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\hat {r}}=({\hat {x}}-i{\hat {y}})/{\sqrt {2}}}$

Символы ⟨⋅⟩ обозначают ожидаемые значения . Свет можно рассматривать как случайную величину, принимающую значения в пространстве C ² векторов Джонса . Любое данное измерение дает конкретную волну (с определенной фазой, эллипсом поляризации и величиной), но она продолжает мерцать и колебаться между различными результатами. Ожидаемые значения представляют собой различные средние значения этих результатов. Интенсивный, но неполяризованный свет будет иметь I > 0, но Q = U = V = 0, что отражает отсутствие преобладания какого-либо типа поляризации. Убедительная форма сигнала изображена в статье о когерентности . ${\displaystyle (E_{1},E_{2})}$

Противоположностью был бы идеально поляризованный свет, который, кроме того, имел фиксированную, неизменяющуюся амплитуду — чистую синусоидальную кривую. Это представлено случайной величиной, имеющей только одно возможное значение, скажем . В этом случае можно заменить скобки столбцами абсолютных значений, получив четко определенную ^{квадратичную карту .} ${\displaystyle (E_{1},E_{2})}$

${\displaystyle {\begin{matrix}I\equiv |E_{x}|^{2}+|E_{y}|^{2}=|E_{a}|^{2}+|E_{b}|^{2}=|E_{r}|^{2}+|E_{l}|^{2}\\Q\equiv |E_{x}|^{2}-|E_{y}|^{2},\\U\equiv |E_{a}|^{2}-|E_{b}|^{2},\\V\equiv |E_{r}|^{2}-|E_{l}|^{2}.\end{matrix}}}$

от векторов Джонса к соответствующим векторам Стокса; более удобные формы приведены ниже. Карта принимает свое изображение в конусе, определенном | я | ² = | вопрос | ² + | У | ² + | В | ² , где чистота состояния удовлетворяет p = 1 (см. ниже).

На следующем рисунке показано, как знаки параметров Стокса определяются спиральностью и ориентацией большой полуоси эллипса поляризации.

Представления в фиксированных базисах

В фиксированном ( ) базисе параметры Стокса при использовании соглашения о возрастающей фазе равны ${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=|E_{x}|^{2}+|E_{y}|^{2},\\Q&=|E_{x}|^{2}-|E_{y}|^{2},\\U&=2\mathrm {Re} (E_{x}E_{y}^{*}),\\V&=-2\mathrm {Im} (E_{x}E_{y}^{*}),\\\end{aligned}}}$

в то время как для , они есть ${\displaystyle ({\hat {a}},{\hat {b}})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=|E_{a}|^{2}+|E_{b}|^{2},\\Q&=-2\mathrm {Re} (E_{a}^{*}E_{b}),\\U&=|E_{a}|^{2}-|E_{b}|^{2},\\V&=2\mathrm {Im} (E_{a}^{*}E_{b}).\\\end{aligned}}}$

и для них они ${\displaystyle ({\hat {l}},{\hat {r}})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=|E_{l}|^{2}+|E_{r}|^{2},\\Q&=2\mathrm {Re} (E_{l}^{*}E_{r}),\\U&=-2\mathrm {Im} (E_{l}^{*}E_{r}),\\V&=|E_{r}|^{2}-|E_{l}|^{2}.\\\end{aligned}}}$

Характеристики

Для чисто монохроматического когерентного излучения из приведенных выше уравнений следует, что

${\displaystyle Q^{2}+U^{2}+V^{2}=I^{2},}$

тогда как для излучения всего (некогерентного) пучка параметры Стокса определяются как усредненные величины, и предыдущее уравнение становится неравенством: ^[6]

${\displaystyle Q^{2}+U^{2}+V^{2}\leq I^{2}.}$

Однако мы можем определить полную интенсивность поляризации так, что ${\displaystyle I_{p}}$

${\displaystyle Q^{2}+U^{2}+V^{2}=I_{p}^{2},}$

где – полная доля поляризации. ${\displaystyle I_{p}/I}$

Определим комплексную интенсивность линейной поляризации как

${\displaystyle {\begin{aligned}L&\equiv |L|e^{i2\theta }\\&\equiv Q+iU.\\\end{aligned}}}$

