В теории групп преобразования Титце используются для преобразования заданного представления группы в другое, часто более простое представление той же группы . Эти преобразования названы в честь Генриха Титце, который представил их в статье в 1908 году. [1]
Представление находится в терминах генераторов и отношений ; формально говоря, представление является парой набора именованных генераторов и набора слов в свободной группе на генераторах, которые принимаются за отношения. Преобразования Титце строятся из элементарных шагов, каждый из которых в отдельности довольно очевидно переводит представление в представление изоморфной группы . Эти элементарные шаги могут работать с генераторами или отношениями и бывают четырех видов.
Если отношение может быть выведено из существующих отношений, то его можно добавить к представлению без изменения группы. Пусть G=〈 x | x 3 =1 〉 — конечное представление для циклической группы порядка 3. Умножая x 3 =1 с обеих сторон на x 3, получаем x 6 = x 3 = 1, так что x 6 = 1 выводимо из x 3 =1. Следовательно, G=〈 x | x 3 =1, x 6 =1 〉 — другое представление для той же группы.
Если отношение в представлении может быть выведено из других отношений, то его можно удалить из представления, не затрагивая группу. В G = 〈x | x 3 = 1, x 6 = 1 〉 отношение x 6 = 1 может быть выведено из x 3 = 1, так что его можно безопасно удалить. Обратите внимание, однако, что если x 3 = 1 удаляется из представления, то группа G = 〈x | x 6 = 1 〉 определяет циклическую группу порядка 6 и не определяет ту же самую группу. Необходимо позаботиться о том, чтобы показать, что любые удаляемые отношения являются следствиями других отношений.
Учитывая представление, можно добавить новый генератор, который выражается как слово в исходных генераторах. Начиная с G = 〈x | x 3 = 1 〉 и полагая y = x 2, новое представление G = 〈x , y | x 3 = 1, y = x 2〉 определяет ту же группу.
Если можно сформировать отношение, в котором один из образующих является словом в других образующих, то этот образующий может быть удален. Для этого необходимо заменить все вхождения удаленного образующего эквивалентным ему словом. Представление для элементарной абелевой группы порядка 4, G=〈 x,y,z | x = yz, y 2 =1, z 2 =1, x=x −1〉 можно заменить на G = 〈y , z | y 2 = 1, z 2 = 1, ( yz ) = ( yz ) −1〉, удалив x .
Пусть G = 〈x , y | x 3 = 1, y 2 = 1, ( xy ) 2 = 1 〉 — представление симметрической группы степени три. Генератор x соответствует перестановке (1,2,3), а y — (2,3). С помощью преобразований Титце это представление можно преобразовать в G = 〈y , z | ( zy ) 3 = 1, y 2 = 1, z 2 = 1 〉, где z соответствует (1,2).