Функция фон Мангольдта

Функция целого числа n, которая равна log(p), если n равно p^k, и нулю в противном случае.

В математике функция Мангольдта — арифметическая функция, названная в честь немецкого математика Ганса фон Мангольдта . Это пример важной арифметической функции, которая не является ни мультипликативной , ни аддитивной .

Определение

Функция фон Мангольдта, обозначаемая Λ( n ) , определяется как

${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{if }}n=p^{k}{\text{ for some prime }}p{\text{ and integer }}k\geq 1,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Значения Λ( n ) для первых девяти положительных целых чисел (т.е. натуральных чисел) равны

${\displaystyle 0,\log 2,\log 3,\log 2,\log 5,0,\log 7,\log 2,\log 3,}$

что связано с (последовательностью A014963 в OEIS ).

Характеристики

Функция фон Мангольдта удовлетворяет тождеству ^{[1] [2]}

${\displaystyle \log(n)=\sum _{d\mid n}\Lambda (d).}$

Сумма берется по всем целым числам d, которые делят n . Это доказывается фундаментальной теоремой арифметики , поскольку члены, не являющиеся степенями простых чисел, равны 0. Например, рассмотрим случай n = 12 = 2 ² × 3. Тогда

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{d\mid 12}\Lambda (d)&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda (4)+\Lambda (6)+\Lambda (12)\\&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda \left(2^{2}\right)+\Lambda (2\times 3)+\Lambda \left(2^{2}\times 3\right)\\&=0+\log(2)+\log(3)+\log(2)+0+0\\&=\log(2\times 3\times 2)\\&=\log(12).\end{aligned}}}$

По принципу обращения Мёбиуса имеем

${\displaystyle \Lambda (n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)\log \left({\frac {n}{d}}\right)}$

и используя правило произведения для логарифма, получаем ^{[2] [3] [4]}

${\displaystyle \Lambda (n)=-\sum _{d\mid n}\mu (d)\log(d)\ .}$

Для всех имеем ^[5] ${\displaystyle x\geq 1}$

${\displaystyle \sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{n}}=\log x+O(1).}$

Кроме того, существуют положительные константы c ₁ и c ₂ такие, что

${\displaystyle \psi (x)\leq c_{1}x,}$

для всех , и ${\displaystyle x\geq 1}$

${\displaystyle \psi (x)\geq c_{2}x,}$

для всех достаточно больших x .

ряд Дирихле

Функция Мангольдта играет важную роль в теории рядов Дирихле , и в частности, дзета-функции Римана . Например, можно иметь

${\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}\,{\frac {1}{n^{s}}},\qquad {\text{Re}}(s)>1.}$

Логарифмическая производная тогда равна ^[6]

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}.}$

Это частные случаи более общего соотношения в рядах Дирихле. Если есть

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$

для полностью мультипликативной функции f ( n ) и ряд сходится при Re( s ) > σ ₀ , то

${\displaystyle {\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}}$

сходится при Re( s ) > σ ₀ .

функция Чебышева

Вторая функция Чебышева ψ ( x ) является суммирующей функцией функции Мангольдта: ^[7]

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\ .}$

Он был введен Пафнутием Чебышевым, который использовал его, чтобы показать, что истинный порядок функции подсчета простых чисел равен . Фон Мангольдт предоставил строгое доказательство явной формулы для ψ ( x ), включающей сумму по нетривиальным нулям дзета-функции Римана . Это было важной частью первого доказательства теоремы о простых числах . ${\displaystyle \pi (x)}$ ${\displaystyle x/\log x}$

Преобразование Меллина функции Чебышева можно найти, применив формулу Перрона :

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\psi (x)}{x^{s+1}}}\,dx}$

что справедливо для Re( s ) > 1 .

Экспоненциальный ряд

Харди и Литтлвуд исследовали серию ^[8]

${\displaystyle F(y)=\sum _{n=2}^{\infty }\left(\Lambda (n)-1\right)e^{-ny}}$

в пределе y → 0 ⁺ . Предполагая гипотезу Римана , они показывают, что

${\displaystyle F(y)=O\left({\frac {1}{\sqrt {y}}}\right)\quad {\text{and}}\quad F(y)=\Omega _{\pm }\left({\frac {1}{\sqrt {y}}}\right)}$

В частности, эта функция является колебательной с расходящимися колебаниями : существует значение K > 0 такое, что оба неравенства

${\displaystyle F(y)<-{\frac {K}{\sqrt {y}}},\quad {\text{ and }}\quad F(z)>{\frac {K}{\sqrt {z}}}}$

выполняются бесконечно часто в любой окрестности 0. График справа показывает, что это поведение на первый взгляд не является численно очевидным: колебания не видны четко, пока ряд не будет просуммирован более чем по 100 миллионам членов, и хорошо видны только при ^y < 10−5 .

