Симметричные компоненты

Метод упрощения анализа несимметричных трехфазных энергосистем

В электротехнике метод симметричных составляющих упрощает анализ несимметричных трехфазных энергосистем как в нормальных, так и в аномальных условиях. Основная идея заключается в том, что асимметричный набор N векторов может быть выражен как линейная комбинация N симметричных наборов векторов посредством сложного линейного преобразования . ^[1] Теорема Фортескью (симметричные компоненты) основана на принципе суперпозиции , ^[2] поэтому она применима только к линейным энергетическим системам или к линейным аппроксимациям нелинейных энергетических систем.

В наиболее распространенном случае трехфазных систем образующиеся «симметричные» составляющие называются прямой (или положительной ), обратной (или отрицательной ) и нулевой (или униполярной ). Анализ энергосистемы намного проще в области симметричных составляющих, поскольку полученные уравнения взаимно линейно независимы, если сама цепь сбалансирована . ^[3]

Описание

Набор из трех несбалансированных векторов и необходимых симметричных компонентов, которые в сумме дают результирующий график внизу.

В 1918 году Чарльз Легейт Фортескью представил статью ^[4] , в которой продемонстрировано, что любой набор N несбалансированных векторов (то есть любой такой многофазный сигнал) может быть выражен как сумма N симметричных наборов сбалансированных векторов для значений N, которые являются простыми. . Векторами представлена ​​только одна частотная составляющая.

В 1943 году Эдит Кларк опубликовала учебник, описывающий метод использования симметричных компонентов для трехфазных систем, который значительно упростил расчеты по сравнению с оригинальной статьей Фортескью. ^[5] В трехфазной системе один набор векторов имеет ту же последовательность фаз , что и изучаемая система (положительная последовательность; скажем, ABC), второй набор имеет обратную последовательность фаз (отрицательная последовательность; ACB), а в В третьем наборе векторы A, B и C находятся в фазе друг с другом ( нулевая последовательность , синфазный сигнал ). По сути, этот метод преобразует три несбалансированные фазы в три независимых источника, что делает анализ асимметричных неисправностей более простым.

Расширяя однолинейную диаграмму, чтобы показать импедансы прямой, обратной и нулевой последовательности генераторов , трансформаторов и других устройств, включая воздушные линии и кабели , анализ таких несбалансированных состояний, как короткое замыкание одной линии на землю, значительно упрощается. упрощенный. Эту технику можно также распространить на фазовые системы более высокого порядка.

Физически в трехфазной системе набор токов прямой последовательности создает нормальное вращающееся поле, набор обратной последовательности создает поле с противоположным вращением, а набор токов нулевой последовательности создает поле, которое колеблется, но не вращается между фазными обмотками. Поскольку эти эффекты можно физически обнаружить с помощью фильтров последовательности, математический инструмент стал основой для разработки защитных реле , которые использовали напряжения и токи обратной последовательности в качестве надежного индикатора состояний неисправности. Такие реле можно использовать для отключения автоматических выключателей или принятия других мер по защите электрических систем.

Аналитическая методика была принята и усовершенствована инженерами компаний General Electric и Westinghouse , а после Второй мировой войны она стала общепринятым методом анализа асимметричных неисправностей.

Как показано на рисунке справа выше, три набора симметричных компонентов (положительная, отрицательная и нулевая последовательность) в сумме создают систему из трех несбалансированных фаз, как показано в нижней части диаграммы. Дисбаланс между фазами возникает из-за разницы в величине и фазовом сдвиге между наборами векторов. Обратите внимание, что цвета (красный, синий и желтый) отдельных векторов последовательности соответствуют трем различным фазам (например, A, B и C). Чтобы получить окончательный график, рассчитывается сумма векторов каждой фазы. Этот результирующий вектор является эффективным векторным представлением этой конкретной фазы. Повторяя этот процесс, создается вектор для каждой из трех фаз.

