Аксиома конструктивности

Возможная аксиома теории множеств в математике

Аксиома конструктивности — возможная аксиома для теории множеств в математике, которая утверждает, что каждое множество конструктивно . Аксиома обычно записывается как V = L. Аксиома, впервые исследованная Куртом Гёделем , несовместима с утверждением о существовании нулевого диеза и более сильных аксиом большого кардинального числа (см. список свойств большого кардинального числа ). Обобщения этой аксиомы исследуются в теории внутренних моделей . ^[1]

Подразумеваемое

Аксиома конструктивности подразумевает аксиому выбора (AC), учитывая теорию множеств Цермело–Френкеля без аксиомы выбора (ZF). Она также решает многие естественные математические вопросы, которые независимы от теории множеств Цермело–Френкеля с аксиомой выбора (ZFC); например, аксиома конструктивности подразумевает обобщенную континуум-гипотезу , отрицание гипотезы Суслина и существование аналитического (фактически, ) неизмеримого множества действительных чисел , все из которых независимы от ZFC. ${\displaystyle \Delta _{2}^{1}}$

Аксиома конструктивности подразумевает несуществование больших кардиналов с силой согласованности больше или равной 0 # , что включает некоторые "относительно малые" большие кардиналы. Например, ни один кардинал не может быть ω ₁ - Эрдёшем в L . Хотя L содержит начальные ординалы этих больших кардиналов (когда они существуют в супермодели L ), и они все еще являются начальными ординалами в L , она исключает вспомогательные структуры (например, меры ), которые наделяют эти кардиналы их большими кардинальными свойствами.

Хотя аксиома конструктивности действительно решает многие вопросы теории множеств, она обычно не принимается в качестве аксиомы для теории множеств так же, как аксиомы ZFC. Среди теоретиков множеств реалистического толка, которые считают, что аксиома конструктивности либо истинна, либо ложна, большинство считает, что она ложна. Это отчасти потому, что она кажется излишне «ограничительной», поскольку допускает только определенные подмножества данного множества (например, не может существовать), без явных оснований полагать, что это все они. Отчасти это потому, что аксиома противоречит достаточно сильным большим кардинальным аксиомам . Эта точка зрения особенно связана с Каббалой или «калифорнийской школой», как сказал бы Сахарон Шелах . ${\displaystyle 0^{\sharp }\subseteq \omega }$

В арифметике

Особенно с 1950-х по 1970-е годы проводились некоторые исследования по формулированию аналога аксиомы конструктивности для подсистем арифметики второго порядка . Несколько результатов выделяются при изучении таких аналогов:

• Формула Джона Аддисона, такая что если и только если , то есть является конструктивным вещественным числом. ^{[2] [3]} ${\displaystyle \Sigma _{2}^{1}}$ ${\displaystyle {\textrm {Constr}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\omega )\vDash {\textrm {Constr}}(X)}$ ${\displaystyle X\in {\mathcal {P}}(\omega )\cap L}$ ${\displaystyle X}$

• Существует формула, известная как «аналитическая форма аксиомы конструктивности», которая имеет некоторые ассоциации с теоретико-множественной аксиомой V=L. ^[4] Например, некоторые случаи, когда были даны и.т.д. ^[4] ${\displaystyle \Pi _{3}^{1}}$ ${\displaystyle M\vDash {\textrm {V=L}}}$ ${\displaystyle M\cap {\mathcal {P}}(\omega )\vDash {\textrm {Analytical}}\;{\textrm {form}}\;{\textrm {of}}\;{\textrm {V=L}}}$

Значение

Основное значение аксиомы конструктивности заключается в доказательстве Куртом Гёделем относительной согласованности аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы в теории множеств фон Неймана–Бернайса–Геделя . (Доказательство переносится и на теорию множеств Цермело–Френкеля , которая стала более распространенной в последние годы.)

А именно, Гёдель доказал, что является относительно непротиворечивым (т.е. если можно доказать противоречие, то можно и ), и что в ${\displaystyle V=L}$ ${\displaystyle ZFC+(V=L)}$ ${\displaystyle ZF}$ ${\displaystyle ZF}$

${\displaystyle V=L\implies AC\land GCH,}$

тем самым устанавливая, что AC и GCH также относительно согласованы.

Доказательство Гёделя было дополнено в последующие годы результатом Пола Коэна о том, что и AC, и GCH независимы , то есть отрицания этих аксиом ( и ) также относительно согласуются с теорией множеств ZF. ${\displaystyle \lnot AC}$ ${\displaystyle \lnot GCH}$

Утверждения верны вЛ

Вот список утверждений, которые справедливы в конструируемой вселенной (обозначенной L ):

• Обобщенная гипотеза континуума и как следствие
  • Аксиома выбора
• Diamondsuit
  • Клубный костюм
• Глобальный квадрат
• Существование болот
• Опровержение гипотезы Суслина
• Несуществование 0 # и как следствие
  • Несуществование всех больших кардиналов , подразумевающих существование измеримого кардинала
• Существование Σ¹
  ₂(по отношению к аналитической иерархии ) множество действительных чисел, которое не поддается измерению .
• Истинность гипотезы Уайтхеда о том, что каждая абелева группа A с Ext ¹ ( A , Z ) = 0 является свободной абелевой группой .
• Существование определимого полного порядка всех множеств (формула для которого может быть указана явно). В частности, L удовлетворяет V=HOD .
• Существование примитивной рекурсивной сюръекции класса , т.е. функции класса из Ord, область действия которой содержит все множества. ^[5] ${\displaystyle F:{\textrm {Ord}}\to {\textrm {V}}}$

Принимая аксиому конструктивности (которая утверждает, что каждое множество конструктивно ), эти предложения справедливы и во вселенной фон Неймана , разрешая многие предложения в теории множеств и некоторые интересные вопросы анализа .

Ссылки

1. Хамкинс, Джоэл Дэвид (27 февраля 2015 г.). «Вложения вселенной в конструируемую вселенную, текущее состояние знаний, семинар по теории множеств CUNY, март 2015 г.». jdh.hamkins.org . Архивировано из оригинала 23 апреля 2024 г. . Получено 22 сентября 2024 г. .
2. W. Marek , Observations Concerning Elementary Extensions of ω-models. II (1973, стр. 227). Доступ 3 ноября 2021 г.
3. W. Marek, ω-модели арифметики второго порядка и допустимые множества (1975, стр. 105). Доступ 3 ноября 2021 г.
4. W. Marek, Stable sets, a characterization of β₂-models of full second-order arifmetic and some related facts (стр. 176--177). Доступ 3 ноября 2021 г.
5. W. Richter, P. Aczel , Inductive Definitions and Reflecting Properties of Admissible Ordinals (1974, стр. 23). Доступ 30 августа 2022 г.

• Девлин, Кит (1984). Конструктивность . Springer-Verlag . ISBN 3-540-13258-9.

Внешние ссылки

• Сколько существует действительных чисел?, Кит Девлин, Математическая ассоциация Америки , июнь 2001 г.