Уравнение Торричелли

В физике уравнение Торричелли , или формула Торричелли , — это уравнение, созданное Евангелистой Торричелли для нахождения конечной скорости движущегося объекта с постоянным ускорением вдоль оси (например, оси x) без известного интервала времени.

Само уравнение: ^[1]

${\displaystyle v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2a\Delta x\,}$

где

• ${\displaystyle v_{f}}$- конечная скорость объекта вдоль оси x, по которой ускорение постоянно.
• ${\displaystyle v_{i}}$— начальная скорость объекта вдоль оси x.
• ${\displaystyle a}$- ускорение объекта вдоль оси x, которое задается как константа.
• ${\displaystyle \Delta x\,}$— это изменение положения объекта вдоль оси X, также называемое смещением .

В этом и всех последующих уравнениях в этой статье нижний индекс (как в ) подразумевается, но не выражается явно для ясности представления уравнений. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {v_{f}}_{x}}$

Это уравнение справедливо вдоль любой оси, по которой ускорение постоянно.

Вывод

Без дифференциалов и интегрирования

Начнем с определения ускорения:

${\displaystyle a={\frac {v_{f}-v_{i}}{\Delta t}}}$

где интервал времени. Это верно, потому что ускорение постоянно. Левая часть — это постоянное значение ускорения, а правая — среднее ускорение . Поскольку среднее значение константы должно быть равно значению константы, мы имеем это равенство. Если бы ускорение не было постоянным, это было бы неверно. ${\textstyle \Delta t}$

Теперь определите конечную скорость:

${\displaystyle v_{f}=v_{i}+a\Delta t\,\!}$

Возведите обе стороны в квадрат, чтобы получить:

Этот термин также появляется в другом уравнении, справедливом для движения с постоянным ускорением: уравнении конечного положения объекта, движущегося с постоянным ускорением, и его можно выделить: ${\displaystyle (\Delta t)^{2}\,\!}$

${\displaystyle x_{f}=x_{i}+v_{i}\Delta t+a{\frac {(\Delta t)^{2}}{2}}}$

${\displaystyle x_{f}-x_{i}-v_{i}\Delta t=a{\frac {(\Delta t)^{2}}{2}}}$

Подстановка ( 2 ) в исходное уравнение ( 1 ) дает:

${\displaystyle v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2av_{i}\Delta t+a^{2}\left(2{\frac {\Delta x-v_{i}\Delta t}{a}}\right)}$

${\displaystyle v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2av_{i}\Delta t+2a(\Delta x-v_{i}\Delta t)}$

${\displaystyle v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2av_{i}\Delta t+2a\Delta x-2av_{i}\Delta t\,\!}$

${\displaystyle v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2a\Delta x\,\!}$

Использование дифференциалов и интегрирования

Начнем с определения ускорения как производной скорости:

${\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}}$

Теперь умножим обе части на скорость : ${\textstyle v}$

${\displaystyle v\cdot a=v\cdot {\frac {dv}{dt}}}$

В левой части мы можем переписать скорость как производную положения:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}\cdot a=v\cdot {\frac {dv}{dt}}}$

Умножив обе части на, получим следующее: ${\textstyle dt}$

${\displaystyle dx\cdot a=v\cdot dv}$

Перестановка терминов более традиционным способом:

${\displaystyle a\,dx=v\,dv}$

Интегрирование обеих сторон от начального момента с положением и скоростью до конечного момента с положением и скоростью : ${\textstyle x_{i}}$ ${\textstyle v_{i}}$ ${\textstyle x_{f}}$ ${\textstyle v_{f}}$

${\displaystyle \int _{x_{i}}^{x_{f}}{a}\,dx=\int _{v_{i}}^{v_{f}}v\,dv}$

Поскольку ускорение постоянно, мы можем исключить его из интегрирования:

${\displaystyle {a}\int _{x_{i}}^{x_{f}}dx=\int _{v_{i}}^{v_{f}}v\,dv}$

Решение интеграции:

${\displaystyle {a}{\bigg [}x{\bigg ]}_{x=x_{i}}^{x=x_{f}}=\left[{\frac {v^{2}}{2}}\right]_{v=v_{i}}^{v=v_{f}}}$

${\displaystyle {a}\left(x_{f}-x_{i}\right)={\frac {v_{f}^{2}}{2}}-{\frac {v_{i}^{2}}{2}}}$

Фактором является смещение : ${\textstyle x_{f}-x_{i}}$ ${\textstyle \Delta x}$

${\displaystyle a\Delta x={\frac {1}{2}}\left(v_{f}^{2}-v_{i}^{2}\right)}$

${\displaystyle 2a\Delta x=v_{f}^{2}-v_{i}^{2}}$

${\displaystyle v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2a\Delta x}$

Из теоремы о работе энергии

Теорема о работе работы утверждает, что

${\displaystyle \Delta E_{K}=W}$

${\displaystyle {\frac {m}{2}}\left(v_{f}^{2}-v_{i}^{2}\right)=F\Delta x}$

что, согласно второму закону движения Ньютона , становится

${\displaystyle {\frac {m}{2}}\left(v_{f}^{2}-v_{i}^{2}\right)=ma\Delta x}$

${\displaystyle v_{f}^{2}-v_{i}^{2}=2a\Delta x}$

${\displaystyle v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2a\Delta x}$

Смотрите также

• Уравнение движения

Рекомендации

1. Леандро Бертольдо (2008). Fundamentos do Dinamismo (на португальском языке). Жуанвиль : Clube de Autores . стр. 41–42.

Внешние ссылки

• Теорема Торричелли