Круглая связка

Основной пучок волокон

В математике расслоение окружностей — это расслоение волокон , где волокнами являются окружности . ${\displaystyle S^{1}}$

Ориентированные расслоения окружностей также известны как главные U (1)-расслоения или, что эквивалентно, главные SO (2)-расслоения. В физике расслоения окружностей являются естественным геометрическим окружением для электромагнетизма . Расслоение окружностей является частным случаем расслоения сфер .

Как 3-многообразия

Расслоения окружностей над поверхностями являются важным примером 3-многообразий . Более общий класс 3-многообразий — это расслоения Зейферта , которые можно рассматривать как своего рода «особое» расслоение окружностей или как расслоение окружностей над двумерным орбифолдом .

Связь с электродинамикой

Уравнения Максвелла соответствуют электромагнитному полю , представленному 2-формой F , причем она когомологична нулю, т.е. точна . В частности, всегда существует 1-форма A , электромагнитный 4-потенциал (эквивалентно, аффинная связность ), такая, что ${\displaystyle \pi ^{\!*}F}$

${\displaystyle \pi ^{*}F=dA.}$

Дано окружное расслоение P над M и его проекция

${\displaystyle \pi :P\to M}$

один имеет гомоморфизм

${\displaystyle \pi ^{*}:H^{2}(M,\mathbb {Z} )\to H^{2}(P,\mathbb {Z} )}$

где — обратный пул . Каждый гомоморфизм соответствует монополю Дирака ; целочисленные группы когомологий соответствуют квантованию электрического заряда . Эффект Ааронова–Бома можно понимать как голономию связи на ассоциированном линейном расслоении, описывающем волновую функцию электрона. По сути, эффект Ааронова–Бома не является квантово-механическим эффектом (вопреки распространенному мнению), поскольку квантование не задействовано и не требуется при построении расслоений волокон или связей. ${\displaystyle \pi ^{*}}$

Примеры

• Расслоение Хопфа является примером нетривиального расслоения окружностей.
• Единичное касательное расслоение поверхности является еще одним примером окружного расслоения.
• Единичное касательное расслоение неориентируемой поверхности — это окружное расслоение, которое не является главным расслоением. Только ориентируемые поверхности имеют главные единичные касательные расслоения. ${\displaystyle U(1)}$
• Другой метод построения расслоений окружностей заключается в использовании комплексного линейного расслоения и взятии соответствующего расслоения сферы (в данном случае окружности). Поскольку это расслоение имеет ориентацию, индуцированную из , то оно является главным -расслоением. ^[1] Более того, характеристические классы из теории Черна-Вейля -расслоения согласуются с характеристическими классами . ${\displaystyle L\to X}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle L}$
• Например, рассмотрим анализ комплексной плоской кривой . Поскольку и характеристические классы тянутся нетривиально, мы имеем, что линейное расслоение, связанное с пучком, имеет класс Черна . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{x^{n}+y^{n}+z^{n}}}\right)}$ ${\displaystyle H^{2}(X)=\mathbb {Z} =H^{2}(\mathbb {CP} ^{2})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(a)={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(a)\otimes {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle c_{1}=a\in H^{2}(X)}$

Классификация

Классы изоморфизма главных -расслоений над многообразием M находятся во взаимно однозначном соответствии с гомотопическими классами отображений , где называется классифицирующим пространством для U(1) . Заметим, что является бесконечномерным комплексным проективным пространством , и что это пример пространства Эйленберга–Маклейна Такие расслоения классифицируются элементом второй целочисленной группы когомологий M , поскольку ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle M\to BU(1)}$ ${\displaystyle BU(1)}$ ${\displaystyle BU(1)=\mathbb {C} P^{\infty }}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2).}$ ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle [M,BU(1)]\equiv [M,\mathbb {C} P^{\infty }]\equiv H^{2}(M)}$.

Этот изоморфизм реализуется классом Эйлера ; эквивалентно, это первый класс Черна гладкого комплексного линейного расслоения (по сути, потому что окружность гомотопически эквивалентна , комплексной плоскости с удаленным началом координат; и, таким образом, комплексное линейное расслоение с удаленным нулевым сечением гомотопически эквивалентно расслоению окружности). ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$

Окружностное расслоение является главным расслоением тогда и только тогда, когда ассоциированное отображение гомотопно нулю, что верно тогда и только тогда, когда расслоение послойно ориентируемо. Таким образом, для более общего случая, когда окружностное расслоение над M может не быть ориентируемым, классы изоморфизма находятся во взаимно однозначном соответствии с гомотопическими классами отображений . Это следует из расширения групп, , где . ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle M\to B\mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle M\to BO_{2}}$ ${\displaystyle SO_{2}\to O_{2}\to \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle SO_{2}\equiv U(1)}$

Делинь комплексы

Вышеприведенная классификация применима только к расслоениям окружностей в целом; соответствующая классификация для гладких расслоений окружностей или, скажем, расслоений окружностей с аффинной связностью требует более сложной теории когомологий. Результаты включают то, что гладкие расслоения окружностей классифицируются вторыми когомологиями Делиня ; расслоения окружностей с аффинной связностью классифицируются , в то время как классифицирует расслоения линий gerbes . ${\displaystyle H_{D}^{2}(M,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle H_{D}^{2}(M,\mathbb {Z} (2))}$ ${\displaystyle H_{D}^{3}(M,\mathbb {Z} )}$

Смотрите также

• последовательность Ванга

Ссылки

1. «Является ли каждое ориентируемое окружное расслоение главным? - MathOverflow».

• Черн, Шиин-шен (1977), «Круговые пучки», Lecture Notes in Mathematics , т. 597/1977, Springer Berlin/Heidelberg, стр. 114–131, doi :10.1007/BFb0085351, ISBN 978-3-540-08345-0.