Временная стоимость денег

Предположение, что получить определенную сумму денег сейчас выгоднее, чем позже.

Текущая стоимость $1000, 100 лет в будущем. Кривые представляют постоянные ставки дисконтирования 2%, 3%, 5% и 7%.

Временная стоимость денег относится к тому факту, что обычно есть большая выгода получить сумму денег сейчас, чем идентичную сумму позже. Это можно рассматривать как следствие более поздней разработанной концепции временного предпочтения .

Временная стоимость денег относится к наблюдению, что лучше получить деньги раньше, чем позже. Деньги, которые у вас есть сегодня, можно инвестировать, чтобы получить положительную норму прибыли, производя больше денег завтра. Поэтому доллар сегодня стоит больше, чем доллар в будущем. ^[1]

Временная стоимость денег входит в число факторов, которые учитываются при оценке альтернативных издержек расходования, а не сбережения или инвестирования денег . Таким образом, это одна из причин, по которой выплачиваются или зарабатываются проценты : проценты, будь то по банковскому депозиту или долгу , компенсируют вкладчику или кредитору потерю возможности использовать свои деньги. Инвесторы готовы отказаться от траты своих денег сейчас, только если они ожидают благоприятную чистую прибыль от своих инвестиций в будущем, так что возросшая стоимость , которая будет доступна позже, будет достаточно высокой, чтобы компенсировать как предпочтение тратить деньги сейчас, так и инфляцию (если присутствует); см. требуемую норму прибыли .

История

Талмуд (~500 г. н. э.) признает временную стоимость денег. В трактате Макос на странице 3а Талмуда обсуждается случай, когда свидетели ложно утверждали, что срок займа составлял 30 дней, когда на самом деле он составлял 10 лет. Лжесвидетели должны выплатить разницу в стоимости займа «в ситуации, когда от него потребовали бы вернуть деньги (в течение) тридцати дней..., и ту же сумму в ситуации, когда от него потребовали бы вернуть деньги (в течение) 10 лет... Разница — это сумма, которую показания (лжесвидетелей) пытались заставить заемщика потерять; следовательно, это сумма, которую они должны выплатить». ^[2]

Это понятие было позже описано Мартином де Аспилкуэтой (1491–1586) из школы Саламанки .

Расчеты

Задачи оценки стоимости денег во времени касаются чистой стоимости денежных потоков в различные моменты времени.

В типичном случае переменными могут быть: баланс (реальная или номинальная стоимость долга или финансового актива в денежных единицах), периодическая процентная ставка, количество периодов и серия денежных потоков. (В случае долга денежные потоки представляют собой платежи в счет основного долга и процентов; в случае финансового актива это взносы или изъятия из баланса.) В более общем смысле денежные потоки могут не быть периодическими, а могут быть указаны индивидуально. Любая из этих переменных может быть независимой переменной (искомым ответом) в данной задаче. Например, можно знать, что: проценты составляют 0,5% за период (скажем, в месяц); количество периодов составляет 60 (месяцев); начальный баланс (долга, в данном случае) составляет 25 000 единиц; а конечный баланс составляет 0 единиц. Неизвестной переменной может быть ежемесячный платеж, который должен внести заемщик.

Например, £100, инвестированные на один год, приносящие 5% годовых, будут стоить £105 через год; следовательно, £100, уплаченные сейчас, и £105, уплаченные ровно через год, имеют одинаковую ценность для получателя, который ожидает 5% годовых, предполагая, что инфляция будет равна нулю процентов. То есть, £100, инвестированные на один год под 5% годовых, имеют будущую ценность £105 при предположении, что инфляция будет равна нулю процентов. ^[3]

Этот принцип позволяет оценить вероятный поток доходов в будущем таким образом, что годовые доходы дисконтируются , а затем суммируются, тем самым обеспечивая единовременную «текущую стоимость» всего потока доходов; все стандартные расчеты временной стоимости денег вытекают из самого простого алгебраического выражения для текущей стоимости будущей суммы, «дисконтированной» к настоящему на сумму, равную временной стоимости денег. Например, будущая сумма стоимости, которая должна быть получена через год, дисконтируется по процентной ставке, чтобы получить текущую сумму стоимости : ${\displaystyle FV}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle PV}$

