Однозначная функция

Математическая концепция

В математике , в разделе комплексного анализа , голоморфная функция на открытом подмножестве комплексной плоскости называется однолистной, если она инъективна . ^{[1] [2]}

Примеры

Функция однозначна в открытом единичном круге, так как подразумевает, что . Поскольку второй множитель не равен нулю в открытом единичном круге, то она инъективна. ${\displaystyle f\colon z\mapsto 2z+z^{2}}$ ${\displaystyle f(z)=f(w)}$ ${\displaystyle f(z)-f(w)=(z-w)(z+w+2)=0}$ ${\displaystyle z=w}$ ${\displaystyle f}$

Основные свойства

Можно доказать, что если и — два открытых связных множества в комплексной плоскости, и ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle f:G\to \Omega }$

является однозначным функцией, такой что (то есть является сюръективной ), то производная от никогда не равна нулю, является обратимой , а ее обратная функция также голоморфна. Более того, по правилу цепочки имеем ${\displaystyle f(G)=\Omega }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$

${\displaystyle (f^{-1})'(f(z))={\frac {1}{f'(z)}}}$

для всех в ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle G.}$

Сравнение с реальными функциями

Для действительных аналитических функций , в отличие от комплексных аналитических (то есть голоморфных) функций, эти утверждения не выполняются. Например, рассмотрим функцию

${\displaystyle f:(-1,1)\to (-1,1)\,}$

заданная как . Эта функция явно инъективна, но ее производная равна 0 в , а ее обратная функция не является аналитической или даже дифференцируемой на всем интервале . Следовательно, если мы расширим область определения до открытого подмножества комплексной плоскости, она не должна быть инъективной; и это так, поскольку (например) (где — примитивный кубический корень из единицы , а — положительное действительное число, меньшее радиуса как окрестность ). ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle (-1,1)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f(\varepsilon \omega )=f(\varepsilon )}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 0}$

Смотрите также

• Биголоморфное отображение  – биективная голоморфная функция с голоморфной обратной функциейPages displaying short descriptions of redirect targets
• Теорема де Бранжа  – утверждение в комплексном анализе; ранее гипотеза Бибербаха
• Четверть теоремы Кебе  - утверждение в комплексном анализе
• Теорема Римана об отображении  – Математическая теорема
• Критерий Неванлинны  – Характеристика звездообразных однолистных голоморфных функций

Примечание

1. (Conway 1995, стр. 32, глава 14: Конформная эквивалентность для односвязных областей, Определение 1.12: «Функция на открытом множестве является однолистной, если она аналитична и взаимно однозначна».)
2. (Нехари 1975)

Ссылки

• Conway, John B. (1995). "Конформная эквивалентность для просто связанных областей". Функции одной комплексной переменной II . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 159. doi :10.1007/978-1-4612-0817-4. ISBN 978-1-4612-6911-3.
• «Унивалентные функции». Источники развития математики . 2011. С. 907–928. doi :10.1017/CBO9780511844195.041. ISBN 9780521114707.
• Дюрен, Польша (1983). Одновалентные функции . Спрингер Нью-Йорк, штат Нью-Йорк. п. XIV, 384. ISBN. 978-1-4419-2816-0.
• Гун, Шэн (1998). Выпуклые и звездообразные отображения в нескольких комплексных переменных . doi :10.1007/978-94-011-5206-8. ISBN 978-94-010-6191-9.
• Ярницки, Марек; Пфлуг, Питер (2006). «Замечание о раздельной голоморфности». Studia Mathematica . 174 (3): 309–317. arXiv : math/0507305 . doi : 10.4064/SM174-3-5 . S2CID  15660985.
• Нехари, Зеев (1975). Конформное отображение. Нью-Йорк: Dover Publications. п. 146. ИСБН 0-486-61137-X. OCLC  1504503.

В данной статье использованы материалы из одновалентной аналитической функции на PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .