Теорема Виноградова

Теорема в теории чисел

В теории чисел теорема Виноградова — это результат, который подразумевает, что любое достаточно большое нечетное целое число можно записать в виде суммы трех простых чисел . Это более слабая форма слабой гипотезы Гольдбаха , которая подразумевала бы существование такого представления для всех нечетных целых чисел, больших пяти. Она названа в честь Ивана Матвеевича Виноградова , который доказал ее в 1930-х годах. Харди и Литтлвуд ранее показали, что этот результат следует из обобщенной гипотезы Римана , и Виноградову удалось снять это предположение. Полная формулировка теоремы Виноградова дает асимптотические границы числа представлений нечетного целого числа в виде суммы трех простых чисел. Понятие «достаточно большое» было плохо определено в оригинальной работе Виноградова, но в 2002 году было показано, что 10 ¹³⁴⁶ достаточно велико. ^{[1] [2]} Кроме того, числа до 10 ²⁰ были проверены с помощью методов грубой силы, ^[3] таким образом, оставалось проверить только конечное число случаев, прежде чем странная гипотеза Гольдбаха будет доказана или опровергнута. В 2013 году Харальд Хельфготт доказал слабую гипотезу Гольдбаха для всех случаев.

Формулировка теоремы Виноградова

Пусть A — положительное действительное число. Тогда

${\displaystyle r(N)={1 \over 2}G(N)N^{2}+O\left(N^{2}\log ^{-A}N\right),}$

где

${\displaystyle r(N)=\sum _{k_{1}+k_{2}+k_{3}=N}\Lambda (k_{1})\Lambda (k_{2})\Lambda (k_{3}),}$

используя функцию фон Мангольдта , и ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle G(N)=\left(\prod _{p\mid N}\left(1-{1 \over {\left(p-1\right)}^{2}}\right)\right)\left(\prod _{p\nmid N}\left(1+{1 \over {\left(p-1\right)}^{3}}\right)\right).}$

Последствие

Если N нечетно, то G ( N ) приблизительно равно 1, следовательно, для всех достаточно больших N . Показав, что вклад, вносимый в r ( N ​​) надлежащими степенями простых чисел, равен , можно увидеть, что ${\displaystyle N^{2}\ll r(N)}$ ${\displaystyle O\left(N^{3 \over 2}\log ^{2}N\right)}$

${\displaystyle N^{2}\log ^{-3}N\ll \left({\hbox{number of ways N can be written as a sum of three primes}}\right).}$

Это означает, в частности, что любое достаточно большое нечетное целое число можно записать в виде суммы трех простых чисел, тем самым подтверждая слабую гипотезу Гольдбаха для всех случаев, кроме конечного числа.

Стратегия доказательства

Доказательство теоремы следует методу круга Харди–Литтлвуда . Определим показательную сумму

${\displaystyle S(\alpha )=\sum _{n=1}^{N}\Lambda (n)e(\alpha n)}$.

Тогда у нас есть

${\displaystyle S(\alpha )^{3}=\sum _{n_{1},n_{2},n_{3}\leq N}\Lambda (n_{1})\Lambda (n_{2})\Lambda (n_{3})e(\alpha (n_{1}+n_{2}+n_{3}))=\sum _{n\leq 3N}{\tilde {r}}(n)e(\alpha n)}$,

где обозначает число представлений, ограниченных степенями простых чисел . Следовательно ${\displaystyle {\tilde {r}}}$ ${\displaystyle \leq N}$

${\displaystyle r(N)=\int _{0}^{1}S(\alpha )^{3}e(-\alpha N)\;d\alpha }$.

Если — рациональное число , то может быть задано распределением простых чисел в классах вычетов по модулю . Следовательно, используя теорему Зигеля–Вальфиса, мы можем вычислить вклад указанного выше интеграла в малых окрестностях рациональных точек с малым знаменателем. Множество действительных чисел, близких к таким рациональным точкам, обычно называют главными дугами, дополнение образует малые дуги. Оказывается, что эти интервалы доминируют над интегралом, поэтому для доказательства теоремы нужно дать верхнюю оценку для для , содержащихся в малых дугах. Эта оценка является самой сложной частью доказательства. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ ${\displaystyle S(\alpha )}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle S(\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha }$

Если принять обобщенную гипотезу Римана , то аргумент, используемый для больших дуг, можно распространить на малые дуги. Это сделали Харди и Литтлвуд в 1923 году. В 1937 году Виноградов дал безусловную верхнюю границу для . Его аргумент начинался с простого тождества решета, затем полученные члены были переставлены сложным образом, чтобы получить некоторое сокращение. В 1977 году Р. К. Воган нашел гораздо более простой аргумент, основанный на том, что позже стало известно как тождество Вогана . Он доказал, что если , то ${\displaystyle |S(\alpha )|}$ ${\displaystyle |\alpha -{\frac {a}{q}}|<{\frac {1}{q^{2}}}}$

${\displaystyle |S(\alpha )|\ll \left({\frac {N}{\sqrt {q}}}+N^{4/5}+{\sqrt {Nq}}\right)\log ^{4}N}$.

Используя теорему Зигеля–Вальфиса, мы можем иметь дело с произвольными степенями , используя теорему аппроксимации Дирихле, мы получаем на малых дугах. Следовательно, интеграл по малым дугам можно оценить сверху как ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \log N}$ ${\displaystyle |S(\alpha )|\ll {\frac {N}{\log ^{A}N}}}$

${\displaystyle {\frac {CN}{\log ^{A}N}}\int _{0}^{1}|S(\alpha )|^{2}\;d\alpha \ll {\frac {N^{2}}{\log ^{A-1}N}}}$,

что дает погрешность в теореме.

Ссылки

1. Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine: Терренс Тао — Структура и случайность в простых числах, Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе. YouTube .
2. Лю, MC; Ван, TZ (2002). «О границе Виноградова в гипотезе Гольдбаха о трех простых числах». Acta Arithmetica . 105 (2): 133–175. doi : 10.4064/aa105-2-3 .
3. Saouter, Yannick (1998). «Проверка нечетной гипотезы Гольдбаха до 10²⁰». Mathematics of Computation . 67 (222): 863–866. doi : 10.1090/S0025-5718-98-00928-4 .

• Виноградов, Иван Матвеевич (1954). Метод тригонометрических сумм в теории чисел . Переведено, пересмотрено и аннотировано К. Ф. Ротом и Энн Дэвенпорт. Лондон и Нью-Йорк: Interscience. MR  0062183.
• Натансон, Мелвин Б. (1996). Аддитивная теория чисел. Классические основания . Graduate Texts in Mathematics. Том 164. Нью-Йорк: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4757-3845-2. ISBN 0-387-94656-X. МР  1395371. Глава 8.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Виноградова». MathWorld .