Тета-представление

В математике тета -представление является частным представлением группы Гейзенберга квантовой механики . Оно получило свое название из-за того, что тета-функция Якоби инвариантна относительно действия дискретной подгруппы группы Гейзенберга. Представление было популяризировано Дэвидом Мамфордом .

Строительство

Представление тета — это представление непрерывной группы Гейзенберга над полем действительных чисел. В этом представлении элементы группы действуют на определенное гильбертово пространство . Конструкция ниже сначала выполняется путем определения операторов , соответствующих генераторам группы Гейзенберга. Затем определяется гильбертово пространство, на котором они действуют, а затем демонстрируется изоморфизм обычным представлениям. ${\displaystyle H_{3}(\mathbb {R} )}$

Групповые генераторы

Пусть f ( z ) — голоморфная функция , пусть a и b — действительные числа , и пусть — произвольное фиксированное комплексное число в верхней полуплоскости ; то есть так, чтобы мнимая часть была положительной. Определим операторы S _a и T _b так, чтобы они действовали на голоморфные функции как ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle (S_{a}f)(z)=f(z+a)=\exp(a\partial _{z})f(z)}$

и

${\displaystyle (T_{b}f)(z)=\exp(i\pi b^{2}\tau +2\pi ibz)f(z+b\tau )=\exp(i\pi b^{2}\tau +2\pi ibz+b\tau \partial _{z})f(z).}$

Видно, что каждый оператор генерирует однопараметрическую подгруппу:

${\displaystyle S_{a_{1}}\left(S_{a_{2}}f\right)=\left(S_{a_{1}}\circ S_{a_{2}}\right)f=S_{a_{1}+a_{2}}f}$

и

${\displaystyle T_{b_{1}}\left(T_{b_{2}}f\right)=\left(T_{b_{1}}\circ T_{b_{2}}\right)f=T_{b_{1}+b_{2}}f.}$

Однако S и T не коммутируют:

${\displaystyle S_{a}\circ T_{b}=\exp(2\pi iab)T_{b}\circ S_{a}.}$

Таким образом, мы видим, что S и T вместе с унитарной фазой образуют нильпотентную группу Ли , (непрерывную действительную) группу Гейзенберга , параметризуемую следующим образом , где U (1) — унитарная группа . ${\displaystyle H=U(1)\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$

Тогда общий групповой элемент действует на голоморфную функцию f ( z ) следующим образом: ${\displaystyle U_{\tau }(\lambda ,a,b)\in H}$

${\displaystyle U_{\tau }(\lambda ,a,b)f(z)=\lambda (S_{a}\circ T_{b}f)(z)=\lambda \exp(i\pi b^{2}\tau +2\pi ibz)f(z+a+b\tau )}$

где — центр H , подгруппы коммутатора . Параметр on служит только для того, чтобы напомнить , что каждое другое значение порождает другое представление действия группы. ${\displaystyle \lambda \in U(1).}$ ${\displaystyle U(1)=Z(H)}$ ${\displaystyle [H,H]}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle U_{\tau }(\lambda ,a,b)}$ ${\displaystyle \tau }$

Гильбертово пространство

Действие элементов группы унитарно и неприводимо на некотором гильбертовом пространстве функций. Для фиксированного значения τ определим норму на целых функциях комплексной плоскости как ${\displaystyle U_{\tau }(\lambda ,a,b)}$

${\displaystyle \Vert f\Vert _{\tau }^{2}=\int _{\mathbb {C} }\exp \left({\frac {-2\pi y^{2}}{\Im \tau }}\right)|f(x+iy)|^{2}\ dx\ dy.}$

Здесь — мнимая часть , а область интегрирования — вся комплексная плоскость. Пусть — множество целых функций f с конечной нормой. Нижний индекс используется только для указания того, что пространство зависит от выбора параметра . Это образует гильбертово пространство . Действие , указанное выше, унитарно на , то есть сохраняет норму на этом пространстве. Наконец, действие на неприводимо . ${\displaystyle \Im \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\tau }}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\tau }}$ ${\displaystyle U_{\tau }(\lambda ,a,b)}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\tau }}$ ${\displaystyle U_{\tau }(\lambda ,a,b)}$ ${\displaystyle U_{\tau }(\lambda ,a,b)}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\tau }}$

Эта норма тесно связана с той, которая используется для определения пространства Сигала–Баргмана ^{[ необходима ссылка ]} .

Изоморфизм

Представление группы Гейзенберга выше в виде тета изоморфно каноническому представлению Вейля группы Гейзенберга. В частности, это означает, что и изоморфны как H -модули . Пусть ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\tau }}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle M(a,b,c)={\begin{bmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

обозначают общий элемент группы В каноническом представлении Вейля для каждого действительного числа h существует представление, действующее как ${\displaystyle H_{3}(\mathbb {R} ).}$ ${\displaystyle \rho _{h}}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \rho _{h}(M(a,b,c))\psi (x)=\exp(ibx+ihc)\psi (x+ha)}$

для и ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} ).}$

Здесь h — постоянная Планка . Каждое такое представление унитарно неэквивалентно . Соответствующее тета-представление:

${\displaystyle M(a,0,0)\to S_{ah}}$

${\displaystyle M(0,b,0)\to T_{b/2\pi }}$

${\displaystyle M(0,0,c)\to e^{ihc}}$

Дискретная подгруппа

Определим подгруппу как ${\displaystyle \Gamma _{\tau }\subset H_{\tau }}$

${\displaystyle \Gamma _{\tau }=\{U_{\tau }(1,a,b)\in H_{\tau }:a,b\in \mathbb {Z} \}.}$

Тета- функция Якоби определяется как

${\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi in^{2}\tau +2\pi inz).}$

Это целая функция z , которая инвариантна относительно Это следует из свойств тета-функции: ${\displaystyle \Gamma _{\tau }.}$

${\displaystyle \vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau )}$

и

${\displaystyle \vartheta (z+a+b\tau ;\tau )=\exp(-\pi ib^{2}\tau -2\pi ibz)\vartheta (z;\tau )}$

когда a и b — целые числа. Можно показать, что тета Якоби — единственная такая функция.

Смотрите также

• Пространство Сигала–Баргмана
• Пространство Харди

Ссылки

• Дэвид Мамфорд, Лекции Тата по Тета I (1983), Биркхойзер, Бостон ISBN  3-7643-3109-7