модель Терстона

Модель Терстона — это стохастическая транзитивная модель со скрытыми переменными для описания отображения некоторой непрерывной шкалы на дискретные, возможно, упорядоченные категории ответа. В этой модели каждая из этих категорий ответа соответствует скрытой переменной, значение которой извлекается из нормального распределения , независимо от других переменных ответа и с постоянной дисперсией. Однако разработки за последние два десятилетия привели к появлению моделей Терстона, которые допускают неравную дисперсию и ненулевые ковариационные члены. Модели Терстона использовались в качестве альтернативы обобщенным линейным моделям при анализе задач сенсорного различения . ^[1] Они также использовались для моделирования долговременной памяти в задачах ранжирования упорядоченных альтернатив, таких как порядок поправок к Конституции США. ^[2] Их главное преимущество перед другими моделями ранжирования задач заключается в том, что они учитывают независимость альтернатив. ^[3] Эннис ^[4] дает всесторонний отчет о выводе моделей Терстона для широкого спектра поведенческих задач, включая предпочтительный выбор, рейтинги, триады, тетрады, дуальные пары, одинаковые-различные и степень различия, ранги, выбор первый-последний и оценку применимости. В главе 7 этой книги ^{[ требуется ссылка ]} приведено выражение в замкнутой форме, выведенное в 1988 году, для модели евклидово-гауссовского сходства, которое обеспечивает решение хорошо известной проблемы, заключающейся в том, что многие модели Терстона являются вычислительно сложными, часто включающими множественную интеграцию. В главе 10 представлена ​​простая форма для задач ранжирования, которая включает только произведение одномерных нормальных функций распределения и включает параметры зависимости, вызванные рангом. Доказана теорема, которая показывает, что конкретная форма параметров зависимости обеспечивает единственный способ, которым это упрощение возможно. Глава 6 связывает дискриминацию, идентификацию и предпочтительный выбор посредством общей многомерной модели в форме взвешенных сумм центральных функций F-распределения и допускает общую матрицу дисперсии-ковариации для элементов.

Определение

Рассмотрим набор из m вариантов, которые были ранжированы n независимыми судьями. Такой ранжирование может быть представлено вектором упорядочения r _n = (r _n1 , r _n2 ,...,r _nm ).

Предполагается, что наблюдаемые рейтинги получены из действительных скрытых переменных z _ij , представляющих оценку варианта j судьей i . Рейтинги r _i выводятся детерминированно из z _i таким образом, что z _i (r _i1 ) < z _i (r _i2 ) < ... < z _i (r _im ).

Предполагается , что z i _{выводятся} из базового истинного значения μ для каждого варианта. В самом общем случае они являются многомерно-нормальными:

${\displaystyle \mathbf {z} _{j}\ \sim \ {\mathcal {N}}(\mathbf {\mu } _{j},\mathbf {\Sigma } _{j})}$

Одним из распространенных упрощений является предположение об изотропном распределении Гаусса с одним параметром стандартного отклонения для каждого судьи:

${\displaystyle \mathbf {z} _{j}\ \sim \ {\mathcal {N}}(\mathbf {\mu } _{j},\sigma _{i}^{2}\mathbf {I} ).}$

Вывод

Подход к оценке параметров модели, основанный на использовании пробоотборника Гиббса, был предложен Яо и Бокенхолтом (1999). ^[3]

• Шаг 1: Даны β, Σ и r _i , выборка z _i .

Z _ij должны быть выбраны из усеченного многомерного нормального распределения, чтобы сохранить их ранговый порядок. Усеченный многомерный нормальный сэмплер Гиббса Хадживасилиу может быть использован для эффективной выборки. [ ^{5] [6]}

• Шаг 2: Дано Σ, z _i , выборка β.

β выбирается из нормального распределения :

${\displaystyle \beta \ \sim \ {\mathcal {N}}(\beta ^{*},\Sigma ^{*}).}$

где β ^* и Σ ^* — текущие оценки для средних значений и ковариационных матриц.

• Шаг 3: Дано β, z _i , выборка Σ.

Σ ⁻¹ выбирается из апостериорного распределения Уишарта , объединяющего априорное распределение Уишарта с правдоподобием данных из выборок ε _i = z _i - β.

Теперь вернитесь к шагу 1.

История

Модели Терстона были введены Луисом Леоном Терстоуном для описания закона сравнительного суждения . ^[7] До 1999 года модели Терстона редко использовались для задач моделирования, включающих более 4 вариантов, из-за высокоразмерной интеграции, необходимой для оценки параметров модели. В 1999 году Яо и Бокенхолт представили свой подход, основанный на пробоотборнике Гиббса, для оценки параметров модели. ^[3] Однако этот комментарий применим только к ранжированию, а модели Терстона с гораздо более широким спектром применения были разработаны до 1999 года. Например, многомерная модель Терстона для предпочтительного выбора с общей структурой дисперсии-ковариации обсуждается в главе 6 Ennis (2016), которая была основана на работах, опубликованных в 1993 и 1994 годах. Еще раньше, в 1988 году, была опубликована закрытая форма для многомерной модели Терстона для сходства с произвольными ковариационными матрицами, как обсуждается в главе 7 Ennis (2016). Эта модель имеет многочисленные применения и не ограничивается каким-либо конкретным числом элементов или лиц.

