Топологическое свойство

Математическое свойство пространства

В топологии и смежных областях математики топологическое свойство или топологический инвариант — это свойство топологического пространства , инвариантное относительно гомеоморфизмов . Альтернативно, топологическое свойство — это собственный класс топологических пространств, замкнутый относительно гомеоморфизмов. То есть свойство пространств является топологическим свойством, если всякий раз, когда пространство X обладает этим свойством, каждое пространство, гомеоморфное X , обладает этим свойством. Неформально топологическое свойство — это свойство пространства, которое можно выразить с помощью открытых множеств .

Общая проблема топологии — решить, являются ли два топологических пространства гомеоморфными или нет. Чтобы доказать, что два пространства не гомеоморфны, достаточно найти топологическое свойство, которое им не присуще.

Свойства топологических свойств

Недвижимость – это: ${\displaystyle P}$

• Наследственный , если для каждого топологического пространства и подмножества подпространство обладает свойством ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle \left(S,{\mathcal {T}}|_{S}\right)}$ ${\displaystyle P.}$
• Слабо наследственно , если для любого топологического пространства и замкнутого подмножества подпространство обладает свойством ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle \left(S,{\mathcal {T}}|_{S}\right)}$ ${\displaystyle P.}$

Общие топологические свойства

Кардинальные функции

• Мощность пространства . _ ${\displaystyle \vert X\vert }$ ${\displaystyle X}$
• Мощность топологии (множества открытых подмножеств) пространства . ${\displaystyle \vert \tau (X)\vert }$ ${\displaystyle X}$
• Вес , наименьшая мощность базиса топологии пространства . ${\displaystyle w(X)}$ ${\displaystyle X}$
• Плотность , наименьшая мощность подмножества, замыкание которого равно . ${\displaystyle d(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Разделение

Обратите внимание, что некоторые из этих терминов определяются по-разному в старой математической литературе; см. историю аксиом разделения .

• Т ₀ или Колмогоров . Пространство называется Колмогоровским, если для каждой пары различных точек x и y в пространстве существует по крайней мере либо открытое множество, содержащее x , но не y , либо открытое множество, содержащее y , но не y .
• Т ₁ или Фреше . Пространство называется Фреше , если для каждой пары различных точек x и y в пространстве существует открытое множество, содержащее x , но не y . (Сравните с T ₀ ; здесь нам разрешено указать, какая точка будет содержаться в открытом множестве.) Эквивалентно, пространство является T ₁ , если все его одиночные элементы закрыты. Пространства T ₁ всегда являются T ₀ .
• Трезвый . Пространство называется трезвым , если каждое неприводимое замкнутое множество C имеет единственную точку общего положения p . Другими словами, если C не является (возможно, непересекающимся) объединением двух меньших замкнутых непустых подмножеств, то существует p такое , что замыкание { p } равно C , и p — единственная точка с этим свойством.
• Т ₂ или Хаусдорф . Пространство называется Хаусдорфовым , если каждые две различные точки имеют непересекающиеся окрестности. Пространства T ₂ всегда являются T ₁ .
• Т _2½ или Урысон . Пространство называется Урысоном , если каждые две различные точки имеют непересекающиеся замкнутые окрестности. Пространства T _2½ всегда являются T ₂ .
• Полностью Т ₂ или полностью Хаусдорф . Пространство полностью T2 _, если каждые две различные точки разделены функцией . Всякое вполне хаусдорфово пространство есть Урысон.
• Обычный . Пространство является регулярным , если всякий раз, когда C — замкнутое множество, а p — точка, не принадлежащая C , то C и p имеют непересекающиеся окрестности.
• Т ₃ или обычный Хаусдорф . Пространство называется регулярным по Хаусдорфу , если оно является регулярным пространством _T0 . (Регулярное пространство является Хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно есть T ₀ , поэтому терминология согласована .)
• Совершенно регулярно . Пространство является полностью регулярным, если всякий раз, когда C — замкнутое множество, а p — точка, не принадлежащая C , то C и { p } разделяются функцией .
• Т _3½ , Тихонов , Вполне правильный Хаусдорф или Вполне Т ₃ . Тихоновское пространство — это вполне регулярное пространство T ₀ . (Вполне регулярное пространство является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно есть T ₀ , поэтому терминология непротиворечива.) Тихоновские пространства всегда регулярны по Хаусдорфу.
• Нормальный . Пространство является нормальным , если любые два непересекающихся замкнутых множества имеют непересекающиеся окрестности. Нормальные пространства допускают разбиения единицы .
• Т ₄ или Нормальный Хаусдорф . Нормальное пространство является Хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно есть T ₁ . Нормальные хаусдорфовы пространства всегда тихоновские.
• Совершенно нормально . Пространство является совершенно нормальным , если любые два разделенных множества имеют непересекающиеся окрестности.
• Т ₅ или Совершенно нормальный Хаусдорф . Вполне нормальное пространство является Хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно есть T ₁ . Вполне нормальные хаусдорфовы пространства всегда являются нормальными хаусдорфовыми пространствами.
• Совершенно нормально . Пространство является совершенно нормальным , если любые два непересекающихся замкнутых множества точно разделены функцией . Совершенно нормальное пространство должно быть и совершенно нормальным.
• Т ₆ или Совершенно нормальный Хаусдорф , или совершенно Т ₄ . Пространство является совершенно нормальным по Хаусдорфу , если оно одновременно совершенно нормально и T ₁ . Совершенно нормальное хаусдорфово пространство должно быть также и совершенно нормальным Хаусдорфом.
• Дискретное пространство . Пространство дискретно , если все его точки полностью изолированы, т. е. если какое-либо подмножество открыто.
• Количество изолированных точек . Число изолированных точек топологического пространства.