${\displaystyle PV={\frac {FV}{(1+r)}}}$

Вот некоторые стандартные расчеты, основанные на временной стоимости денег:

• Текущая стоимость : Текущая стоимость будущей суммы денег или потока денежных потоков при заданной норме доходности . Будущие денежные потоки «дисконтируются» по ставке дисконтирования; чем выше ставка дисконтирования, тем ниже текущая стоимость будущих денежных потоков. Определение соответствующей ставки дисконтирования является ключом к правильной оценке будущих денежных потоков, будь то доходы или обязательства. ^[4]
• Текущая стоимость аннуитета : Аннуитет — это ряд равных платежей или поступлений, которые происходят через равные промежутки времени. Примерами являются арендные и рентные платежи. Платежи или поступления происходят в конце каждого периода для обычного аннуитета, тогда как для аннуитета с фиксированным платежом они происходят в начале каждого периода.

Текущая стоимость бессрочной ренты представляет собой бесконечный и постоянный поток идентичных денежных потоков. ^[5]

• Будущая стоимость : стоимость актива или денежных средств на определенную дату в будущем, основанная на стоимости этого актива в настоящем. ^[6]
• Будущая стоимость аннуитета (FVA) : будущая стоимость потока платежей (аннуитета), предполагающая, что платежи инвестируются по заданной процентной ставке.

Существует несколько основных уравнений, которые представляют равенства, перечисленные выше. Решения могут быть найдены с использованием (в большинстве случаев) формул, финансового калькулятора или электронной таблицы . Формулы запрограммированы в большинстве финансовых калькуляторов и нескольких функциях электронных таблиц (таких как PV, FV, RATE, NPER и PMT). ^[7]

Для любого из приведенных ниже уравнений формулу можно также перестроить, чтобы определить одно из других неизвестных. В случае стандартной формулы аннуитета не существует замкнутого алгебраического решения для процентной ставки (хотя финансовые калькуляторы и программы электронных таблиц могут легко определять решения с помощью быстрых алгоритмов проб и ошибок).

Эти уравнения часто объединяются для конкретных целей. Например, облигации можно легко оценить с помощью этих уравнений. Типичная купонная облигация состоит из двух типов платежей: потока купонных платежей, аналогичного аннуитету, и единовременного возврата капитала в конце срока погашения облигации — то есть будущего платежа. Две формулы можно объединить для определения текущей стоимости облигации.

Важно отметить, что процентная ставка i — это процентная ставка за соответствующий период. Для аннуитета, который производит один платеж в год, i будет годовой процентной ставкой. Для потока доходов или платежей с другим графиком платежей процентная ставка должна быть преобразована в соответствующую периодическую процентную ставку. Например, ежемесячная ставка для ипотеки с ежемесячными платежами требует, чтобы процентная ставка была разделена на 12 (см. пример ниже). См. сложные проценты для получения подробной информации о конвертации между различными периодическими процентными ставками.

Норма доходности в расчетах может быть либо решенной переменной, либо предопределенной переменной, которая измеряет ставку дисконтирования, процент, инфляцию, норму доходности, стоимость капитала, стоимость долга или любое количество других аналогичных понятий. Выбор подходящей ставки имеет решающее значение для упражнения, и использование неправильной ставки дисконтирования сделает результаты бессмысленными.

Для расчетов, включающих аннуитеты, необходимо решить, производятся ли платежи в конце каждого периода (известный как обычный аннуитет) или в начале каждого периода (известный как аннуитет, подлежащий уплате). При использовании финансового калькулятора или электронной таблицы обычно можно задать любой из расчетов. Следующие формулы предназначены для обычного аннуитета. Для ответа на текущую стоимость аннуитета, подлежащего уплате, приведенную стоимость обычного аннуитета можно умножить на (1 + i ).

Формула

Следующая формула использует эти общие переменные:

• PV — это значение в нулевой момент времени (текущая стоимость)
• FV — это стоимость в момент времени n (будущая стоимость)
• A — это стоимость отдельных платежей в каждом периоде начисления процентов
• n — количество периодов (не обязательно целое число)
• i — процентная ставка , по которой сумма начисляется каждый период
• g — темп роста платежей за каждый период времени

Будущая стоимость настоящей суммы

Формула будущей стоимости ( FV ) аналогична и использует те же переменные.