Можно показать, что при вращении эллипса поляризации и инвариантны, но ${\displaystyle \theta \rightarrow \theta +\theta '}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L&\rightarrow e^{i2\theta '}L,\\Q&\rightarrow {\mbox{Re}}\left(e^{i2\theta '}L\right),\\U&\rightarrow {\mbox{Im}}\left(e^{i2\theta '}L\right).\\\end{aligned}}}$

Благодаря этим свойствам параметры Стокса можно рассматривать как составляющие три обобщенные интенсивности:

${\displaystyle {\begin{aligned}I&\geq 0,\\V&\in \mathbb {R} ,\\L&\in \mathbb {C} ,\\\end{aligned}}}$

где – полная интенсивность, – интенсивность круговой поляризации, – интенсивность линейной поляризации. Полная интенсивность поляризации равна , а ориентация и направление вращения определяются выражением ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle |V|}$ ${\displaystyle |L|}$ ${\displaystyle I_{p}={\sqrt {|L|^{2}+|V|^{2}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &={\frac {1}{2}}\arg(L),\\h&=\operatorname {sgn}(V).\\\end{aligned}}}$

Поскольку и , мы имеем ${\displaystyle Q={\mbox{Re}}(L)}$ ${\displaystyle U={\mbox{Im}}(L)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|L|&={\sqrt {Q^{2}+U^{2}}},\\\theta &={\frac {1}{2}}\tan ^{-1}(U/Q).\\\end{aligned}}}$

Связь с эллипсом поляризации

С точки зрения параметров эллипса поляризации параметры Стокса равны

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{p}&=A^{2}+B^{2},\\Q&=(A^{2}-B^{2})\cos(2\theta ),\\U&=(A^{2}-B^{2})\sin(2\theta ),\\V&=2ABh.\\\end{aligned}}}$

Обращение предыдущего уравнения дает

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\sqrt {{\frac {1}{2}}(I_{p}+|L|)}}\\B&={\sqrt {{\frac {1}{2}}(I_{p}-|L|)}}\\\theta &={\frac {1}{2}}\arg(L)\\h&=\operatorname {sgn}(V).\\\end{aligned}}}$

Связь с эрмитовыми операторами и квантовыми смешанными состояниями

С геометрической и алгебраической точки зрения параметры Стокса находятся во взаимно однозначном соответствии с замкнутым выпуклым 4-мерным конусом неотрицательных эрмитовых операторов в гильбертовом пространстве C ² . Параметр I служит следом оператора, тогда как элементы матрицы оператора являются простыми линейными функциями четырех параметров I , Q , U , V , служащих коэффициентами в линейной комбинации операторов Стокса . Собственные значения и собственные векторы оператора можно вычислить по параметрам эллипса поляризации I , p , ψ , χ .

Параметры Стокса с I , равным 1 (т.е. операторы следа 1), находятся во взаимно однозначном соответствии с замкнутым единичным трехмерным шаром смешанных состояний (или операторов плотности ) квантового пространства C ² , граница которого равна сфера Блоха . Векторы Джонса соответствуют базовому пространству C ² , то есть (ненормализованным) чистым состояниям той же системы. Обратите внимание, что общая фаза (т. е. общий фазовый коэффициент между двумя компонентами волн на двух перпендикулярных осях поляризации) теряется при переходе из чистого состояния |φ⟩ в соответствующее смешанное состояние |φ⟩⟨φ|, так же, как и теряется при переходе от вектора Джонса к соответствующему вектору Стокса.

В зависимости от состояния горизонтальной поляризации и состояния вертикальной поляризации , состояние линейной поляризации +45° — это состояние линейной поляризации -45° — это состояние левой круговой поляризации — это состояние правой круговой поляризации — это . Легко видеть, что эти состояния являются собственными векторами матриц Паули и что нормированные параметры Стокса ( U/I , V/I , Q/I ) соответствуют координатам вектора Блоха ( , , ). Эквивалентно имеем , , , где – матрица плотности смешанного состояния. ${\displaystyle |H\rangle }$ ${\displaystyle |V\rangle }$ ${\displaystyle |+\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle +|V\rangle )}$ ${\displaystyle |-\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle -|V\rangle )}$ ${\displaystyle |L\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle +i|V\rangle )}$ ${\displaystyle |R\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle -i|V\rangle )}$ ${\displaystyle a_{x}}$ ${\displaystyle a_{y}}$ ${\displaystyle a_{z}}$ ${\displaystyle U/I=tr\left(\rho \sigma _{x}\right)}$ ${\displaystyle V/I=tr\left(\rho \sigma _{y}\right)}$ ${\displaystyle Q/I=tr\left(\rho \sigma _{z}\right)}$ ${\displaystyle \rho }$