Условия счетности

• Сепарабельный . Пространство называется сепарабельным, если оно имеет счетное плотное подмножество.
• Первое счетное . Пространство является первичным счетным, если каждая точка имеет счетную локальную базу.
• Второе счетное . Пространство вторично счетно, если оно имеет счетную базу своей топологии. Пространства со второй счетностью всегда сепарабельны, счетны и Линделёфа.

Связность

• Связанный . Пространство связно , если оно не является объединением пары непересекающихся непустых открытых множеств. Эквивалентно, пространство связно, если единственными замкнуто-замкнутыми множествами являются пустое множество и оно само.
• Подключено локально . Пространство называется локально связным, если каждая точка имеет локальную базу, состоящую из связных множеств.
• Полностью отключен . Пространство полностью несвязно, если оно не имеет связного подмножества с более чем одной точкой.
• Связано по пути . Пространство X является линейно связным, если для каждых двух точек x , y в X существует путь p от x до y , т. е. непрерывное отображение p : [0,1] →  X с p (0) = x и п (1) знак равно у . Пространства, связанные путями, всегда связаны.
• Локально подключен по пути . Пространство называется локально линейно связным, если каждая точка имеет локальную базу, состоящую из линейно связных множеств. Пространство, локально связное по путям, связно тогда и только тогда, когда оно связно по путям.
• С дуговым соединением . Пространство X является дугосвязным, если для каждых двух точек x , y в X существует дуга f от x до y , т. е. инъективное непрерывное отображение с и . Пространства, связанные дугами, связаны путями. ${\displaystyle f\colon [0,1]\to X}$ ${\displaystyle p(0)=x}$ ${\displaystyle p(1)=y}$
• Просто подключен . Пространство X односвязно , если оно линейно связно и всякое непрерывное отображение гомотопно постоянному отображению. ${\displaystyle f\colon S^{1}\to X}$
• Локально просто подключен . Пространство X локально односвязно , если каждая точка x в X имеет односвязную локальную базу окрестностей U.
• Полулокально односвязный . Пространство X полулокально односвязно, если каждая точка имеет локальную базу окрестностей U такую, что каждая петля в U стягиваема в X . Полулокальная простая связность — строго более слабое условие, чем локальная простая связность, — необходимое условие существования универсального покрытия .
• Сжимаемый . Пространство X сжимаемо, если тождественное отображение на X гомотопно постоянному отображению. Стягиваемые пространства всегда односвязны.
• Гиперподключен . Пространство называется гиперсвязным, если никакие два непустых открытых множества не пересекаются. Каждое гиперсвязное пространство связно.
• Ультрасвязный . Пространство называется ультрасвязным, если никакие два непустых замкнутых множества не пересекаются. Каждое ультрасвязное пространство связно по путям.
• Недискретный или тривиальный . Пространство является недискретным, если единственными открытыми множествами являются пустое множество и оно само. Говорят, что такое пространство имеет тривиальную топологию .

