Двумерная критическая модель Изинга

Конформная теория поля критической точки двумерной модели Изинга

Двумерная критическая модель Изинга является критическим пределом модели Изинга в двух измерениях. Это двумерная конформная теория поля , алгебра симметрии которой является алгеброй Вирасоро с центральным зарядом . Корреляционные функции операторов спина и энергии описываются минимальной моделью . Хотя минимальная модель была точно решена (см. критические показатели Изинга ), решение не охватывает другие наблюдаемые, такие как связности кластеров. ${\displaystyle c={\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle (4,3)}$

Минимальная модель

Пространство состояний и конформные измерения

Таблица Каца минимальной модели имеет вид: ${\displaystyle (4,3)}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}2&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{16}}&0\\1&0&{\frac {1}{16}}&{\frac {1}{2}}\\\hline &1&2&3\end{array}}}$

Это означает, что пространство состояний генерируется тремя первичными состояниями , которые соответствуют трем первичным полям или операторам: ^[1]

${\displaystyle {\begin{array}{cccc}\hline {\text{Kac table indices}}&{\text{Dimension}}&{\text{Primary field}}&{\text{Name}}\\\hline (1,1){\text{ or }}(3,2)&0&\mathbf {1} &{\text{Identity}}\\(2,1){\text{ or }}(2,2)&{\frac {1}{16}}&\sigma &{\text{Spin}}\\(1,2){\text{ or }}(3,1)&{\frac {1}{2}}&\epsilon &{\text{Energy}}\\\hline \end{array}}}$

Разложение пространства состояний на неприводимые представления произведения лево- и праводвижущих алгебр Вирасоро имеет вид

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {R}}_{0}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{0}\oplus {\mathcal {R}}_{\frac {1}{16}}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{\frac {1}{16}}\oplus {\mathcal {R}}_{\frac {1}{2}}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{\frac {1}{2}}}$

где — неприводимое представление алгебры Вирасоро с наибольшим весом с конформной размерностью . В частности, модель Изинга диагональна и унитарна. ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\Delta }}$ ${\displaystyle \Delta }$

Символы и функция разделения

Характеры трех представлений алгебры Вирасоро, которые появляются в пространстве состояний, следующие [ ^1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{0}(q)&={\frac {1}{\eta (q)}}\sum _{k\in \mathbb {Z} }\left(q^{\frac {(24k+1)^{2}}{48}}-q^{\frac {(24k+7)^{2}}{48}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt {\eta (q)}}}}\left({\sqrt {\theta _{3}(0|q)}}+{\sqrt {\theta _{4}(0|q)}}\right)\\\chi _{\frac {1}{16}}(q)&={\frac {1}{\eta (q)}}\sum _{k\in \mathbb {Z} }\left(q^{\frac {(24k+2)^{2}}{48}}-q^{\frac {(24k+10)^{2}}{48}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt {\eta (q)}}}}\left({\sqrt {\theta _{3}(0|q)}}-{\sqrt {\theta _{4}(0|q)}}\right)\\\chi _{\frac {1}{2}}(q)&={\frac {1}{\eta (q)}}\sum _{k\in \mathbb {Z} }\left(q^{\frac {(24k+5)^{2}}{48}}-q^{\frac {(24k+11)^{2}}{48}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\eta (q)}}}{\sqrt {\theta _{2}(0|q)}}\end{aligned}}}$

где — эта-функция Дедекинда , а — тета-функции нома , например . Модульная S-матрица , т.е. матрица такая, что , равна ^[1] ${\displaystyle \eta (q)}$ ${\displaystyle \theta _{i}(0|q)}$ ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$ ${\displaystyle \theta _{3}(0|q)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }q^{\frac {n^{2}}{2}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \chi _{i}(-{\tfrac {1}{\tau }})=\sum _{j}{\mathcal {S}}_{ij}\chi _{j}(\tau )}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\left({\begin{array}{ccc}1&1&{\sqrt {2}}\\1&1&-{\sqrt {2}}\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0\end{array}}\right)}$

где поля упорядочены как . Модульная инвариантная функция распределения имеет вид ${\displaystyle 1,\epsilon ,\sigma }$

${\displaystyle Z(q)=\left|\chi _{0}(q)\right|^{2}+\left|\chi _{\frac {1}{16}}(q)\right|^{2}+\left|\chi _{\frac {1}{2}}(q)\right|^{2}={\frac {|\theta _{2}(0|q)|+|\theta _{3}(0|q)|+|\theta _{4}(0|q)|}{2|\eta (q)|}}}$