${\displaystyle FV\ =\ PV\cdot (1+i)^{n}}$

Текущая стоимость будущей суммы

Формула текущей стоимости является основной формулой для временной стоимости денег; каждая из других формул выводится из этой формулы. Например, формула аннуитета является суммой серии расчетов текущей стоимости.

Формула текущей стоимости ( PV ) имеет четыре переменные, каждая из которых может быть решена численными методами :

${\displaystyle PV\ =\ {\frac {FV}{(1+i)^{n}}}}$

Накопленная текущая стоимость будущих денежных потоков может быть рассчитана путем суммирования вкладов FV _t , стоимости денежного потока в момент времени t :

${\displaystyle PV\ =\ \sum _{t=1}^{n}{\frac {FV_{t}}{(1+i)^{t}}}}$

Обратите внимание, что этот ряд можно суммировать для заданного значения n или когда n равно ∞. ^[8] Это очень общая формула, которая приводит к нескольким важным особым случаям, приведенным ниже.

Текущая стоимость аннуитета за n периодов выплат

В этом случае значения денежного потока остаются неизменными на протяжении n периодов. Формула текущей стоимости аннуитета ( PVA) имеет четыре переменные, каждая из которых может быть решена численными методами:

${\displaystyle PV(A)\,=\,{\frac {A}{i}}\cdot \left[{1-{\frac {1}{\left(1+i\right)^{n}}}}\right]}$

Чтобы получить приведенную стоимость аннуитета , умножьте приведенное выше уравнение на (1 + i ).

Текущая стоимость растущей ренты

В этом случае каждый денежный поток растет в (1+ g ) раз . Подобно формуле для аннуитета, текущая стоимость растущей ренты (PVGA) использует те же переменные с добавлением g в качестве темпа роста аннуитета (A — аннуитетный платеж в первом периоде). Это расчет, который редко предусмотрен в финансовых калькуляторах.

Где i ≠ g:

${\displaystyle PV(A)\,=\,{A \over (i-g)}\left[1-\left({1+g \over 1+i}\right)^{n}\right]}$

Где i = g:

${\displaystyle PV(A)\,=\,{A\times n \over 1+i}}$

Чтобы получить приведенную стоимость растущей ренты , умножьте приведенное выше уравнение на (1 + i ).

Текущая стоимость бессрочной ренты

Перпетуитет — это выплаты установленной суммы денег, которые происходят на регулярной основе и продолжаются вечно. Когда n → ∞, приведенная стоимость формулы перпетуитета (бессрочной ренты) становится простым делением.

${\displaystyle PV(P)\ =\ {A \over i}}$

Текущая стоимость растущей бессрочной ренты

Когда платеж по вечной ренте растет с фиксированной скоростью ( g , где g < i ), стоимость определяется по следующей формуле, полученной путем установки n на бесконечность в предыдущей формуле для растущей бессрочной ренты:

${\displaystyle PV(A)\,=\,{A \over i-g}}$

На практике существует мало ценных бумаг с точными характеристиками, и применение этого подхода к оценке зависит от различных оговорок и модификаций. Самое главное, редко можно найти растущий вечный аннуитет с фиксированными темпами роста и истинным постоянным денежным потоком. Несмотря на эти оговорки, общий подход может использоваться при оценке недвижимости, акций и других активов.

Это известная модель роста Гордона, используемая для оценки акций .

Будущая стоимость аннуитета

Формула будущей стоимости (через n периодов) аннуитета (FVA) имеет четыре переменные, каждая из которых может быть решена численными методами:

${\displaystyle FV(A)\,=\,A\cdot {\frac {\left(1+i\right)^{n}-1}{i}}}$

Чтобы получить справедливую стоимость аннуитета, умножьте приведенное выше уравнение на (1 + i).

Будущая стоимость растущей ренты

Формула будущей стоимости (после n периодов) растущей ренты (FVA) имеет пять переменных, каждая из которых может быть решена численными методами:

Где i ≠ g:

${\displaystyle FV(A)\,=\,A\cdot {\frac {\left(1+i\right)^{n}-\left(1+g\right)^{n}}{i-g}}}$

Где i = g:

${\displaystyle FV(A)\,=\,A\cdot n(1+i)^{n-1}}$

Таблица формул

В следующей таблице приведены различные формулы, обычно используемые при расчете временной стоимости денег. ^[9] Эти значения часто отображаются в таблицах, где указаны процентная ставка и время.

