Теорема Удзавы

Теорема Удзавы , также известная как теорема о стационарном росте , — это теорема в теории экономического роста, касающаяся формы, которую технологические изменения могут принимать в моделях роста Солоу–Свана и Рэмси–Касса–Купманса . Впервые она была доказана японским экономистом Хирофуми Удзавой . ^[1]

Одна общая версия теоремы состоит из двух частей. ^{[2] [3]} Первая часть утверждает, что при обычных предположениях моделей Солоу и неоклассической модели, если (через некоторое время T) капитал, инвестиции, потребление и выпуск увеличиваются с постоянными экспоненциальными темпами, эти темпы должны быть эквивалентны. Основываясь на этом результате, вторая часть утверждает, что в рамках такого сбалансированного пути роста производственная функция (где — технология, — капитал, а — труд) может быть переписана таким образом, что технологические изменения влияют на выпуск исключительно как скаляр на труде (т. е . свойство, известное как трудоумножающее или нейтральные по Харроду технологические изменения. ${\displaystyle Y={\tilde {F}}({\tilde {A}},K,L)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle Y=F(K,AL)}$

Теорема Удзавы демонстрирует существенное ограничение обычно используемых неоклассических и солоу-моделей. Навязывание предположения о сбалансированном росте в таких моделях требует, чтобы технологические изменения увеличивали труд. Напротив, любая производственная функция, для которой невозможно представить эффект технологии как скаляр на труд, не может создать сбалансированный путь роста. ^[2]

Заявление

На этой странице точка над переменной будет обозначать ее производную по времени (т.е. ). Также скорость роста переменной будет обозначаться . ${\displaystyle {\dot {X}}(t)\equiv {dX(t) \over dt}}$ ${\displaystyle X(t)}$ ${\displaystyle g_{X}\equiv {\frac {{\dot {X}}(t)}{X(t)}}}$

Теорема Удзавы

(Следующая версия найдена в Acemoglu (2009) и адаптирована из Schlicht (2006))

Модель с совокупной производственной функцией , где и представляет технологию в момент времени t (где — произвольное подмножество для некоторого натурального числа ). Предположим, что демонстрирует постоянную отдачу от масштаба в и . Рост капитала в момент времени t определяется как ${\displaystyle Y(t)={\tilde {F}}({\tilde {A}}(t),K(t),L(t))}$ ${\displaystyle {\tilde {F}}:\mathbb {R} _{+}^{2}\times {\mathcal {A}}\to \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}(t)\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\tilde {F}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\dot {K}}(t)=Y(t)-C(t)-\delta K(t)}$

где — норма амортизации, — потребление в момент времени t. ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle C(t)}$

Предположим, что население растет с постоянной скоростью, и что существует некоторое время, такое, что для всех , , , и . Тогда ${\displaystyle L(t)=\exp(nt)L(0)}$ ${\displaystyle T<\infty }$ ${\displaystyle t\geq T}$ ${\displaystyle {\dot {Y}}(t)/Y(t)=g_{Y}>0}$ ${\displaystyle {\dot {K}}(t)/K(t)=g_{K}>0}$ ${\displaystyle {\dot {C}}(t)/C(t)=g_{C}>0}$

1. ; и ${\displaystyle g_{Y}=g_{K}=g_{C}}$

2. Существует функция , однородная степени 1 по двум своим аргументам, такая, что для любого агрегированная производственная функция может быть представлена ​​в виде , где и . ${\displaystyle F:\mathbb {R} _{+}^{2}\to \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle t\geq T}$ ${\displaystyle Y(t)=F(K(t),A(t)L(t))}$ ${\displaystyle A(t)\in \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle g\equiv {\dot {A}}(t)/A(t)=g_{Y}-n}$

Эскиз доказательства

Лемма 1

Для любой константы , . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle g_{X^{\alpha }Y}=\alpha g_{X}+g_{Y}}$

Доказательство : Заметим, что для любого , . Следовательно, . ${\displaystyle Z(t)}$ ${\displaystyle g_{Z}={\frac {{\dot {Z}}(t)}{Z(t)}}={\frac {d\ln Z(t)}{dt}}}$ ${\displaystyle g_{X^{\alpha }Y}={\frac {d}{dt}}\ln[(X(t))^{\alpha }Y(t)]=\alpha {\frac {d\ln X(t)}{dt}}+{\frac {d\ln Y(t)}{dt}}=\alpha g_{X}+g_{Y}}$

Доказательство теоремы

Сначала мы показываем, что темпы роста инвестиций должны быть равны темпам роста капитала (т.е. ) ${\displaystyle I(t)=Y(t)-C(t)}$ ${\displaystyle K(t)}$ ${\displaystyle g_{I}=g_{K}}$

Ограничение ресурсов во времени подразумевает ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\dot {K}}(t)=I(t)-\delta K(t)}$

По определению , для всех . Поэтому предыдущее уравнение подразумевает ${\displaystyle g_{K}}$ ${\displaystyle {\dot {K}}(t)=g_{K}K(t)}$ ${\displaystyle t\geq T}$

${\displaystyle g_{K}+\delta ={\frac {I(t)}{K(t)}}}$

для всех . Левая часть является константой, а правая часть растет при (по лемме 1). Следовательно, и, таким образом, ${\displaystyle t\geq T}$ ${\displaystyle g_{I}-g_{K}}$ ${\displaystyle 0=g_{I}-g_{K}}$

${\displaystyle g_{I}=g_{K}}$.

Из учета национального дохода в закрытой экономике следует , что конечные товары в экономике должны либо потребляться, либо инвестироваться, таким образом, для всех ${\displaystyle t}$

${\displaystyle Y(t)=C(t)+I(t)}$

Дифференцирование по времени дает

${\displaystyle {\dot {Y}}(t)={\dot {C}}(t)+{\dot {I}}(t)}$

Разделим обе части на урожайность ${\displaystyle Y(t)}$

${\displaystyle {\frac {{\dot {Y}}(t)}{Y(t)}}={\frac {{\dot {C}}(t)}{Y(t)}}+{\frac {{\dot {I}}(t)}{Y(t)}}={\frac {{\dot {C}}(t)}{C(t)}}{\frac {C(t)}{Y(t)}}+{\frac {{\dot {I}}(t)}{I(t)}}{\frac {I(t)}{Y(t)}}}$

${\displaystyle \Rightarrow g_{Y}=g_{C}{\frac {C(t)}{Y(t)}}+g_{I}{\frac {I(t)}{Y(t)}}=g_{C}{\frac {C(t)}{Y(t)}}+g_{I}(1-{\frac {C(t)}{Y(t)}})=(g_{C}-g_{I}){\frac {C(t)}{Y(t)}}+g_{I}}$

Поскольку и являются константами, является константой. Следовательно, скорость роста равна нулю. По лемме 1 это означает, что ${\displaystyle g_{Y},g_{C}}$ ${\displaystyle g_{I}}$ ${\displaystyle {\frac {C(t)}{Y(t)}}}$ ${\displaystyle {\frac {C(t)}{Y(t)}}}$

${\displaystyle g_{c}-g_{Y}=0}$

Аналогично, . Следовательно, . ${\displaystyle g_{Y}=g_{I}}$ ${\displaystyle g_{Y}=g_{C}=g_{K}}$

Далее мы покажем , что для любого производственную функцию можно представить как функцию с технологией увеличения труда. ${\displaystyle t\geq T}$

Производственная функция во времени имеет вид ${\displaystyle T}$

${\displaystyle Y(T)={\tilde {F}}({\tilde {A}}(T),K(T),L(T))}$

Свойство постоянного возврата к масштабу производства ( однородно первой степени по и ) подразумевает, что для любого , умножение обеих частей предыдущего уравнения на дает ${\displaystyle {\tilde {F}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle t\geq T}$ ${\displaystyle {\frac {Y(t)}{Y(T)}}}$

${\displaystyle Y(T){\frac {Y(t)}{Y(T)}}={\tilde {F}}({\tilde {A}}(T),K(T){\frac {Y(t)}{Y(T)}},L(T){\frac {Y(t)}{Y(T)}})}$

Обратите внимание, что поскольку (см. решение дифференциальных уравнений для доказательства этого шага). Таким образом, приведенное выше уравнение можно переписать как ${\displaystyle {\frac {Y(t)}{Y(T)}}={\frac {K(t)}{K(T)}}}$ ${\displaystyle g_{Y}=g_{K}}$

${\displaystyle Y(t)={\tilde {F}}({\tilde {A}}(T),K(t),L(T){\frac {Y(t)}{Y(T)}})}$

Для любого определите ${\displaystyle t\geq T}$

${\displaystyle A(t)\equiv {\frac {Y(t)}{L(t)}}{\frac {L(T)}{Y(T)}}}$

и

${\displaystyle F(K(t),A(t)L(t))\equiv {\tilde {F}}({\tilde {A}}(T),K(t),L(t)A(t))}$

Объединение двух уравнений дает

${\displaystyle F(K(t),A(t)L(t))={\tilde {F}}({\tilde {A}}(T),K(t),L(T){\frac {Y(t)}{Y(T)}})=Y(t)}$для любого . ${\displaystyle t\geq T}$

По построению также является однородным степени один по своим двум аргументам. ${\displaystyle F(K,AL)}$

Более того, по лемме 1 скорость роста определяется выражением ${\displaystyle A(t)}$

${\displaystyle {\frac {{\dot {A}}(t)}{A(t)}}={\frac {{\dot {Y}}(t)}{Y(t)}}-{\frac {{\dot {L}}(t)}{L(t)}}=g_{Y}-n}$. ${\displaystyle \blacksquare }$

Ссылки

1. Удзава, Хирофуми (лето 1961 г.). «Нейтральные изобретения и стабильность равновесия роста». Обзор экономических исследований . 28 (2): 117–124. doi :10.2307/2295709. JSTOR  2295709.
2. Jones, Charles I.; Scrimgeour, Dean (2008). «Новое доказательство теоремы Удзавы о стационарном росте». Review of Economics and Statistics . 90 (1): 180–182. doi :10.1162/rest.90.1.180. S2CID  57568437.
3. Асемоглу, Дарон (2009). Введение в современный экономический рост . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. С. 60-61. ISBN 978-0-691-13292-1.