Правила слияния и расширения продуктов оператора

Правила слияния модели следующие:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {1} \times \mathbf {1} &=\mathbf {1} \\\mathbf {1} \times \sigma &=\sigma \\\mathbf {1} \times \epsilon &=\epsilon \\\sigma \times \sigma &=\mathbf {1} +\epsilon \\\sigma \times \epsilon &=\sigma \\\epsilon \times \epsilon &=\mathbf {1} \end{aligned}}}$

Правила слияния инвариантны относительно симметрии . Константы трехточечной структуры равны ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \sigma \to -\sigma }$

${\displaystyle C_{\mathbf {1} \mathbf {1} \mathbf {1} }=C_{\mathbf {1} \epsilon \epsilon }=C_{\mathbf {1} \sigma \sigma }=1\quad ,\quad C_{\sigma \sigma \epsilon }={\frac {1}{2}}}$

Зная правила слияния и константы трехточечной структуры, можно записать операторные разложения произведений, например:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (z)\sigma (0)&=|z|^{2\Delta _{\mathbf {1} }-4\Delta _{\sigma }}C_{\mathbf {1} \sigma \sigma }{\Big (}\mathbf {1} (0)+O(z){\Big )}+|z|^{2\Delta _{\epsilon }-4\Delta _{\sigma }}C_{\sigma \sigma \epsilon }{\Big (}\epsilon (0)+O(z){\Big )}\\&=|z|^{-{\frac {1}{4}}}{\Big (}\mathbf {1} (0)+O(z){\Big )}+{\frac {1}{2}}|z|^{\frac {3}{4}}{\Big (}\epsilon (0)+O(z){\Big )}\end{aligned}}}$

где — конформные размерности первичных полей, а опущенные члены — вклады полей-потомков . ${\displaystyle \Delta _{\mathbf {1} },\Delta _{\sigma },\Delta _{\epsilon }}$ ${\displaystyle O(z)}$

Корреляционные функции на сфере

Любая одно-, двух- и трехточечная функция первичных полей определяется конформной симметрией с точностью до мультипликативной константы. Эта константа устанавливается равной единице для одно- и двухточечных функций выбором нормализаций полей. Единственными нетривиальными динамическими величинами являются трехточечные структурные константы, которые были приведены выше в контексте операторных расширений произведений.

${\displaystyle \left\langle \mathbf {1} (z_{1})\right\rangle =1\ ,\ \left\langle \sigma (z_{1})\right\rangle =0\ ,\ \left\langle \epsilon (z_{1})\right\rangle =0}$

${\displaystyle \left\langle \mathbf {1} (z_{1})\mathbf {1} (z_{2})\right\rangle =1\ ,\ \left\langle \sigma (z_{1})\sigma (z_{2})\right\rangle =|z_{12}|^{-{\frac {1}{4}}}\ ,\ \left\langle \epsilon (z_{1})\epsilon (z_{2})\right\rangle =|z_{12}|^{-2}}$

с . ${\displaystyle z_{ij}=z_{i}-z_{j}}$

${\displaystyle \langle \mathbf {1} \sigma \rangle =\langle \mathbf {1} \epsilon \rangle =\langle \sigma \epsilon \rangle =0}$

${\displaystyle \left\langle \mathbf {1} (z_{1})\mathbf {1} (z_{2})\mathbf {1} (z_{3})\right\rangle =1\ ,\ \left\langle \sigma (z_{1})\sigma (z_{2})\mathbf {1} (z_{3})\right\rangle =|z_{12}|^{-{\frac {1}{4}}}\ ,\ \left\langle \epsilon (z_{1})\epsilon (z_{2})\mathbf {1} (z_{3})\right\rangle =|z_{12}|^{-2}}$

${\displaystyle \left\langle \sigma (z_{1})\sigma (z_{2})\epsilon (z_{3})\right\rangle ={\frac {1}{2}}|z_{12}|^{\frac {3}{4}}|z_{13}|^{-1}|z_{23}|^{-1}}$

${\displaystyle \langle \mathbf {1} \mathbf {1} \sigma \rangle =\langle \mathbf {1} \mathbf {1} \epsilon \rangle =\langle \mathbf {1} \sigma \epsilon \rangle =\langle \sigma \epsilon \epsilon \rangle =\langle \sigma \sigma \sigma \rangle =\langle \epsilon \epsilon \epsilon \rangle =0}$

