Обобщенный номер такси

Наименьшее число, которое можно выразить как сумму j чисел в k-й степени n способами

Нерешенная задача по математике :

Существует ли число, которое можно выразить в виде суммы двух положительных пятых степеней по крайней мере двумя различными способами, т. е. ? ${\displaystyle a^{5}+b^{5}=c^{5}+d^{5}}$

(еще нерешенные проблемы по математике)

В теории чисел обобщенное число такси Taxicab( k , j , n ) — это наименьшее число — если оно существует — которое может быть выражено как сумма чисел j в положительной степени k n различными способами. При k = 3 и j = 2 они совпадают с числом такси .

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Taxicab} (1,2,2)&=4=1+3=2+2\\\mathrm {Taxicab} (2,2,2)&=50=1^{2}+7^{2}=5^{2}+5^{2}\\\mathrm {Taxicab} (3,2,2)&=1729=1^{3}+12^{3}=9^{3}+10^{3}\end{aligned}}}$

Последний пример — 1729 год , как впервые отметил Рамануджан .

Эйлер показал, что

$${\displaystyle \mathrm {Taxicab} (4,2,2)=635318657=59^{4}+158^{4}=133^{4}+134^{4}.}$$

Однако Taxicab(5, 2, n ) неизвестен ни для одного n ≥ 2 : не известно
ни одного положительного целого числа , которое можно было бы записать в виде суммы двух пятых степеней более чем одним способом, и неизвестно, существует ли такое число. ^[1]

Смотрите также

• Номер такси

Ссылки

1. Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (третье изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Springer-Science+Business Media, Inc. ISBN 0-387-20860-7.

• Ekl, Randy L. (1998). «Новые результаты в равных суммах подобных степеней». Math. Comp . 67 (223): 1309–1315. doi : 10.1090/S0025-5718-98-00979-X . MR  1474650.

Внешние ссылки

• Обобщенные номера такси и номера такси
• Номера такси - 4-я степень
• Номера такси Уолтера Шнайдера