Компактность

• Компактный . Пространство называется компактным, если каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие . Некоторые авторы называют эти пространства квазикомпактными и резервными компактами для хаусдорфовых пространств, в которых каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие. Компактные пространства всегда линделефовы и паракомпактны. Таким образом, компактные хаусдорфовы пространства нормальны.
• Последовательно компактный . Пространство называется секвенциально компактным, если каждая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность.
• Счетная компактность . Пространство называется счетно компактным, если каждое счетное открытое покрытие имеет конечное подпокрытие.
• Псевдокомпакт . Пространство называется псевдокомпактным , если каждая непрерывная вещественная функция в нем ограничена.
• σ-компактный . Пространство называется σ-компактным, если оно представляет собой объединение счетного числа компактных подмножеств.
• Линделёф . Пространство называется линделёфовым, если каждое открытое покрытие имеет счетное подпокрытие.
• Паракомпакт . Пространство называется паракомпактным, если каждое открытое покрытие имеет открытое локально конечное уточнение. Паракомпакты Хаусдорфа являются нормальными.
• Локально компактный . Пространство называется локально компактным, если каждая точка имеет локальную базу, состоящую из компактных окрестностей. Используются также несколько иные определения. Локально компактные хаусдорфовы пространства всегда тихоновы.
• Ультраподключенный компактный . В ультрасвязном компакте X каждое открытое покрытие должно содержать само X. Непустые ультрасвязные компакты имеют наибольшее собственное открытое подмножество, называемое монолитом .

метризуемость

• Метризуемый . Пространство называется метризуемым, если оно гомеоморфно метрическому пространству . Метризуемые пространства всегда хаусдорфовы, паракомпактны (а значит, нормальны и тихоновы) и впервые счетны. При этом топологическое пространство называется метризуемым, если существует метрика для такая, что метрическая топология идентична топологии ${\displaystyle (X,T)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T(d)}$ ${\displaystyle T.}$
• Польский . Пространство называется польским, если оно метризуемо с сепарабельной и полной метрикой.
• Локально метризуемо . Пространство называется локально метризуемым, если каждая точка имеет метризуемую окрестность.

