Теорема сравнения Штурма – Пиконе

В математике , в области обыкновенных дифференциальных уравнений , теорема сравнения Штурма–Пиконе , названная в честь Жака Шарля Франсуа Штурма и Мауро Пиконе , является классической теоремой, которая устанавливает критерии колеблемости и неколеблемости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений в действительной области.

Пусть p _i , q _i для i  = 1, 2 — действительные непрерывные функции на интервале [ a ,  b ] и пусть

1. ${\displaystyle (p_{1}(x)y^{\prime })^{\prime }+q_{1}(x)y=0}$
2. ${\displaystyle (p_{2}(x)y^{\prime })^{\prime }+q_{2}(x)y=0}$

будут два однородных линейных дифференциальных уравнения второго порядка в самосопряженной форме с

${\displaystyle 0<p_{2}(x)\leq p_{1}(x)}$

и

${\displaystyle q_{1}(x)\leq q_{2}(x).}$

Пусть u — нетривиальное решение (1) с последовательными корнями в z ₁ и z ₂ , а v — нетривиальное решение (2). Тогда выполняется одно из следующих свойств.

• Существует x в ( z ₁ ,  z ₂ ) такой, что v ( x ) = 0; или
• существует λ в R , такое что v ( x ) = λ  u ( x ) .

Первая часть заключения принадлежит Штурму (1836), ^[1] , тогда как вторая (альтернативная) часть теоремы принадлежит Пиконе (1910) ^{[2] [3],} чье простое доказательство было дано с использованием его теперь знаменитого тождества Пиконе . В особом случае, когда оба уравнения идентичны, получается теорема Штурма о разделении . ^[4]

Примечания

1. К. Штурм, Mémoire sur les équations différentielles linéaires du второго порядка, J. ​​Math. Приложение Pures. 1 (1836), 106–186
2. М. Пиконе, Sui valori eccezionali di un parametro da Cui Dipende Un'Equazione Differentiale Ordinaria del Second'ordine, Ann. Скуола Норм. Пиза 11 (1909), 1–141.
3. Хинтон, Д. (2005). «Результаты осцилляций Штурма 1836 г. Эволюция теории». Теория Штурма-Лиувилля . С. 1–27. doi :10.1007/3-7643-7359-8_1. ISBN 3-7643-7066-1.
4. Для расширения этой важной теоремы до теоремы сравнения, включающей три или более действительных уравнений второго порядка, см. теорему сравнения Хартмана–Мингарелли, где было дано простое доказательство с использованием тождества Мингарелли.

Ссылки

• Диас, Дж. Б.; Маклафлин, Джойс Р. Теоремы сравнения Штурма для обыкновенных и частных дифференциальных уравнений . Bull. Amer. Math. Soc. 75 1969 335–339 [1]
• Генрих Гуггенхаймер (1977) Применимая геометрия , стр. 79, Кригер, Хантингтон ISBN 0-88275-368-1 . 
• Тешль, Г. (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы. Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0.