Обычно линейная поляризация под углом θ имеет чистое квантовое состояние ; следовательно, коэффициент пропускания линейного поляризатора /анализатора под углом θ для источника света смешанного состояния с матрицей плотности равен , с максимальным коэффициентом пропускания при if или при if ; минимальный коэффициент пропускания достигается в направлении, перпендикулярном направлению максимального пропускания. Здесь отношение максимального коэффициента пропускания к минимальному коэффициенту пропускания определяется как коэффициент затухания , где степень линейной поляризации равна . Эквивалентно, формулу пропускания можно переписать как , что является расширенной формой закона Малюса ; здесь оба неотрицательны и связаны с коэффициентом затухания соотношением . Два нормализованных параметра Стокса также можно рассчитать по формуле . ${\displaystyle |\theta \rangle =\cos {\theta }|H\rangle +\sin {\theta }|V\rangle }$ ${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\left(I+a_{x}\sigma _{x}+a_{y}\sigma _{y}+a_{z}\sigma _{z}\right)}$ ${\displaystyle tr(\rho |\theta \rangle \langle \theta |)={\frac {1}{2}}\left(1+a_{x}\sin {2\theta }+a_{z}\cos {2\theta }\right)}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {a_{x}^{2}+a_{z}^{2}}})}$ ${\displaystyle \theta _{0}={\frac {1}{2}}\arctan {(a_{x}/a_{z})}}$ ${\displaystyle a_{z}>0}$ ${\displaystyle \theta _{0}={\frac {1}{2}}\arctan {(a_{x}/a_{z})}+{\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle a_{z}<0}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(1-{\sqrt {a_{x}^{2}+a_{z}^{2}}})}$ ${\displaystyle ER=(1+DOLP)/(1-DOLP)}$ ${\displaystyle DOLP={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{z}^{2}}}}$ ${\displaystyle A\cos ^{2}{(\theta -\theta _{0})}+B}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle ER=(A+B)/B}$ ${\displaystyle a_{x}=DOLP\sin {2\theta _{0}},\,a_{z}=DOLP\cos {2\theta _{0}},\,DOLP=(ER-1)/(ER+1)}$

Также стоит отметить, что поворот оси поляризации на угол θ соответствует оператору вращения сферы Блоха . Например, состояние горизонтальной поляризации будет вращаться до . Эффект четвертьволновой пластины, ориентированной по горизонтальной оси, описывается , или, что то же самое, фазовым вентилем S , и результирующий вектор Блоха становится . При такой конфигурации, если мы воспользуемся методом вращающегося анализатора для измерения коэффициента затухания, мы сможем рассчитать, а также проверить . Чтобы этот метод работал, быстрая ось и медленная ось волновой пластинки должны быть выровнены по опорным направлениям базисных состояний. ${\displaystyle R_{y}(2\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle |H\rangle }$ ${\displaystyle |\theta \rangle =\cos {\theta }|H\rangle +\sin {\theta }|V\rangle }$ ${\displaystyle R_{z}(\pi /2)={\begin{bmatrix}e^{-i\pi /4}&0\\0&e^{+i\pi /4}\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle (-a_{y},a_{x},a_{z})}$ ${\displaystyle a_{y}}$ ${\displaystyle a_{z}}$

Влияние четвертьволновой пластины, повернутой на угол θ, можно определить по формуле вращения Родригеса как , при . Коэффициент пропускания результирующего света через линейный поляризатор (пластину анализатора) вдоль горизонтальной оси можно рассчитать, используя ту же формулу вращения Родригеса и ориентируясь на ее составляющие на и : ${\displaystyle R_{n}(\pi /2)={\frac {1}{\sqrt {2}}}I-i{\frac {1}{\sqrt {2}}}({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})}$ ${\displaystyle {\hat {n}}={\hat {z}}\cos {2\theta }+{\hat {x}}\sin {2\theta }}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \sigma _{z}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T&=tr[R_{n}(\pi /2)\rho R_{n}(-\pi /2)|H\rangle \langle H|]\\&={\frac {1}{2}}\left[1+a_{y}\sin {2\theta }+({\hat {n}}\cdot {\vec {a}})\cos {2\theta }\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[1+a_{y}\sin {2\theta }+(a_{x}\sin {2\theta }+a_{z}\cos {2\theta })\cos {2\theta }\right]\\&={\frac {1}{2}}\left(1+a_{y}\sin {2\theta }+DOLP\times {\frac {\cos {(4\theta -2\theta _{0})}+\cos {(2\theta _{0})}}{2}}\right)\end{aligned}}}$

Вышеприведенное выражение лежит в основе теории многих поляриметров. Для неполяризованного света T=1/2 является константой. Для света с чисто круговой поляризацией T имеет синусоидальную зависимость от угла θ с периодом 180 градусов и может достигать абсолютного угасания, когда T = 0. Для чисто линейно поляризованного света T имеет синусоидальную зависимость от угла θ с периодом 90 градусов, и абсолютное затухание достижимо только тогда, когда поляризация исходного света находится под углом 90 градусов от поляризатора (т. е. ). В этой конфигурации и , с максимумом 1/2 при θ=45° и точкой угасания при θ=0°. Этот результат можно использовать для точного определения быстрой или медленной оси четвертьволновой пластинки, например, используя поляризационный светоделитель для получения линейно поляризованного света, ориентированного на пластину анализатора, и вращая четвертьволновую пластину между ними. ${\displaystyle a_{z}=-1}$ ${\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle T={\frac {1-\cos {(4\theta )}}{4}}}$

Аналогично, эффект полуволновой пластины, повернутой на угол θ, описывается выражением , которое преобразует матрицу плотности к: ${\displaystyle R_{n}(\pi )=-i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}(\pi )\rho R_{n}(-\pi )&={\frac {1}{2}}\left(I+{\vec {a}}\cdot [-{\vec {\sigma }}+2{\hat {n}}({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})]\right)\\&={\frac {1}{2}}\left[I-{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}+2({\hat {n}}\cdot {\vec {a}})({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\right]\end{aligned}}}$

Вышеприведенное выражение показывает, что если исходный свет имеет чисто линейную поляризацию (т.е. ), результирующий свет после полуволновой пластинки все еще имеет чисто линейную поляризацию с повернутой большой осью. Такое вращение линейной поляризации имеет синусоидальную зависимость от угла θ с периодом 90 градусов. ${\displaystyle a_{y}=0}$

Смотрите также

• Исчисление Мюллера
• Исчисление Джонса
• Поляризация (волны)
• Модель Рэлея Скай
• Операторы Стокса
• Поляризационное смешивание

Примечания

1. Стоукс, Г.Г. (1852). О составе и разрешении потоков поляризованного света от разных источников. Труды Кембриджского философского общества, 9, 399.
2. С. Чандрасекхар «Перенос радиации» , Dover Publications, Нью-Йорк, 1960, ISBN  0-486-60590-6 , стр. 25
3. Перрен, Ф. (1942). Поляризация света, рассеянного изотропными опалесцирующими средами. Журнал химической физики, 10 (7), 415–427.
4. "С. Чандрасекар - Сессия II" . Интервью по устной истории . АИП. 18 мая 1977 года.
5. Чандрасекхар, С. (1947). Перенос излучения в звездных атмосферах. Бюллетень Американского математического общества, 53 (7), 641–711.
6. HC van de Hulst Рассеяние света мелкими частицами , Dover Publications, Нью-Йорк, 1981, ISBN 0-486-64228-3 , страница 42 

Рекомендации

• Э. Коллетт, Полевое руководство по поляризации , SPIE Field Guides vol. FG05 , SPIE (2005). ISBN 0-8194-5868-6 . 
• Э. Хехт, Оптика , 2-е изд., Аддисон-Уэсли (1987). ISBN 0-201-11609-X . 
• Уильям Х. Макмастер (1954). «Поляризация и параметры Стокса». Являюсь. Дж. Физ . 22 (6): 351. Бибкод : 1954AmJPh..22..351M. дои : 10.1119/1.1933744.
• Уильям Х. Макмастер (1961). «Матричное представление поляризации». Преподобный Мод. Физ . 33 (1): 8. Бибкод : 1961РвМП...33....8М. doi : 10.1103/RevModPhys.33.8.