Трехфазный случай

Симметричные компоненты чаще всего используются для анализа трехфазных электроэнергетических систем . Напряжение или ток трехфазной системы в какой-то момент может быть обозначен тремя векторами, называемыми тремя компонентами напряжения или тока.

В этой статье обсуждается напряжение; однако те же соображения применимы и к току. В идеально сбалансированной трехфазной энергосистеме компоненты вектора напряжения имеют равные величины, но расположены на расстоянии 120 градусов друг от друга. В несбалансированной системе величины и фазы составляющих вектора напряжения различны.

Разложение компонентов вектора напряжения на набор симметричных компонентов помогает проанализировать систему, а также визуализировать любые дисбалансы. Если три компонента напряжения выражаются в виде векторов (которые представляют собой комплексные числа), можно сформировать комплексный вектор, в котором три фазовых компонента являются компонентами вектора. Вектор трехфазных составляющих напряжения можно записать как

${\displaystyle \mathbf {v} _{abc}={\begin{bmatrix}V_{a}\\V_{b}\\V_{c}\end{bmatrix}}}$

и разложение вектора на три симметричные компоненты дает

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{a}\\V_{b}\\V_{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{a,0}\\V_{b,0}\\V_{c,0}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{a,1}\\V_{b,1}\\V_{c,1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{a,2}\\V_{b,2}\\V_{c,2}\end{bmatrix}}}$

где индексы 0, 1 и 2 относятся соответственно к компонентам нулевой, положительной и обратной последовательности. Компоненты последовательности различаются только фазовыми углами, которые симметричны, как и радианы или 120°. ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {2}{3}}\pi }$

Матрица

Определим оператор вращения вектора , который поворачивает вектор вектора против часовой стрелки на 120 градусов при умножении на него: ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha \equiv e^{{\frac {2}{3}}\pi i}}$.

Обратите внимание, что так . ${\displaystyle \alpha ^{3}=1}$ ${\displaystyle \alpha ^{-1}=\alpha ^{2}}$

Компоненты нулевой последовательности имеют одинаковую величину и находятся в фазе друг с другом, поэтому:

${\displaystyle V_{0}\equiv V_{a,0}=V_{b,0}=V_{c,0}}$,

а остальные компоненты последовательности имеют одинаковую величину, но их фазовые углы отличаются на 120°. Если исходный несбалансированный набор векторов напряжения имеет положительную последовательность фаз или последовательность фаз abc , то:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{1}&\equiv V_{a,1}=\alpha V_{b,1}=\alpha ^{2}V_{c,1}\end{aligned}}}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{2}&\equiv V_{a,2}=\alpha ^{2}V_{b,2}=\alpha V_{c,2}\end{aligned}}}$,

означающий, что

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{b,1}=\alpha ^{2}V_{1}\end{aligned}}}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{c,1}=\alpha V_{1}\end{aligned}}}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{b,2}=\alpha V_{2}\end{aligned}}}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{c,2}=\alpha ^{2}V_{2}\end{aligned}}}$.

Таким образом,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} _{abc}&={\begin{bmatrix}V_{0}\\V_{0}\\V_{0}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{1}\\\alpha ^{2}V_{1}\\\alpha V_{1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{2}\\\alpha V_{2}\\\alpha ^{2}V_{2}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&\alpha ^{2}&\alpha \\1&\alpha &\alpha ^{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{0}\\V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}\\&={\textbf {A}}\mathbf {v} _{012}\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle \mathbf {v} _{012}={\begin{bmatrix}V_{0}\\V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}},{\textbf {A}}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&\alpha ^{2}&\alpha \\1&\alpha &\alpha ^{2}\end{bmatrix}}}$

Если вместо этого исходный несбалансированный набор векторов напряжения имеет отрицательную или переменную последовательность фаз, аналогичным образом можно вывести следующую матрицу:

${\displaystyle {\textbf {A}}_{acb}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&\alpha &\alpha ^{2}\\1&\alpha ^{2}&\alpha \end{bmatrix}}}$

Разложение

Компоненты последовательности получаются из уравнения анализа

${\displaystyle \mathbf {v} _{012}={\textbf {A}}^{-1}\mathbf {v} _{abc}}$

где

${\displaystyle {\textbf {A}}^{-1}={\frac {1}{3}}{\begin{bmatrix}1&1&1\\1&\alpha &\alpha ^{2}\\1&\alpha ^{2}&\alpha \end{bmatrix}}}$

Два приведенных выше уравнения показывают, как получить симметричные компоненты, соответствующие асимметричному набору из трех векторов:

• Последовательность 0 составляет одну треть суммы исходных трех векторов.
• Последовательность 1 составляет одну треть суммы исходных трех векторов, повернутых против часовой стрелки на 0°, 120° и 240°.
• Последовательность 2 составляет одну треть суммы исходных трех векторов, повернутых против часовой стрелки на 0°, 240° и 120°.

Визуально, если исходные компоненты симметричны, каждая последовательность 0 и 2 будет образовывать треугольник, сумма которых равна нулю, а сумма компонентов последовательности 1 составит прямую линию.

Интуиция

Теорема Наполеона: если треугольники с центрами L , M и N равносторонние, то и зеленый треугольник равносторонний.

Векторы образуют замкнутый треугольник (например, внешние напряжения или линейные напряжения). Чтобы найти синхронную и инверсную составляющие фаз, возьмите любую сторону внешнего треугольника и нарисуйте два возможных равносторонних треугольника, разделяющих выбранную сторону в качестве основания. Эти два равносторонних треугольника представляют собой синхронную и обратную системы. ${\displaystyle \scriptstyle V_{(ab)}=V_{(a)}-V_{(b)};\;V_{(bc)}=V_{(b)}-V_{(c)};\;V_{(ca)}=V_{(c)}-V_{(a)}}$

Если бы вектора V были идеально синхронной системой, вершина внешнего треугольника, не лежащая на базовой линии, находилась бы в том же положении, что и соответствующая вершина равностороннего треугольника, представляющего синхронную систему. Любое количество обратной составляющей будет означать отклонение от этого положения. Отклонение ровно в 3 раза превышает обратную фазовую составляющую.

Синхронная составляющая аналогично 3-кратному отклонению от «обратного равностороннего треугольника». Направления этих компонентов верны для соответствующей фазы. Кажется нелогичным, что это работает для всех трех фаз, независимо от выбранной стороны, но в этом и прелесть этой иллюстрации. Рисунок взят из «Теоремы Наполеона» , которая соответствует методу графических вычислений, который иногда встречается в старых справочниках. ^[6]

Многофазный случай

Видно, что приведенная выше матрица преобразования A представляет собой матрицу ДПФ , и поэтому симметричные компоненты могут быть рассчитаны для любой многофазной системы.

Вклад гармоник в симметричные составляющие в трехфазных энергосистемах

Гармоники часто возникают в энергосистемах вследствие нелинейных нагрузок. Каждый порядок гармоник вносит свой вклад в различные компоненты последовательности. Фундаментальные и гармоники порядка будут способствовать компоненту положительной последовательности. Гармоники порядка будут способствовать возникновению отрицательной последовательности. Гармоники порядка вносят вклад в нулевую последовательность. ${\displaystyle \scriptstyle 3n+1}$ ${\displaystyle \scriptstyle 3n-1}$ ${\displaystyle \scriptstyle 3n}$

Обратите внимание, что приведенные выше правила применимы только в том случае, если значения фаз (или искажения) в каждой фазе абсолютно одинаковы. Обратите внимание, что даже гармоники не являются обычным явлением в энергосистемах.

