Переходное ядро

В математике вероятности переходное ядро ​​или ядро ​​— это функция в математике, которая имеет различные приложения. Ядра могут, например, использоваться для определения случайных мер или стохастических процессов . Наиболее важным примером ядер являются ядра Маркова .

Определение

Пусть , — два измеримых пространства . Функция ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle (T,{\mathcal {T}})}$

${\displaystyle \kappa \colon S\times {\mathcal {T}}\to [0,+\infty ]}$

называется (переходным) ядром из в , если выполняются следующие два условия: ^[1] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

• Для любого фиксированного отображение ${\displaystyle B\in {\mathcal {T}}}$

${\displaystyle s\mapsto \kappa (s,B)}$

- измерим ;​ ${\displaystyle {\mathcal {S}}/{\mathcal {B}}([0,+\infty ])}$

• Для каждого фиксированного отображение ${\displaystyle s\in S}$

${\displaystyle B\mapsto \kappa (s,B)}$

является мерой по . ${\displaystyle (T,{\mathcal {T}})}$

Классификация переходных ядер

Ядра перехода обычно классифицируются по мерам, которые они определяют. Эти меры определяются как

${\displaystyle \kappa _{s}\colon {\mathcal {T}}\to [0,+\infty ]}$

с

${\displaystyle \kappa _{s}(B)=\kappa (s,B)}$

для всех и всех . При такой записи ядро ​​называется ^{[1] [2]} ${\displaystyle B\in {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle \kappa }$

• субстохастическое ядро , субвероятностное ядро ​​или субмарковское ядро, если все они являются субвероятностными мерами ${\displaystyle \kappa _{s}}$
• ядро Маркова , стохастическое ядро ​​или вероятностное ядро, если все они являются вероятностными мерами ${\displaystyle \kappa _{s}}$
• конечное ядро , если все являются конечными мерами ${\displaystyle \kappa _{s}}$
• -конечное ядро , если все являются -конечными мерами ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \kappa _{s}}$ ${\displaystyle \sigma }$
• s -конечное ядро, если все являются -конечными мерами , то есть это ядро, которое можно записать как счетную сумму конечных ядер ${\displaystyle \kappa _{s}}$ ${\displaystyle s}$
• равномерно -конечное ядро , ${\displaystyle \sigma }$ если существует не более счетного числа измеримых множеств с для всех и всех . ${\displaystyle B_{1},B_{2},\dots }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \kappa _{s}(B_{i})<\infty }$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$

Операции

В этом разделе пусть , и будут измеримыми пространствами и обозначим произведение σ- алгебры и с ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle (T,{\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle (U,{\mathcal {U}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\otimes {\mathcal {T}}}$

Продукт из ядер

Определение

Пусть будет s-конечным ядром из в и будет s-конечным ядром из в . Тогда произведение двух ядер определяется как ^{[3] [4]} ${\displaystyle \kappa ^{1}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \kappa ^{2}}$ ${\displaystyle S\times T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \kappa ^{1}\otimes \kappa ^{2}}$

${\displaystyle \kappa ^{1}\otimes \kappa ^{2}\colon S\times ({\mathcal {T}}\otimes {\mathcal {U}})\to [0,\infty ]}$

${\displaystyle \kappa ^{1}\otimes \kappa ^{2}(s,A)=\int _{T}\kappa ^{1}(s,\mathrm {d} t)\int _{U}\kappa ^{2}((s,t),\mathrm {d} u)\mathbf {1} _{A}(t,u)}$

для всех . ${\displaystyle A\in {\mathcal {T}}\otimes {\mathcal {U}}}$

Свойства и комментарии

Произведение двух ядер является ядром от до . Это снова s-конечное ядро ​​и -конечное ядро, если и -конечные ядра. Произведение ядер также ассоциативно , то есть оно удовлетворяет ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T\times U}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \kappa ^{1}}$ ${\displaystyle \kappa ^{2}}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle (\kappa ^{1}\otimes \kappa ^{2})\otimes \kappa ^{3}=\kappa ^{1}\otimes (\kappa ^{2}\otimes \kappa ^{3})}$

для любых трех подходящих s-конечных ядер . ${\displaystyle \kappa ^{1},\kappa ^{2},\kappa ^{3}}$

Продукт также хорошо определен, если является ядром от до . В этом случае он рассматривается как ядро ​​от до , которое не зависит от . Это эквивалентно установке ${\displaystyle \kappa ^{2}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S\times T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \kappa ((s,t),A):=\kappa (t,A)}$

для всех и вся . ^{[4] [3]} ${\displaystyle A\in {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle s\in S}$

Состав ядер

Определение

Пусть будет s-конечное ядро ​​из в и s-конечное ядро ​​из в . Тогда композиция двух ядер определяется как ^{[5] [3]} ${\displaystyle \kappa ^{1}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \kappa ^{2}}$ ${\displaystyle S\times T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \kappa ^{1}\cdot \kappa ^{2}}$

${\displaystyle \kappa ^{1}\cdot \kappa ^{2}\colon S\times {\mathcal {U}}\to [0,\infty ]}$

${\displaystyle (s,B)\mapsto \int _{T}\kappa ^{1}(s,\mathrm {d} t)\int _{U}\kappa ^{2}((s,t),\mathrm {d} u)\mathbf {1} _{B}(u)}$

для всех и вся . ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {U}}}$

Свойства и комментарии

Композиция — это ядро ​​от до , которое снова s-конечно. Композиция ядер ассоциативна , то есть удовлетворяет ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle (\kappa ^{1}\cdot \kappa ^{2})\cdot \kappa ^{3}=\kappa ^{1}\cdot (\kappa ^{2}\cdot \kappa ^{3})}$

для любых трех подходящих s-конечных ядер . Так же, как и произведение ядер, композиция также хорошо определена, если является ядром из в . ${\displaystyle \kappa ^{1},\kappa ^{2},\kappa ^{3}}$ ${\displaystyle \kappa ^{2}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U}$

Альтернативная запись для композиции: ^[3] ${\displaystyle \kappa ^{1}\kappa ^{2}}$

Ядра как операторы

Пусть — множество положительных измеримых функций на . ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{+},{\mathcal {S}}^{+}}$ ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}}),(T,{\mathcal {T}})}$

Каждое ядро ​​от до может быть связано с линейным оператором ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle A_{\kappa }\colon {\mathcal {T}}^{+}\to {\mathcal {S}}^{+}}$

дано ^[6]

${\displaystyle (A_{\kappa }f)(s)=\int _{T}\kappa (s,\mathrm {d} t)\;f(t).}$

Состав этих операторов совместим с составом ядер, то есть ^[3]

${\displaystyle A_{\kappa ^{1}}A_{\kappa ^{2}}=A_{\kappa ^{1}\cdot \kappa ^{2}}}$

Ссылки

1. Klenke, Achim (2008). Теория вероятностей . Berlin: Springer. стр. 180. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN  978-1-84800-047-6.
2. Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения . Швейцария: Springer. стр. 30. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN  978-3-319-41596-3.
3. Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения . Швейцария: Springer. стр. 33. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN  978-3-319-41596-3.
4. Klenke, Achim (2008). Теория вероятностей . Berlin: Springer. стр. 279. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN  978-1-84800-047-6.
5. Кленке, Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Springer. С. 281. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN  978-1-84800-047-6.
6. Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения . Швейцария: Springer. стр. 29–30. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN  978-3-319-41596-3.