Универсальная переменная формулировка

В орбитальной механике формулировка универсальной переменной — это метод, используемый для решения задачи Кеплера для двух тел . Это обобщенная форма уравнения Кеплера , расширяющая его для применения не только к эллиптическим орбитам , но также к параболическим и гиперболическим орбитам, обычным для космических аппаратов, покидающих планетарную орбиту. Она также применима к выбросу малых тел в Солнечной системе из окрестностей массивных планет, в ходе которых аппроксимирующие двухтельные орбиты могут иметь сильно различающиеся эксцентриситеты , почти всегда e ≥ 1 . 

Введение

Распространенной проблемой в орбитальной механике является следующее: Дано тело на орбите и фиксированное исходное время, найти положение тела в более позднее время Для эллиптических орбит с достаточно малым эксцентриситетом решение уравнения Кеплера методами, подобными методу Ньютона, дает превосходные результаты. Однако, по мере того, как орбита приближается к траектории выхода, она становится все более и более эксцентричной, сходимость численной итерации может стать невыгодно медленной или вообще не сойтись для e ≥ 1. [ ^{1] [2]} ${\displaystyle \ t_{\mathsf {o}}\ ,}$ ${\displaystyle \ t~.}$ 

Обратите внимание, что обычная форма уравнения Кеплера не может быть применена к параболическим и гиперболическим орбитам без специальных адаптаций для учета мнимых чисел , поскольку ее обычная форма специально адаптирована к синусам и косинусам; вместо этого траектории убегания используют   sinh   и   cosh   ( гиперболические функции ).

Вывод

Хотя уравнения, подобные уравнению Кеплера, можно вывести для параболических и гиперболических орбит , удобнее ввести новую независимую переменную, которая займет место эксцентрической аномалии и будет иметь одно уравнение, которое можно решить независимо от эксцентриситета орбиты. Новая переменная определяется следующим дифференциальным уравнением : ${\displaystyle \ E\ ,}$ ${\displaystyle \ s\ }$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} s}{\ \operatorname {d} t\ }}={\frac {\ 1\ }{r}}}$

где - зависящее от времени скалярное расстояние до центра притяжения. ${\displaystyle \ r\equiv r(t)\ }$

(Во всех следующих формулах внимательно обратите внимание на различие между скалярами, выделенными курсивом , и векторами, выделенными жирным шрифтом .) ${\displaystyle \ r\ ,}$ ${\displaystyle \ \mathbf {r} \ ,}$

Мы можем регуляризировать фундаментальное уравнение

${\displaystyle \ {\frac {\ \operatorname {d} ^{2}\mathbf {r} \ }{\ \operatorname {d} t^{2}\ }}+\mu {\frac {\ \mathbf {r} \ }{~r^{3}\ }}=\mathbf {0} \ ,\quad }$

где - системная гравитационная масштабная постоянная, ${\displaystyle ~~\mu \equiv G\left(m_{1}+m_{2}\right)~~}$

применяя замену переменной от времени к , что дает ^[2] ${\displaystyle \ t\ }$ ${\displaystyle \ s\ }$

${\displaystyle {\frac {\ \operatorname {d} ^{2}\mathbf {r} \ }{~\operatorname {d} s^{2}\ }}+\alpha \ \mathbf {r} =-\mathbf {P} \ }$

где — некоторый постоянный вектор , а — орбитальная энергия, определяемая как ${\displaystyle \ \mathbf {P} \ }$ ${\displaystyle \ \alpha \ }$

${\displaystyle \alpha \equiv {\frac {\ \mu \ }{a}}~.}$

Уравнение такое же, как и уравнение для гармонического осциллятора , хорошо известное уравнение как в физике, так и в математике , однако неизвестный постоянный вектор несколько неудобен. Взяв производную снова, мы устраняем постоянный вектор ценой получения дифференциального уравнения третьей степени: ${\displaystyle \ \mathbf {P} \ ,}$

${\displaystyle \ {\frac {\ \operatorname {d} ^{3}\mathbf {r} \ }{~\operatorname {d} s^{3}\ }}+\alpha {\frac {\ \operatorname {d} \mathbf {r} \ }{\ \operatorname {d} s\ }}=\mathbf {0} \ }$

