Аксиома конструктивности

Возможная аксиома теории множеств в математике

Аксиома конструктивности — возможная аксиома теории множеств в математике, которая утверждает, что каждое множество конструируемо . Аксиома обычно записывается как V = L. Аксиома, впервые исследованная Куртом Гёделем , несовместима с утверждением о существовании нулевой точности и более сильными большими кардинальными аксиомами (см. список больших кардинальных свойств ). Обобщения этой аксиомы исследуются в теории внутренних моделей .

Подразумеваемое

Из аксиомы конструктивности следует аксиома выбора (AC) в рамках теории множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора (ZF). Он также решает многие естественные математические вопросы, независимые от теории множеств Цермело – Френкеля, с помощью аксиомы выбора (ZFC); например, аксиома конструктивности подразумевает гипотезу обобщенного континуума , отрицание гипотезы Суслина и существование аналитического ( фактически ) неизмеримого набора действительных чисел , все из которых не зависят от ZFC. ${\displaystyle \Delta _{2}^{1}}$

Аксиома конструктивности подразумевает отсутствие тех больших кардиналов с силой согласованности, большей или равной 0 # , которые включают в себя некоторые «относительно маленькие» большие кардиналы. Например, ни один кардинал не может быть ω ₁ - Эрдёшем в L . Хотя L действительно содержит начальные ординалы этих больших кардиналов (когда они существуют в супермодели L ), и они все еще являются начальными ординалами в L , он исключает вспомогательные структуры (например, меры ), которые наделяют эти кардиналы их большими кардинальскими свойствами.

Хотя аксиома конструктивности действительно решает многие вопросы теории множеств, она обычно не принимается в качестве аксиомы теории множеств так же, как аксиомы ZFC. Среди теоретиков множеств реалистического толка, которые считают, что аксиома конструктивности либо истинна, либо ложна, большинство полагает, что она ложна. Частично это связано с тем, что он кажется излишне «ограничивающим», поскольку допускает только определенные подмножества данного набора (например, не могут существовать), без явных оснований полагать, что это все. Частично это происходит потому, что аксиома противоречит достаточно сильным большим кардинальным аксиомам . Эта точка зрения особенно связана с Кабалом или «Калифорнийской школой», как выразился бы Сахарон Шела . ${\displaystyle 0^{\sharp }\subseteq \omega }$

В арифметике

Особенно с 1950-х по 1970-е годы проводились исследования по формулировке аналога аксиомы конструктивности для подсистем арифметики второго порядка . При изучении таких аналогов можно выделить несколько результатов:

• Формула Джона Аддисона такова, что iff , т.е. является конструируемой действительностью. ^{[1] [2]} ${\displaystyle \Sigma _{2}^{1}}$ ${\displaystyle {\textrm {Constr}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\omega )\vDash {\textrm {Constr}}(X)}$ ${\displaystyle X\in {\mathcal {P}}(\omega )\cap L}$ ${\displaystyle X}$

• Существует формула, известная как «аналитическая форма аксиомы конструктивности», которая имеет некоторые ассоциации с теоретико-множественной аксиомой V=L. ^[3] Например, некоторые случаи, когда задан iff . ^[3] ${\displaystyle \Pi _{3}^{1}}$ ${\displaystyle M\vDash {\textrm {V=L}}}$ ${\displaystyle M\cap {\mathcal {P}}(\omega )\vDash {\textrm {Analytical}}\;{\textrm {form}}\;{\textrm {of}}\;{\textrm {V=L}}}$

Значение

Основное значение аксиомы конструктивности заключается в доказательстве Куртом Гёделем относительной непротиворечивости аксиомы выбора и обобщенной гипотезы континуума теории множеств фон Неймана-Бернейса-Гёделя . (Доказательство переносится на теорию множеств Цермело–Френкеля , которая в последние годы стала более распространенной.)

А именно, Гёдель доказал, что это относительно непротиворечиво (т.е. если можно доказать противоречие, то можно и ), и что в ${\displaystyle V=L}$ ${\displaystyle ZFC+(V=L)}$ ${\displaystyle ZF}$ ${\displaystyle ZF}$

${\displaystyle V=L\implies AC\land GCH,}$

тем самым устанавливая, что AC и GCH также относительно последовательны.

Доказательство Гёделя было дополнено в последующие годы результатом Пола Коэна о том, что AC и GCH независимы , т.е. что отрицания этих аксиом ( и ) также относительно согласуются с теорией множеств ZF. ${\displaystyle \lnot AC}$ ${\displaystyle \lnot GCH}$

Утверждения верны в L

Вот список утверждений, которые справедливы в конструируемой вселенной (обозначенной L ):

• Гипотеза обобщенного континуума и, как следствие,
  • Аксиома выбора
• Бриллиантовый костюм
  • Клубный костюм
• Глобальный квадрат
• Существование болот
• Отрицание гипотезы Суслина
• Отсутствие 0 # и как следствие
  • Отсутствие всех больших кардиналов , что подразумевает существование измеримого кардинала.
• Справедливость гипотезы Уайтхеда о том, что каждая абелева группа A с Ext ¹ ( A , Z ) = 0 является свободной абелевой группой .
• Существование определимого нормального порядка всех множеств (формула которого может быть указана явно). В частности, L удовлетворяет условию V=HOD .
• Существование примитивно-рекурсивной сюръекции класса , т.е. функции класса из Ord, диапазон которой содержит все множества. ^[4] ${\displaystyle F:{\textrm {Ord}}\to {\textrm {V}}}$

Принимая аксиому конструктивности (которая утверждает, что каждое множество конструируемо ), эти предложения также справедливы и во вселенной фон Неймана , разрешая многие предложения теории множеств и некоторые интересные вопросы анализа .

Рекомендации

1. В. Марек , Наблюдения относительно элементарных расширений ω-моделей. II (1973, с.227). По состоянию на 3 ноября 2021 г.
2. В. Марек, ω-модели арифметики второго порядка и допустимые множества (1975, стр.105). По состоянию на 3 ноября 2021 г.
3. В. Марек, Стабильные множества, характеристика β₂-моделей полной арифметики второго порядка и некоторые связанные с этим факты (стр. 176–177). По состоянию на 3 ноября 2021 г.
4. В. Рихтер, П. Аксель , Индуктивные определения и отражающие свойства допустимых ординалов (1974, стр.23). По состоянию на 30 августа 2022 г.

• Девлин, Кейт (1984). Конструктивность . Спрингер-Верлаг . ISBN 3-540-13258-9.

Внешние ссылки

• Сколько существует действительных чисел? Кейт Девлин, Математическая ассоциация Америки , июнь 2001 г.