Разложение дисперсии ошибок прогноза

В эконометрике и других приложениях многомерного анализа временных рядов разложение дисперсии или разложение дисперсии ошибки прогноза ( FEVD ) используется для помощи в интерпретации модели векторной авторегрессии (VAR) после ее подгонки. ^[1] Разложение дисперсии указывает объем информации , которую каждая переменная вносит в другие переменные в авторегрессии. Оно определяет, какая часть дисперсии ошибки прогноза каждой из переменных может быть объяснена экзогенными шоками для других переменных.

Расчет дисперсии ошибки прогноза

Для VAR(p) формы

${\displaystyle y_{t}=\nu +A_{1}y_{t-1}+\dots +A_{p}y_{t-p}+u_{t}}$ .

Это можно изменить на структуру VAR(1), записав ее в сопутствующей форме (см. общую матричную нотацию VAR(p))

${\displaystyle Y_{t}=V+AY_{t-1}+U_{t}}$где

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&\dots &A_{p-1}&A_{p}\\\mathbf {I} _{k}&0&\dots &0&0\\0&\mathbf {I} _{k}&&0&0\\\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &\mathbf {I} _{k}&0\\\end{bmatrix}}}$, , и ${\displaystyle Y={\begin{bmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{p}\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle V={\begin{bmatrix}\nu \\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle U_{t}={\begin{bmatrix}u_{t}\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}}$

где , и являются размерными векторами-столбцами, является размерной матрицей и , и являются размерными векторами-столбцами. ${\displaystyle y_{t}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle kp}$ ${\displaystyle kp}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle kp}$

Среднеквадратическая ошибка прогноза переменной на шаге h равна ${\displaystyle j}$

${\displaystyle \mathbf {MSE} [y_{j,t}(h)]=\sum _{i=0}^{h-1}\sum _{l=1}^{k}(e_{j}'\Theta _{i}e_{l})^{2}={\bigg (}\sum _{i=0}^{h-1}\Theta _{i}\Theta _{i}'{\bigg )}_{jj}={\bigg (}\sum _{i=0}^{h-1}\Phi _{i}\Sigma _{u}\Phi _{i}'{\bigg )}_{jj},}$

и где

• ${\displaystyle e_{j}}$является j ^-м столбцом , а нижний индекс относится к этому элементу матрицы ${\displaystyle I_{k}}$ ${\displaystyle jj}$

• ${\displaystyle \Theta _{i}=\Phi _{i}P,}$где — нижняя треугольная матрица, полученная путем разложения Холецкого , такая, что , где — ковариационная матрица ошибок ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Sigma _{u}}$ ${\displaystyle \Sigma _{u}=PP'}$ ${\displaystyle \Sigma _{u}}$ ${\displaystyle u_{t}}$

• ${\displaystyle \Phi _{i}=JA^{i}J',}$где так, что это двумерная матрица. ${\displaystyle J={\begin{bmatrix}\mathbf {I} _{k}&0&\dots &0\end{bmatrix}},}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle kp}$

Величина дисперсии ошибки прогноза переменной, обусловленная экзогенными шоками переменной, определяется по формуле ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \omega _{jl,h},}$

${\displaystyle \omega _{jl,h}=\sum _{i=0}^{h-1}(e_{j}'\Theta _{i}e_{l})^{2}/MSE[y_{j,t}(h)].}$

Смотрите также

• Анализ дисперсии

Примечания

1. Люткеполь, Х. (2007) Новое введение в анализ множественных временных рядов , Springer. стр. 63.