Три нетривиальные четырехточечные функции имеют тип . Для четырехточечной функции пусть и будут s- и t-канальными конформными блоками Вирасоро , которые соответственно соответствуют вкладам (и его потомков) в операторное разложение произведения , и (и его потомков) в операторное разложение произведения . Пусть будет перекрестным отношением. ${\displaystyle \langle \sigma ^{4}\rangle ,\langle \sigma ^{2}\epsilon ^{2}\rangle ,\langle \epsilon ^{4}\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}V_{i}(z_{i})\right\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}^{(s)}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}^{(t)}}$ ${\displaystyle V_{j}(z_{2})}$ ${\displaystyle V_{1}(z_{1})V_{2}(z_{2})}$ ${\displaystyle V_{j}(z_{4})}$ ${\displaystyle V_{1}(z_{1})V_{4}(z_{4})}$ ${\displaystyle x={\frac {z_{12}z_{34}}{z_{13}z_{24}}}}$

В случае правила слияния допускают только одно первичное поле во всех каналах, а именно поле идентификации. ^[2] ${\displaystyle \langle \epsilon ^{4}\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle \epsilon ^{4}\rangle =\left|{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}\right|^{2}=\left|{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(t)}\right|^{2}\\&{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}={\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(t)}=\left[\prod _{1\leq i<j\leq 4}z_{ij}^{-{\frac {1}{3}}}\right]{\frac {1-x+x^{2}}{x^{\frac {2}{3}}(1-x)^{\frac {2}{3}}}}\ {\underset {(z_{i})=(x,0,\infty ,1)}{=}}\ {\frac {1}{x(1-x)}}-1\end{aligned}}}$

В случае правила слияния допускают только поле идентичности в s-канале и спиновое поле в t-канале. ^[2] ${\displaystyle \langle \sigma ^{2}\epsilon ^{2}\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle \sigma ^{2}\epsilon ^{2}\rangle =\left|{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}\right|^{2}=C_{\sigma \sigma \epsilon }^{2}\left|{\mathcal {F}}_{\sigma }^{(t)}\right|^{2}={\frac {1}{4}}\left|{\mathcal {F}}_{\sigma }^{(t)}\right|^{2}\\&{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}={\frac {1}{2}}{\mathcal {F}}_{\sigma }^{(t)}=\left[z_{12}^{\frac {1}{4}}z_{34}^{-{\frac {5}{8}}}\left(z_{13}z_{24}z_{14}z_{23}\right)^{-{\frac {3}{16}}}\right]{\frac {1-{\frac {x}{2}}}{x^{\frac {3}{8}}(1-x)^{\frac {5}{16}}}}\ {\underset {(z_{i})=(x,0,\infty ,1)}{=}}\ {\frac {1-{\frac {x}{2}}}{x^{\frac {1}{8}}(1-x)^{\frac {1}{2}}}}\end{aligned}}}$

В случае правила слияния допускают два основных поля во всех каналах: поле идентичности и поле энергии. ^[2] В этом случае мы записываем конформные блоки только в случае : общий случай получается путем вставки префактора и идентификации с помощью перекрестного отношения. ${\displaystyle \langle \sigma ^{4}\rangle }$ ${\displaystyle (z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})=(x,0,\infty ,1)}$ ${\displaystyle x^{\frac {1}{24}}(1-x)^{\frac {1}{24}}\prod _{1\leq i<j\leq 4}z_{ij}^{-{\frac {1}{24}}}}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \sigma ^{4}\rangle &=\left|{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}\right|^{2}+{\frac {1}{4}}\left|{\mathcal {F}}_{\epsilon }^{(s)}\right|^{2}=\left|{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(t)}\right|^{2}+{\frac {1}{4}}\left|{\mathcal {F}}_{\epsilon }^{(t)}\right|^{2}\\&={\frac {|1+{\sqrt {x}}|+|1-{\sqrt {x}}|}{2|x|^{\frac {1}{4}}|1-x|^{\frac {1}{4}}}}\ {\underset {x\in (0,1)}{=}}\ {\frac {1}{|x|^{\frac {1}{4}}|1-x|^{\frac {1}{4}}}}\end{aligned}}}$

В случае конформные блоки следующие: ${\displaystyle \langle \sigma ^{4}\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}={\frac {\sqrt {\frac {1+{\sqrt {1-x}}}{2}}}{x^{\frac {1}{8}}(1-x)^{\frac {1}{8}}}}\ ,\;\;{\mathcal {F}}_{\epsilon }^{(s)}={\frac {\sqrt {2-2{\sqrt {1-x}}}}{x^{\frac {1}{8}}(1-x)^{\frac {1}{8}}}}\\&{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(t)}={\frac {{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}}{\sqrt {2}}}+{\frac {{\mathcal {F}}_{\epsilon }^{(s)}}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {\sqrt {\frac {1+{\sqrt {x}}}{2}}}{x^{\frac {1}{8}}(1-x)^{\frac {1}{8}}}}\ ,\;\;{\mathcal {F}}_{\epsilon }^{(t)}={\sqrt {2}}{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}-{\frac {{\mathcal {F}}_{\epsilon }^{(s)}}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2-2{\sqrt {x}}}}{x^{\frac {1}{8}}(1-x)^{\frac {1}{8}}}}\end{aligned}}}$