Семейство решений этого дифференциального уравнения ^[2] для удобства записывается символически в терминах трех функций и где функции, называемые функциями Штумпфа , которые являются усеченными обобщениями рядов синуса и косинуса . Уравнение замены переменной дает скалярное интегральное уравнение ${\displaystyle \ s\ c_{1}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\ ,\ }$ ${\displaystyle \ s^{2}c_{2}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\ ,}$ ${\displaystyle \ s^{3}c_{3}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\ ;\ }$ ${\displaystyle \ c_{k}\!(x)\ ,}$ ${\displaystyle \ {\tfrac {\operatorname {d} t}{\ \operatorname {d} s\ }}=r\ }$

${\displaystyle \ \int _{{\tilde {t}}=t_{\mathsf {o}}}^{t}\operatorname {d} {\tilde {t}}=\int _{{\tilde {r}}=r_{\mathsf {o}},\ {\tilde {s}}=0}^{r,\ s}~{\tilde {r}}(\ {\tilde {s}}\ )~\operatorname {d} {\tilde {s}}~.}$

После обширных алгебраических вычислений и обратных подстановок его решение приводится к ^{[2] : Уравнение 6.9.26}

${\displaystyle \ t-t_{\mathsf {o}}=r_{\mathsf {o}}\ s\ c_{1}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)+r_{\mathsf {o}}{\frac {~\operatorname {d} r_{\mathsf {o}}\ }{\ \operatorname {d} t\ }}\ s^{2}c_{2}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)+\mu \ s^{3}c_{3}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\ }$

что является универсальной переменной формулировкой уравнения Кеплера .

Замкнутого аналитического решения не существует, но эта универсальная переменная форма уравнения Кеплера может быть решена численно с использованием алгоритма нахождения корня, такого как метод Ньютона или метод Лагерра для заданного времени. Полученное таким образом значение затем поочередно используется для вычисления функций и , а также функций и , необходимых для нахождения текущего положения и скорости: ${\displaystyle \ s\ ,}$ ${\displaystyle \ t\ ~.}$ ${\displaystyle \ s\ }$ ${\displaystyle \ f\ }$ ${\displaystyle \ g\ }$ ${\displaystyle \ {\dot {f}}\ }$ ${\displaystyle \ {\dot {g}}\ }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\ f(s)&=1-\left({\frac {\ \mu \ }{~r_{\mathsf {o}}\ }}\right)s^{2}c_{2}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\ ,\\[1.5ex]\ g(s)&=t-t_{\mathsf {o}}-\mu \ s^{3}c_{3}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\ ,\\[1.5ex]\ {\dot {f}}(s)\equiv {\frac {\ \operatorname {d} f\ }{\ \operatorname {d} t\ }}&=-\left({\frac {\ \mu \ }{\ r_{\mathsf {o}}r\ }}\right)s\ c_{1}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\ ,\\[1.5ex]\ {\dot {g}}(s)\equiv {\frac {\ \operatorname {d} g\ }{\ \operatorname {d} t\ }}&=1-\left({\frac {\ \mu \ }{r}}\right)\ s^{2}c_{2}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)~.\\[-1ex]\end{aligned}}}$

Значения функций и определяют положение тела в момент времени : ${\displaystyle \ f\ }$ ${\displaystyle \ g\ }$ ${\displaystyle \ t\ }$

$${\displaystyle \ \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{\mathsf {o}}\ f(s)+\mathbf {v} _{\mathsf {o}}\ g(s)\ }$$

Кроме того, скорость тела в момент времени можно найти с помощью и следующим образом: ${\displaystyle \ t\ }$ ${\displaystyle \ {\dot {f}}(s)\ }$ ${\displaystyle \ {\dot {g}}(s)\ }$

${\displaystyle \ \mathbf {v} (t)=\mathbf {r} _{\mathsf {o}}\ {\dot {f}}(s)+\mathbf {v} _{\mathsf {o}}\ {\dot {g}}(s)\ }$

где и - соответственно векторы положения и скорости в момент времени и и ${\displaystyle \ \mathbf {r} (t)\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {v} (t)\ }$ ${\displaystyle \ t\ ,}$ ${\displaystyle \ \mathbf {r} _{\mathsf {o}}\ }$

${\displaystyle \ \mathbf {v} _{\mathsf {o}}\ }$— это положение и скорость в произвольный начальный момент времени ${\displaystyle \ t_{\mathsf {o}}~.}$

Ссылки

1. Штифель, Эдуард Л.; Шайфель, Герхард (1971). Линейная и регулярная небесная механика: возмущенное движение двух тел, численные методы, каноническая теория . Springer-Verlag.
2. Дэнби, JMA (1988). Основы небесной механики (2-е изд.). Willmann-Bell. ISBN 0943396204.