функция Струве

График для ${\displaystyle \mathrm {H} _{n}(x)}$ ${\displaystyle n\in [0,1,2,3,4,5]}$

В математике функции Струве H α ₍ x ) являются решениями y ( x ) неоднородного дифференциального уравнения Бесселя :

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)y={\frac {4\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha +1}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}}$

введено Германом Струве  (1882). Комплексное число α является порядком функции Струве и часто является целым числом.

И далее определил его версию второго рода как . ${\displaystyle \mathbf {K} _{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle \mathbf {K} _{\alpha }(x)=\mathbf {H} _{\alpha }(x)-Y_{\alpha }(x)}$

Модифицированные функции Струве L _α ( x ) равны − ie ^{− iαπ / 2} H _α ( ix ) , являются решениями y ( x ) неоднородного дифференциального уравнения Бесселя :

График функции Струве H n(z) при n=2 в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-\left(x^{2}+\alpha ^{2}\right)y={\frac {4\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha +1}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}}$

И далее определил его версию второго рода как . ${\displaystyle \mathbf {M} _{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle \mathbf {M} _{\alpha }(x)=\mathbf {L} _{\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)}$

Определения

Поскольку это неоднородное уравнение, решения могут быть построены из одного частного решения путем сложения решений однородной задачи. В этом случае однородные решения являются функциями Бесселя , а частное решение может быть выбрано в качестве соответствующей функции Струве.

Расширение степенного ряда

Функции Струве, обозначаемые как H _α ( z ), имеют вид степенного ряда

${\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(z)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{\Gamma \left(m+{\frac {3}{2}}\right)\Gamma \left(m+\alpha +{\frac {3}{2}}\right)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{2m+\alpha +1},}$

где Γ( z ) — гамма-функция .

Модифицированные функции Струве, обозначаемые L _α ( z ) , имеют следующую форму степенного ряда:

${\displaystyle \mathbf {L} _{\alpha }(z)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma \left(m+{\frac {3}{2}}\right)\Gamma \left(m+\alpha +{\frac {3}{2}}\right)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{2m+\alpha +1}.}$

График модифицированной функции Струве L n(z) при n=2 в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

Интегральная форма

Другое определение функции Струве для значений α , удовлетворяющих Re( α ) > −  ⁠1/2⁠ , возможно выразить через интегральное представление Пуассона:

$${\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(x)={\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}(1-t^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\sin xt~dt={\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(x\cos \tau )\sin ^{2\alpha }\tau ~d\tau ={\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(x\sin \tau )\cos ^{2\alpha }\tau ~d\tau }$$

$${\displaystyle \mathbf {K} _{\alpha }(x)={\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }(1+t^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}e^{-xt}~dt={\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }e^{-x\sinh \tau }\cosh ^{2\alpha }\tau ~d\tau }$$

$${\displaystyle \mathbf {L} _{\alpha }(x)={\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}(1-t^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\sinh xt~dt={\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sinh(x\cos \tau )\sin ^{2\alpha }\tau ~d\tau ={\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sinh(x\sin \tau )\cos ^{2\alpha }\tau ~d\tau }$$

$${\displaystyle \mathbf {M} _{\alpha }(x)=-{\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}(1-t^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}e^{-xt}~dt=-{\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}e^{-x\cos \tau }\sin ^{2\alpha }\tau ~d\tau =-{\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}e^{-x\sin \tau }\cos ^{2\alpha }\tau ~d\tau }$$

Асимптотические формы

Для малых x разложение в степенной ряд приведено выше.

При больших x получаем:

${\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(x)-Y_{\alpha }(x)={\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha -1}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}+O\left(\left({\tfrac {x}{2}}\right)^{\alpha -3}\right),}$

где Y _α ( x ) — функция Неймана .

Характеристики

Функции Струве удовлетворяют следующим рекуррентным соотношениям:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {H} _{\alpha -1}(x)+\mathbf {H} _{\alpha +1}(x)&={\frac {2\alpha }{x}}\mathbf {H} _{\alpha }(x)+{\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {3}{2}}\right)}},\\\mathbf {H} _{\alpha -1}(x)-\mathbf {H} _{\alpha +1}(x)&=2{\frac {d}{dx}}\left(\mathbf {H} _{\alpha }(x)\right)-{\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {3}{2}}\right)}}.\end{aligned}}}$

Связь с другими функциями

Функции Струве целого порядка можно выразить через функции Вебера E _n и наоборот: если n — неотрицательное целое число, то

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} _{n}(z)&={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{\frac {\Gamma \left(k+{\frac {1}{2}}\right)\left({\frac {z}{2}}\right)^{n-2k-1}}{\Gamma \left(n-k+{\frac {1}{2}}\right)}}-\mathbf {H} _{n}(z),\\\mathbf {E} _{-n}(z)&={\frac {(-1)^{n+1}}{\pi }}\sum _{k=0}^{\left\lceil {\frac {n-3}{2}}\right\rceil }{\frac {\Gamma (n-k-{\frac {1}{2}})\left({\frac {z}{2}}\right)^{-n+2k+1}}{\Gamma \left(k+{\frac {3}{2}}\right)}}-\mathbf {H} _{-n}(z).\end{aligned}}}$

Функции Струве порядка n + ⁠1/2⁠ где n — целое число, можно выразить через элементарные функции. В частности, если n — неотрицательное целое число, то

${\displaystyle \mathbf {H} _{-n-{\frac {1}{2}}}(z)=(-1)^{n}J_{n+{\frac {1}{2}}}(z),}$

где правая часть — сферическая функция Бесселя .

Функции Струве (любого порядка) можно выразить через обобщенную гипергеометрическую функцию ₁ F ₂ :

${\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(z)={\frac {z^{\alpha +1}}{2^{\alpha }{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\tfrac {3}{2}}\right)}}{}_{1}F_{2}\left(1;{\tfrac {3}{2}},\alpha +{\tfrac {3}{2}};-{\tfrac {z^{2}}{4}}\right).}$

Приложения

Было показано, что функции Струве и Вебера применимы к формированию пучка в ^[1] и при описании влияния ограничивающего интерфейса на броуновское движение коллоидных частиц при низких числах Рейнольдса ^{[2] .}

Ссылки

1. K. Buchanan, C. Flores, S. Wheeland, J. Jensen, D. Grayson и G. Huff, «Формирование луча передачи для радиолокационных приложений с использованием случайных решеток с круговым сужением», Конференция IEEE по радарам 2017 г. (RadarConf), 2017 г., стр. 0112-0117, doi: 10.1109/RADAR.2017.7944181
2. BU Felderhof, «Влияние стенки на функцию автокорреляции скорости и долговременный хвост броуновского движения». Журнал физической химии B 109.45, 2005, стр. 21406-21412

• RM Aarts и Augustus JEM Janssen (2003). «Аппроксимация функции Струве H _1, возникающая при расчетах импеданса». J. Acoust. Soc. Am . 113 (5): 2635–2637. Bibcode :2003ASAJ..113.2635A. doi :10.1121/1.1564019. PMID  12765381.
• RM Aarts и Augustus JEM Janssen (2016). «Эффективное приближение функций Струве Hn, возникающее при расчете величин звукового излучения». J. Acoust. Soc. Am . 140 (6): 4154–4160. Bibcode :2016ASAJ..140.4154A. doi :10.1121/1.4968792. PMID  28040027.
• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 12". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия Applied Mathematics. Том 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. стр. 496. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
• Иванов, А.Б. (2001) [1994], "Функция Струве", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Paris, RB (2010), "Функция Струве", в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
• Струве, Х. (1882). «Beitrag zur Theorie der Diffraction an Fernröhren». Аннален дер Физик и Химия . 17 (13): 1008–1016. Бибкод : 1882АнП...253.1008С. дои : 10.1002/andp.18822531319.

Внешние ссылки

• Функции Струве на сайте функций Вольфрама.