Примечания:

• A — фиксированная сумма платежа, каждый период
• G — первоначальный размер платежа, размер которого увеличивается, начиная с G и увеличиваясь на G за каждый последующий период.
• D — это первоначальная сумма платежа, экспоненциально (геометрически) увеличивающаяся сумма платежа, которая начинается с D и увеличивается в (1+ g ) раз каждый последующий период.

Производные

Вывод аннуитета

Формула для расчета текущей стоимости регулярного потока будущих платежей (аннуитета) выводится из суммы формулы для расчета будущей стоимости одного будущего платежа, как показано ниже, где C — сумма платежа, а n — период.

Единовременный платеж C в будущем времени m имеет следующую будущую стоимость в будущем времени n :

${\displaystyle FV\ =C(1+i)^{n-m}}$

Суммируем все платежи с момента 1 до момента n, затем обращаем t

${\displaystyle FVA\ =\sum _{m=1}^{n}C(1+i)^{n-m}\ =\sum _{k=0}^{n-1}C(1+i)^{k}}$

Обратите внимание, что это геометрическая прогрессия , с начальным значением a = C , мультипликативный множитель равен 1 + i , с n членами. Применяя формулу для геометрической прогрессии, получаем

${\displaystyle FVA\ ={\frac {C(1-(1+i)^{n})}{1-(1+i)}}\ ={\frac {C(1-(1+i)^{n})}{-i}}}$

Текущая стоимость аннуитета (PVA) получается путем простого деления на : ${\displaystyle (1+i)^{n}}$

${\displaystyle PVA\ ={\frac {FVA}{(1+i)^{n}}}={\frac {C}{i}}\left(1-{\frac {1}{(1+i)^{n}}}\right)}$

Другой простой и интуитивно понятный способ вывести будущую стоимость аннуитета — рассмотреть эндаумент, проценты по которому выплачиваются как аннуитет, а основная сумма остается постоянной. Основная сумма этого гипотетического эндаумента может быть вычислена как та, проценты по которой равны сумме аннуитетного платежа:

${\displaystyle {\text{Principal}}\times i=C}$

${\displaystyle {\text{Principal}}={\frac {C}{i}}+{\text{goal}}}$

Обратите внимание, что никакие деньги не поступают и не покидают объединенную систему основного капитала вклада + накопленных аннуитетных платежей, и, таким образом, будущая стоимость этой системы может быть вычислена просто с помощью формулы будущей стоимости:

${\displaystyle FV=PV(1+i)^{n}}$

Первоначально, до каких-либо платежей, текущая стоимость системы — это просто капитал эндаумента, . В конце будущая стоимость — это капитал эндаумента (который тот же) плюс будущая стоимость всех аннуитетных платежей ( ). Подставим это обратно в уравнение: ${\displaystyle PV={\frac {C}{i}}}$ ${\displaystyle FV={\frac {C}{i}}+FVA}$

${\displaystyle {\frac {C}{i}}+FVA={\frac {C}{i}}(1+i)^{n}}$

${\displaystyle FVA={\frac {C}{i}}\left[\left(1+i\right)^{n}-1\right]}$

Вывод бессрочной ренты

Не показывая здесь формального вывода, формула бессрочной ренты выводится из формулы аннуитета. В частности, термин:

${\displaystyle \left({1-{1 \over {(1+i)^{n}}}}\right)}$

можно увидеть, что он приближается к значению 1 по мере увеличения n . На бесконечности он равен 1, оставляя единственный оставшийся член. ${\displaystyle {C \over i}}$

Непрерывное начисление процентов

Ставки иногда преобразуются в эквивалент непрерывной сложной процентной ставки, поскольку непрерывный эквивалент более удобен (например, его легче дифференцировать). Каждая из приведенных выше формул может быть пересчитана в их непрерывных эквивалентах. Например, текущая стоимость в момент времени 0 будущего платежа в момент времени t может быть пересчитана следующим образом, где e — основание натурального логарифма , а r — непрерывно начисляемая сложная ставка:

${\displaystyle {\text{PV}}={\text{FV}}\cdot e^{-rt}}$

Это можно обобщить для ставок дисконтирования, которые меняются со временем: вместо постоянной ставки дисконтирования r используется функция времени r ( t ). В этом случае коэффициент дисконтирования, а значит и текущая стоимость денежного потока в момент времени T, определяется интегралом непрерывно начисляемой ставки r ( t ):

${\displaystyle {\text{PV}}={\text{FV}}\cdot \exp \left(-\int _{0}^{T}r(t)\,dt\right)}$

Действительно, ключевой причиной использования непрерывного начисления процентов является упрощение анализа различных ставок дисконтирования и возможность использования инструментов исчисления. Кроме того, для процентов, начисленных и капитализированных в течение ночи (следовательно, начисляемых ежедневно), непрерывное начисление процентов является близким приближением к фактическому ежедневному начислению процентов. Более сложный анализ включает использование дифференциальных уравнений, как подробно описано ниже.

Примеры

Использование непрерывного начисления процентов дает следующие формулы для различных инструментов:

Аннуитет

${\displaystyle \ PV\ =\ {A(1-e^{-rt}) \over e^{r}-1}}$

Бессрочность

${\displaystyle \ PV\ =\ {A \over e^{r}-1}}$

Растущий аннуитет

${\displaystyle \ PV\ =\ {Ae^{-g}(1-e^{-(r-g)t}) \over e^{(r-g)}-1}}$

Растущая бессрочность

${\displaystyle \ PV\ =\ {Ae^{-g} \over e^{(r-g)}-1}}$

Аннуитет с непрерывными платежами

${\displaystyle \ PV\ =\ {1-e^{(-rt)} \over r}}$

Эти формулы предполагают, что платеж A производится в первый платежный период, а аннуитет заканчивается в момент времени t. ^[10]

Дифференциальные уравнения

Обыкновенные и частные дифференциальные уравнения (ODE и PDE)  —  уравнения, включающие производные и одну (соответственно, несколько) переменных, повсеместно встречаются в более продвинутых трактовках финансовой математики . Хотя временную стоимость денег можно понять, не используя структуру дифференциальных уравнений, дополнительная сложность проливает дополнительный свет на временную стоимость и обеспечивает простое введение перед рассмотрением более сложных и менее знакомых ситуаций. Это изложение следует (Carr & Flesaker 2006, стр. 6–7).

Фундаментальное изменение, которое вносит перспектива дифференциального уравнения, заключается в том, что вместо вычисления числа ( текущего значения сейчас ), вычисляется функция ( текущее значение сейчас или в любой момент в будущем ). Затем эту функцию можно проанализировать  —  как ее значение меняется со временем?  —  или сравнить с другими функциями.

Формально утверждение о том, что «значение уменьшается со временем», дается путем определения линейного дифференциального оператора как: ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}:=-\partial _{t}+r(t).}$

Это означает, что значение уменьшается (−) с течением времени (∂ _t ) по ставке дисконтирования ( r ( t )). Применительно к функции это дает:

${\displaystyle {\mathcal {L}}f=-\partial _{t}f(t)+r(t)f(t).}$

Для инструмента, поток платежей которого описывается f ( t ), значение V ( t ) удовлетворяет неоднородному ОДУ первого порядка («неоднородный» означает, что есть f, а не 0, а «первого порядка» означает, что есть первые производные, но нет производных более высокого порядка) — это кодирует тот факт, что при возникновении любого денежного потока стоимость инструмента изменяется на величину денежного потока (если вы получаете купон на 10 фунтов стерлингов, оставшаяся стоимость уменьшается ровно на 10 фунтов стерлингов). ${\displaystyle {\mathcal {L}}V=f}$  

Стандартный инструмент техники в анализе ОДУ — это функции Грина , из которых можно построить другие решения. С точки зрения временной стоимости денег функция Грина (для ОДУ временной стоимости) — это стоимость облигации, приносящей £1 в один момент времени u  —  стоимость любого другого потока денежных потоков может быть получена путем взятия комбинаций этого базового денежного потока. В математических терминах этот мгновенный денежный поток моделируется как дельта-функция Дирака ${\displaystyle \delta _{u}(t):=\delta (t-u).}$