Последствия компонента нулевой последовательности в энергосистемах

Нулевая последовательность представляет собой компонент несбалансированных векторов, равный по величине и фазе. Поскольку они находятся в фазе, токи нулевой последовательности, протекающие через n-фазную сеть, будут в сумме в n раз превышать величину отдельных компонентов токов нулевой последовательности. В нормальных условиях эксплуатации эта сумма настолько мала, что ею можно пренебречь. Однако во время крупных событий нулевой последовательности, таких как удары молнии, эта ненулевая сумма токов может привести к тому, что через нейтральный проводник будет течь больший ток, чем через отдельные фазные проводники. Поскольку нейтральные проводники обычно не больше, чем отдельные фазные проводники, а часто меньше этих проводников, большая составляющая нулевой последовательности может привести к перегреву нейтральных проводников и пожарам.

Одним из способов предотвращения больших токов нулевой последовательности является использование соединения треугольником, которое выглядит как разомкнутая цепь для токов нулевой последовательности. По этой причине большая часть передачи и большая часть подпередачи реализуется с использованием дельты. Большая часть распределения также реализуется с использованием дельта-системы, хотя «старые» системы распределения иногда были «перевернуты» (преобразованы из дельты в звезду ), чтобы увеличить пропускную способность линии при низкой преобразованной стоимости, но за счет более высокой стоимости. Стоимость реле защиты центральной станции.

Смотрите также

• Симметрия
• Прямое преобразование квадратурного нуля
• Альфа-бета-преобразование

Рекомендации

Примечания

1. Хаджсаид, Нуредин; Сабоннадьер, Жан-Клод (2013). Энергетические системы и реструктуризация. Джон Уайли и сыновья. п. 244. ИСБН 9781118599921.
2. Матис, Вольфганг; Паули, Райнер (1999). Сетевые теоремы. Интернет-библиотека Уайли. дои : 10.1002/047134608X.W2507. ISBN 047134608X. […] результаты Фортескью […] доказываются теоремой суперпозиции, и по этой причине прямое обобщение на нелинейные сети невозможно.
3. Блэкберн, Дж. Льюис (7 июня 1993). Симметричные компоненты для проектирования энергетических систем (1-е изд.). Нью-Йорк: CRC Press. ISBN 978-0-8247-8767-7.
4. Чарльз Л. Фортескью, «Метод симметричных координат, применяемый для решения многофазных сетей». Представлено на 34-м ежегодном съезде AIEE (Американского института инженеров-электриков) в Атлантик-Сити, штат Нью-Джерси, 28 июня 1918 года. Опубликовано в: AIEE Transactions , vol. 37, часть II, страницы 1027–1140 (1918). Краткую историю первых лет теории симметричных компонентов см.: Дж. Льюис Блэкберн, Симметричные компоненты для энергетики (Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, 1993), страницы 3–4.
5. Габриэле Касс-Симон, Патрисия Фарнс, Дебора Нэш (редактор), Женщины науки: исправление рекорда , Indiana University Press, 1993, ISBN 0253208130 . страницы 164-168 
6. Вагнер, CF; Эванс, Р.Д. (1933). Симметричные компоненты . Нью-Йорк и Лондон: МакГроу Хилл. п. 265.

Библиография

• Дж. Льюис Блэкберн « Симметричные компоненты для проектирования энергетических систем» , Марсель Деккер, Нью-Йорк (1993). ISBN 0-8247-8767-6 
• Уильям Д. Стивенсон-младший. Элементы анализа энергосистем, третье издание , МакГроу-Хилл , Нью-Йорк (1975). ISBN 0-07-061285-4 . 
• Историческая статья IEEE о ранней разработке симметричных компонентов, получена 12 мая 2005 г.
• Westinghouse Corporation, Прикладные защитные реле , 1976, Westinghouse Corporation, нет ISBN, номер карты Библиотеки Конгресса. 76-8060 - стандартный справочник по электромеханическим реле защиты.