Применение к сенсорному различению

Модели Терстона применялись к ряду задач сенсорного различения, включая слуховое, вкусовое и обонятельное различение, для оценки сенсорного расстояния между стимулами, которые располагаются вдоль некоторого сенсорного континуума. ^{[8] [9] [10]}

Подход Терстона мотивировал объяснение Фриджтером (1979) парадокса Гриджмена, также известного как парадокс дискриминирующих недискриминаторов: ^{[1] [9] [11] [12]} Люди лучше справляются с задачей принудительного выбора из трех альтернатив, когда им заранее говорят, на какое измерение стимула обратить внимание. (Например, люди лучше определяют, какой из трех напитков отличается от двух других, когда им заранее говорят, что разница будет в степени сладости.) Этот результат объясняется различными когнитивными стратегиями: когда соответствующее измерение известно заранее, люди могут оценивать значения по этому конкретному измерению. Когда соответствующее измерение неизвестно заранее, они должны полагаться на более общую, многомерную меру сенсорного расстояния.

В приведенном выше абзаце содержится распространенное заблуждение относительно решения Терстона парадокса Гриджмена. Хотя верно, что при выборе между тремя альтернативами используются разные правила принятия решений (когнитивные стратегии), сам факт знания атрибута заранее не объясняет парадокс, и субъектам не требуется полагаться на более общую, многомерную меру сенсорного различия. Например, в треугольном методе субъекту предлагается выбрать наиболее отличающийся из трех элементов, два из которых предположительно идентичны. Элементы могут отличаться по одномерной шкале, и субъект может быть заранее осведомлен о природе шкалы. Парадокс Гриджмена все равно будет наблюдаться. Это происходит из-за процесса выборки в сочетании с правилом принятия решений на основе расстояния, в отличие от правила принятия решений на основе величины, которое, как предполагается, моделирует результаты задачи принудительного выбора из 3 альтернатив.

Смотрите также

• шкала Терстоуна
• Модель Брэдли-Терри
• Стохастическая транзитивность

Ссылки

1. Lundahl, David (1997). «Модели Терстона — ответ на парадокс Гриджмена?». Статистические методы программного обеспечения CAMO.
2. Ли, Майкл; Стейверс, Марк; де Янг, Минди; Миллер, Брент (2011). «Подход на основе моделей к измерению экспертных знаний в ранжировании задач» (PDF) . Труды CogSci 2011 (PDF) . ISBN 978-0-9768318-7-7.
3. Яо, Г.; Бокенхолт, У. (1999). "Байесовская оценка ранжирующих моделей Терстона на основе сэмплера Гиббса" (PDF) . British Journal of Mathematical and Statistical Psychology . 52 : 19–92. doi :10.1348/000711099158973.
4. Эннис, Дэниел (2016). Модели Терстона — Категориальное принятие решений в присутствии шума . Ричмонд: Институт восприятия. ISBN 978-0-9906446-0-6.
5. Hajivassiliou, VA (1993). "Методы оценки имитации для моделей с ограниченной зависимой переменной". В Maddala, GS; Rao, CR; Vinod, HD (ред.). Эконометрика . Справочник по статистике. Том 11. Амстердам: Elsevier. ISBN 0444895779.
6. VA, Hajivassiliou; D., McFadden; P., Ruud (1996). «Моделирование многомерных нормальных прямоугольных вероятностей и их производных. Теоретические и вычислительные результаты». Журнал эконометрики . 72 (1–2): 85–134. doi : 10.1016/0304-4076(94)01716-6 .
7. Терстоун, Луис Леон (1927). «Закон сравнительного суждения». Psychological Review . 34 (4): 273–286. doi :10.1037/h0070288.Перепечатано: Терстоун, Л. Л. (1994). «Закон сравнительного суждения». Psychological Review . 101 (2): 266–270. doi :10.1037/0033-295X.101.2.266.
8. Дурлах, NI; Брайда, LD (1969). «Восприятие интенсивности. I. Предварительная теория разрешения интенсивности». Журнал акустического общества Америки . 46 (2): 372–383. Bibcode : 1969ASAJ...46..372D. doi : 10.1121/1.1911699. PMID  5804107.
9. Dessirier, Jean-Marc; O'Mahony, Michael (9 октября 1998 г.). "Сравнение значений d′ для методов дискриминации 2-AFC (парное сравнение) и 3-AFC: модели Терстона, последовательный анализ чувствительности и мощность". Food Quality and Preference . 10 (1): 51–58. doi :10.1016/S0950-3293(98)00037-8.
10. Фрайтер, Дж. Э. Р. (1980). «Трехстимульные процедуры в обонятельной психофизике: экспериментальное сравнение моделей Терстоуна-Ура и трехальтернативного принудительного выбора теории обнаружения сигналов». Восприятие и психофизика . 28 (5): 390–7. doi : 10.3758/BF03204882 . PMID  7208248.
11. Гриджемент, NT (1970). «Пересмотр двухэтапного треугольного теста для восприятия сенсорных различий». Журнал пищевой науки . 35 (1): 87–91. doi :10.1111/j.1365-2621.1970.tb12376.x.
12. Фрайтерс, Дж. Э. Р. (1979). «Парадокс дискриминирующих недискриминаторов разрешён». Chemical Senses & Flavor . 4 (4): 355–8. doi :10.1093/chemse/4.4.355.