Разнообразный

• Пространство Бэра . Пространство X является пространством Бэра , если оно само по себе не скудно . Эквивалентно, X является пространством Бэра, если пересечение счетного числа плотных открытых множеств плотно.
• Дверное пространство . Топологическое пространство — это дверное пространство , если каждое подмножество открыто или закрыто (или и то, и другое).
• Топологическая однородность . Пространство X является (топологически) однородным , если для каждых x и y в X существует такой гомеоморфизм , что интуитивно говоря, это означает, что пространство выглядит одинаково в каждой точке. Все топологические группы однородны. ${\displaystyle f\colon X\to X}$ ${\displaystyle f(x)=y.}$
• Конечно порожденный или Александров . Пространство X называется Александровым , если произвольные пересечения открытых множеств в X открыты или, что то же самое, если произвольные объединения замкнутых множеств замкнуты. Это именно конечно порожденные члены категории топологических пространств и непрерывных отображений.
• Нульмерный . Пространство нульмерно, если оно имеет базу из открытозамкнутых множеств. Это именно пространства с малой индуктивной размерностью 0 .
• Почти дискретный . Пространство почти дискретно, если каждое открытое множество замкнуто (следовательно, открыто-замкнуто). Почти дискретные пространства — это в точности конечно порожденные нульмерные пространства.
• Логическое значение . Пространство является булевым, если оно нульмерное, компактное и хаусдорфово (т. е. полностью несвязное, компактное и хаусдорфово). Это именно те пространства, которые гомеоморфны пространствам Стоуна булевых алгебр .
• кручение Райдемейстера
• ${\displaystyle \kappa }$- разрешимый . Пространство называется κ-разрешимым ^[1] (соответственно: почти κ-разрешимым), если оно содержит κ плотных множеств, попарно непересекающихся (соответственно: почти непересекающихся над идеалом нигде не плотных подмножеств). Если пространство неразрешимо, то оно называется неразрешимым. ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$
• Максимально решаемый . Пространство максимально разрешимо, если оно -разрешимо, где числом называется дисперсионный характер ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Delta (X)}$ ${\displaystyle \Delta (X)=\min\{|G|:G\neq \varnothing ,G{\mbox{ is open}}\}.}$ ${\displaystyle \Delta (X)}$ ${\displaystyle X.}$
• Сильно дискретный . Множество является сильно дискретным подмножеством пространства, если точки в нем могут быть разделены попарно непересекающимися окрестностями. Пространство называется сильно дискретным, если каждая его неизолированная точка является точкой накопления некоторого сильно дискретного множества. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Нетопологические свойства

Существует множество примеров свойств метрических пространств и т. д., которые не являются топологическими свойствами. Чтобы показать, что свойство не является топологическим, достаточно найти два гомеоморфных топологических пространства , таких, что имеет , но не имеет . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X\cong Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle P}$

Например, свойства ограниченности и полноты метрического пространства не являются топологическими свойствами. Пусть и – метрические пространства со стандартной метрикой. Тогда по гомеоморфизму . Однако полно, но не ограничено, а ограничено, но не полно. ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y=(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}})}$ ${\displaystyle X\cong Y}$ ${\displaystyle \operatorname {arctan} \colon X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Смотрите также

• Характеристический класс  - ассоциация классов когомологий с основными расслоениями.
• Характеристические числа  - ассоциация классов когомологий с главными расслоениями.Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Класс Черна  - Характеристические классы векторных расслоений
• Эйлерова характеристика  - Топологический инвариант в математике
• Свойство фиксированной точки  – Математическое свойство
• Гомологии и когомологии
• Гомотопическая группа и когомотопическая группа
• Инвариант узла  - функция узла, которая принимает одно и то же значение для эквивалентных узлов.
• Число связи  - числовой инвариант, описывающий соединение двух замкнутых кривых в трехмерном пространстве.
• Список топологий  - Список конкретных топологий и топологических пространств.
• Квантовый инвариант  - концепция математической теории узлов.
• Топологическое квантовое число  - физические величины, которые принимают дискретные значения из-за топологических квантово-физических эффектов.
• Число витков  — количество раз, когда кривая оборачивается вокруг точки на плоскости.

Цитаты

1. Юхас, Иштван; Соукуп, Лайош; Сентмиклосси, Золтан (2008). «Разрешимость и монотонная нормальность». Израильский математический журнал . 166 (1): 1–16. arXiv : math/0609092 . дои : 10.1007/s11856-008-1017-y . ISSN  0021-2172. S2CID  14743623.

Рекомендации

• Уиллард, Стивен (1970). Общая топология. Ридинг, Массачусетс: Паб Addison-Wesley. Компания р. 369. ИСБН 9780486434797.
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология . Прентис-Холл . ISBN 0-13-181629-2.

[2] Саймон Мулиерас, Мацей Левенштейн и Грасиана Пуэнтес, Инженерия запутанности и топологическая защита с помощью квантовых блужданий в дискретном времени, Журнал физики B: атомная, молекулярная и оптическая физика 46 (10), 104005 (2013). https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0953-4075/46/10/104005/pdf