Рисс среднее

Среднее значение Рисса функции фон Мангольдта определяется выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }\Lambda (n)&=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}\lambda ^{s}ds\\&={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{\rho }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (\rho )}{\Gamma (1+\delta +\rho )}}+\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}.\end{aligned}}}$

Здесь λ и δ — числа, характеризующие среднее Рисса. Нужно взять c > 1. Сумма по ρ — это сумма по нулям дзета-функции Римана, а

${\displaystyle \sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}\,}$

можно показать, что это сходящийся ряд при λ > 1 .

Аппроксимация нулями дзета-функции Римана

Первая нулевая дзета-волна Римана в сумме, которая аппроксимирует функцию фон Мангольдта

Существует явная формула для суммирующей функции Мангольдта, заданная ^[9] ${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle \psi (x)=x-\sum _{\zeta (\rho )=0}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log(2\pi ).}$

Если мы выделим тривиальные нули дзета-функции, которые являются отрицательными четными целыми числами, то получим

${\displaystyle \psi (x)=x-\sum _{\zeta (\rho )=0,\ 0<\Re (\rho )<1}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log(2\pi )-{\frac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).}$

(Сумма не является абсолютно сходящейся, поэтому мы берем нули в порядке абсолютного значения их мнимой части.)

В противоположном направлении в 1911 г. Э. Ландау доказал, что при любом фиксированном t > 1 ^[10]

${\displaystyle \sum _{0<\gamma \leq T}t^{\rho }={\frac {-T}{2\pi }}\Lambda (t)+{\mathcal {O}}(\log T)}$

(Мы используем обозначение ρ = β + iγ для нетривиальных нулей дзета-функции.)

(Слева) Функция фон Мангольдта, аппроксимированная нулевыми дзета-волнами. (Справа) Преобразование Фурье функции фон Мангольдта дает спектр с мнимыми частями нулей дзета Римана в виде пиков.

Следовательно, если мы используем обозначение Римана α = −i(ρ − 1/2), то получим, что сумма по нетривиальным нулям дзета выражается как

${\displaystyle \lim _{T\rightarrow +\infty }{\frac {1}{T}}\sum _{0<\gamma \leq T}\cos(\alpha \log t)=-{\frac {\Lambda (t)}{2\pi {\sqrt {t}}}}}$

пики в простых числах и степенях простых чисел.

Преобразование Фурье функции фон Мангольдта дает спектр с пиками на ординатах, равных мнимым частям нулей дзета-функции Римана. Иногда это называют дуальностью.

Обобщенная функция фон Мангольдта

Функции

${\displaystyle \Lambda _{k}(n)=\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\log ^{k}(n/d),}$

где обозначает функцию Мёбиуса , а обозначает положительное целое число, обобщают функцию фон Мангольдта. ^[11] Функция является обычной функцией фон Мангольдта . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Lambda _{1}}$ ${\displaystyle \Lambda }$

Смотрите также

• Функция подсчета простых чисел

Ссылки

1. Апостол (1976) стр.32
2. Tenenbaum (1995) стр.30
3. Апостол (1976) стр.33
4. Шредер, Манфред Р. (1997). Теория чисел в науке и коммуникации. С приложениями в криптографии, физике, цифровой информации, вычислениях и самоподобии . Springer Series in Information Sciences. Vol. 7 (3rd ed.). Berlin: Springer-Verlag . ISBN 3-540-62006-0. Збл  0997.11501.
5. Апостол (1976) стр.88
6. Харди и Райт (2008) §17.7, Теорема 294
7. Апостол (1976) стр.246
8. Hardy, GH & Littlewood, JE (1916). "Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes" (PDF) . Acta Mathematica . 41 : 119–196. doi : 10.1007/BF02422942 . Архивировано из оригинала (PDF) 2012-02-07 . Получено 2014-07-03 .
9. Conrey, J. Brian (март 2003 г.). «Гипотеза Римана» (PDF) . Notices Am. Math. Soc . 50 (3): 341–353. Zbl  1160.11341. Страница 346
10. Э. Ландау, Über die Nullstellen der Zetafunktion, Math. Аннален 71 (1911), 548–564.
11. Iwaniec, Henryk ; Friedlander, John (2010), Opera de cribro , American Mathematical Society Colloquium Publications, т. 57, Providence, RI: American Mathematical Society , стр. 23, ISBN 978-0-8218-4970-5, г-н  2647984

• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Бакалаврские тексты по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR  0434929, Zbl  0335.10001
• Харди, GH ; Райт, EM (2008) [1938]. Хит-Браун, DR ; Сильверман, JH (ред.). Введение в теорию чисел (6-е изд.). Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921985-8. MR  2445243. Zbl  1159.11001.

• Tenebaum, Gérald (1995). Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 46. Перевод CB Thomas. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-41261-7. Збл  0831.11001.

Внешние ссылки

• Аллан Гут, Некоторые замечания о дзета-распределении Римана (2005)
• С.А. Степанов (2001) [1994], "Функция Мангольдта", Энциклопедия математики , Издательство EMS
• Хайке, Как построить нулевой спектр дзета-нуля Римана в системе Mathematica? (2012)