Функция Грина для стоимости денежного потока в размере 1 фунта стерлингов в момент времени u равна

${\displaystyle b(t;u):=H(u-t)\cdot \exp \left(-\int _{t}^{u}r(v)\,dv\right)}$

где H — ступенчатая функция Хевисайда — обозначение « » подчеркивает, что u — параметр (фиксированный в любом случае — время, когда произойдет денежный поток), а t — переменная (время). Другими словами, будущие денежные потоки экспоненциально дисконтируются (exp) суммой (интегралом, ) будущих ставок дисконтирования ( для будущего, r ( v ) для ставок дисконтирования), в то время как прошлые денежные потоки стоят 0 ( ), потому что они уже произошли. Обратите внимание, что значение в момент денежного потока не является четко определенным — в этой точке есть разрыв, и можно использовать соглашение (предположить, что денежные потоки уже произошли или еще не произошли) или просто не определять значение в этой точке. ${\displaystyle ;u}$   ${\displaystyle \textstyle {\int }}$ ${\displaystyle \textstyle {\int _{t}^{u}}}$ ${\displaystyle H(u-t)=1{\text{ if }}t<u,0{\text{ if }}t>u}$  

В случае, если ставка дисконтирования постоянна, это упрощается до ${\displaystyle r(v)\equiv r,}$

${\displaystyle b(t;u)=H(u-t)\cdot e^{-(u-t)r}={\begin{cases}e^{-(u-t)r}&t<u\\0&t>u,\end{cases}}}$

где «время, оставшееся до поступления денежных средств». ${\displaystyle (u-t)}$

Таким образом, для потока денежных потоков f ( u ), заканчивающегося к моменту времени T (который может быть установлен без временного горизонта), значение в момент времени t определяется путем объединения значений этих отдельных денежных потоков: ${\displaystyle T=+\infty }$ ${\displaystyle V(t;T)}$

${\displaystyle V(t;T)=\int _{t}^{T}f(u)b(t;u)\,du.}$

Это формализует временную стоимость денег в будущих значениях денежных потоков с различными ставками дисконтирования и является основой многих формул в финансовой математике, таких как формула Блэка-Шоулза с различными процентными ставками .

Смотрите также

• Денежный портал

• Актуарная наука

• Дисконтированный денежный поток

• Рост доходов

• Экспоненциальный рост

• Финансовый менеджмент

• Гиперболическое дисконтирование

• Внутренняя норма прибыли

• Чистая текущая стоимость

• Значение времени опциона

• Реальная и номинальная стоимость (экономика)

• Возврат вложенного времени

• Эффект снежного кома

Примечания

1. Gitman & Zutter (2013). Принципы управленческих финансов (13-е изд.). Pearson Education Limited. стр. 213. ISBN 978-0-273-77986-5.
2. "Маккот 3а". www.sefaria.org .
3. Картер, Шона (3 декабря 2003 г.). «Понимание временной стоимости денег».
4. Сотрудники Investopedia (25 ноября 2003 г.). «Текущая стоимость — PV».
5. Сотрудники Investopedia (24 ноября 2003 г.). «Вечность».
6. Сотрудники Investopedia (23 ноября 2003 г.). «Будущая стоимость — FV».
7. Хови, М. (2005). Моделирование электронных таблиц для финансов. Френчс Форест, Новый Южный Уэльс: Pearson Education Australia.
8. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html Геометрическая прогрессия
9. "Экзамен NCEES FE".
10. "Аннуитеты и бессрочные ренты с непрерывным начислением процентов". 11 октября 2012 г.

Ссылки

• Карр, Питер; Флесакер, Бьорн (2006), Надежная репликация дефолтных условных исков (слайды презентации) (PDF) , Bloomberg LP , архивировано из оригинала (PDF) 2009-02-27. См. также аудиопрезентацию и статью. {{citation}}: Внешняя ссылка в |postscript=( помощь )CS1 maint: postscript (link)
• Crosson, SV, and Needles, BE (2008). Управленческий учет (8-е изд.). Бостон: Houghton Mifflin Company.

Внешние ссылки

• Электронная книга «Временная стоимость денег»