Из представления модели в терминах фермионов Дирака можно вычислить корреляционные функции любого числа операторов спина или энергии: ^[1]

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{2n}\epsilon (z_{i})\right\rangle ^{2}=\left|\det \left({\frac {1}{z_{ij}}}\right)_{1\leq i\neq j\leq 2n}\right|^{2}}$

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{2n}\sigma (z_{i})\right\rangle ^{2}={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{\begin{array}{c}\epsilon _{i}=\pm 1\\\sum _{i=1}^{2n}\epsilon _{i}=0\end{array}}\prod _{1\leq i<j\leq 2n}|z_{ij}|^{\frac {\epsilon _{i}\epsilon _{j}}{2}}}$

Эти формулы имеют обобщения для корреляционных функций на торе, которые включают тета-функции . ^[1]

Другие наблюдаемые

Оператор беспорядка

Двумерная модель Изинга отображается на себя посредством дуальности высокой-низкой температуры. Изображение оператора спина при этой дуальности — оператор беспорядка , который имеет те же самые левые и правые конформные измерения . Хотя оператор беспорядка не принадлежит минимальной модели, корреляционные функции, включающие оператор беспорядка, могут быть вычислены точно, например ^[1] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (\Delta _{\mu },{\bar {\Delta }}_{\mu })=(\Delta _{\sigma },{\bar {\Delta }}_{\sigma })=({\tfrac {1}{16}},{\tfrac {1}{16}})}$

${\displaystyle \left\langle \sigma (z_{1})\mu (z_{2})\sigma (z_{3})\mu (z_{4})\right\rangle ^{2}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {|z_{13}z_{24}|}{|z_{12}z_{34}z_{23}z_{14}|}}}{\Big (}|x|+|1-x|-1{\Big )}}$

тогда как

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}\mu (z_{i})\right\rangle ^{2}=\left\langle \prod _{i=1}^{4}\sigma (z_{i})\right\rangle ^{2}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {|z_{13}z_{24}|}{|z_{12}z_{34}z_{23}z_{14}|}}}{\Big (}|x|+|1-x|+1{\Big )}}$

Связи кластеров

Модель Изинга имеет описание как случайной кластерной модели, данное Фортуином и Кастелейном. В этом описании естественными наблюдаемыми являются связности кластеров, т.е. вероятности того, что ряд точек принадлежит одному кластеру. Модель Изинга тогда можно рассматривать как случай модели Поттса с -состоянием , параметр которой может непрерывно меняться и связан с центральным зарядом алгебры Вирасоро . ${\displaystyle q=2}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

В критическом пределе связности кластеров ведут себя при конформных преобразованиях так же, как корреляционные функции оператора спина. Тем не менее связности не совпадают с корреляционными функциями спина: например, трехточечная связность не исчезает, в то время как . Существует четыре независимых четырехточечных связности, и их сумма совпадает с . ^[3] Другие комбинации четырехточечных связностей аналитически неизвестны. В частности, они не связаны с корреляционными функциями минимальной модели, ^[4] хотя они связаны с пределом спиновых корреляторов в -состоянии модели Поттса. ^[3] ${\displaystyle \langle \sigma \sigma \sigma \rangle =0}$ ${\displaystyle \langle \sigma \sigma \sigma \sigma \rangle }$ ${\displaystyle q\to 2}$ ${\displaystyle q}$

Ссылки

1. П. Ди Франческо, П. Матье и Д. Сенешаль, Конформная теория поля , 1997, ISBN  0-387-94785-X
2. Ченг, Миранда CN; Ганнон, Терри; Локхарт, Гульельмо (2020-02-25). «Модульные упражнения для четырехточечных блоков — I». arXiv : 2002.11125v1 [hep-th].
3. Delfino, Gesualdo; Viti, Jacopo (2011-04-21). "Potts q-color field theory and scaling random cluster model". Nuclear Physics B . 852 (1): 149–173. arXiv : 1104.4323v2 . Bibcode :2011NuPhB.852..149D. doi :10.1016/j.nuclphysb.2011.06.012. S2CID  119183802.
4. Дельфино, Джезуальдо; Вити, Якопо (2010-09-07). «О трехточечной связности в двумерной перколяции». Журнал физики A: Математическое и теоретическое . 44 (3): 032001. arXiv : 1009.1314v1 . doi :10.1088/1751-8113/44/3/032001. S2CID  119246430.