Анализ устойчивости по фон Нейману

Процедура численного анализа

В численном анализе анализ устойчивости фон Неймана (также известный как анализ устойчивости Фурье) представляет собой процедуру, используемую для проверки устойчивости конечно -разностных схем применительно к линейным уравнениям в частных производных . ^[1] Анализ основан на разложении Фурье численной ошибки и был разработан в Лос-Аламосской национальной лаборатории после того, как был кратко описан в статье 1947 года британскими исследователями Джоном Крэнк и Филлис Николсон . ^[2] Этот метод является примером явного интегрирования по времени , где функция, определяющая основное уравнение, оценивается в текущий момент времени. Позднее метод получил более строгое рассмотрение в статье ^[3], соавтором которой был Джон фон Нейман .

Численная стабильность

Устойчивость численных схем тесно связана с численной ошибкой . Конечно-разностная схема устойчива, если ошибки, сделанные на одном временном шаге расчета, не приводят к увеличению ошибок по мере продолжения вычислений. Нейтрально устойчивая схема — это схема, в которой ошибки остаются постоянными по мере продолжения вычислений. Если ошибки затухают и в конечном итоге затухают, численная схема называется устойчивой. Если, наоборот, ошибки растут со временем, численная схема называется неустойчивой. Устойчивость численных схем можно исследовать, выполняя анализ устойчивости по фон Нейману. Для задач, зависящих от времени, устойчивость гарантирует, что численный метод дает ограниченное решение всякий раз, когда решение точного дифференциального уравнения ограничено. Устойчивость, в общем, может быть трудно исследовать, особенно когда рассматриваемое уравнение является нелинейным .

В некоторых случаях устойчивость по фон Нейману необходима и достаточна для устойчивости в смысле Лакса–Рихтмайера (как это используется в теореме эквивалентности Лакса ): модели УЧП и конечно-разностной схемы являются линейными; УЧП является постоянным коэффициентом с периодическими граничными условиями и имеет только две независимые переменные; и схема использует не более двух временных уровней. ^[4] Устойчивость по фон Нейману необходима в гораздо более широком диапазоне случаев. Она часто используется вместо более подробного анализа устойчивости, чтобы обеспечить хорошее предположение об ограничениях (если таковые имеются) на размеры шагов, используемых в схеме, из-за ее относительной простоты.

Иллюстрация метода

Метод фон Неймана основан на разложении ошибок в ряд Фурье . Для иллюстрации процедуры рассмотрим одномерное уравнение теплопроводности, определенное на пространственном интервале , с обозначениями, где — конкретные значения x , а — последовательность значений t . $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$$ ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle u_{j}^{n}=u(x_{j},t^{n})}$$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle t^{n}}$

Мы можем дискретизировать уравнение теплопроводности ^[5] как

где $${\displaystyle r={\frac {\alpha \,\Delta t}{\left(\Delta x\right)^{2}}}}$$

Тогда решение дискретного уравнения приближает аналитическое решение уравнения в частных производных на сетке. ${\displaystyle u_{j}^{n}}$ ${\displaystyle u(x,t)}$

Определим ошибку округления как , где — решение дискретизированного уравнения ( 1 ), которое было бы вычислено при отсутствии ошибки округления, а — численное решение, полученное в арифметике конечной точности . Поскольку точное решение должно точно удовлетворять дискретизированному уравнению, ошибка также должна удовлетворять дискретизированному уравнению. ^[6] Здесь мы предположили, что также удовлетворяет уравнению (это верно только в машинной точности). Таким образом, ${\displaystyle \epsilon _{j}^{n}}$ $${\displaystyle \epsilon _{j}^{n}=N_{j}^{n}-u_{j}^{n}}$$ ${\displaystyle u_{j}^{n}}$ ${\displaystyle N_{j}^{n}}$ ${\displaystyle u_{j}^{n}}$ ${\displaystyle \epsilon _{j}^{n}}$ ${\displaystyle N_{j}^{n}}$

является рекуррентным соотношением для ошибки. Уравнения ( 1 ) и ( 2 ) показывают, что как ошибка, так и численное решение имеют одинаковое поведение роста или убывания по времени. Для линейных дифференциальных уравнений с периодическими граничными условиями пространственное изменение ошибки может быть разложено в конечный ряд Фурье по , в интервале , как ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L}$

где волновое число с и . Зависимость ошибки от времени учитывается путем предположения, что амплитуда ошибки является функцией времени. Часто делается предположение, что ошибка растет или убывает экспоненциально со временем, но это не является необходимым для анализа устойчивости. ${\displaystyle k_{m}={\frac {\pi m}{L}}}$ ${\displaystyle m=-M,\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots ,M}$ ${\displaystyle M=L/\Delta x}$ ${\displaystyle E_{m}}$

Если граничное условие не является периодическим, то мы можем использовать конечный интеграл Фурье относительно : ${\displaystyle x}$

Поскольку разностное уравнение для погрешности линейно (поведение каждого члена ряда такое же, как и самого ряда), достаточно рассмотреть рост погрешности типичного члена:

если используется ряд Фурье или

если используется интеграл Фурье.

Поскольку ряд Фурье можно считать частным случаем интеграла Фурье, то продолжим изложение, используя выражения для интеграла Фурье.

Характеристики устойчивости можно изучать, используя только эту форму для ошибки без потери общности. Чтобы узнать, как ошибка изменяется с течением времени, подставьте уравнение ( 5b ) в уравнение ( 2 ), заметив, что для получения (после упрощения) $${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon _{j}^{n}&=E_{m}(t)e^{ik_{m}x}\\\epsilon _{j}^{n+1}&=E_{m}(t+\Delta t)e^{ik_{m}x}\\\epsilon _{j+1}^{n}&=E_{m}(t)e^{ik_{m}(x+\Delta x)}\\\epsilon _{j-1}^{n}&=E_{m}(t)e^{ik_{m}(x-\Delta x)},\end{aligned}}}$$

Вводя и используя тождества, уравнение ( 6 ) можно записать в виде ${\displaystyle \theta =k_{m}\Delta x\in [-\pi ,\pi ]}$ $${\displaystyle \sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {e^{i\theta /2}-e^{-i\theta /2}}{2i}}\qquad \rightarrow \qquad \sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)=-{\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }-2}{4}}}$$

Определить коэффициент усиления

Необходимым и достаточным условием для того, чтобы ошибка оставалась ограниченной, является то, что Таким образом, из уравнений ( 7 ) и ( 8 ) условие устойчивости задается выражением ${\displaystyle |G|\leq 1.}$

Обратите внимание, что член всегда положительный. Таким образом, чтобы удовлетворить уравнению ( 9 ): ${\displaystyle 4r\sin ^{2}(\theta /2)}$

Для того, чтобы вышеуказанное условие выполнялось для всех (и, следовательно, для всех ). Наибольшее значение, которое может принять синусоидальный член, равно 1, и для этого конкретного выбора, если верхнее пороговое условие выполняется, то так же будет и для всех точек сетки, таким образом, мы имеем ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \sin ^{2}(\theta /2)}$

Уравнение ( 11 ) дает требование устойчивости для схемы FTCS применительно к одномерному уравнению теплопроводности. Оно говорит, что для заданного допустимое значение должно быть достаточно малым, чтобы удовлетворить уравнению ( 10 ). ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta t}$

Подобный анализ показывает, что схема FTCS для линейной адвекции безусловно неустойчива.

Ссылки

1. Анализ численных методов Э. Айзексона, Х.Б. Келлера
2. Crank, J.; Nicolson, P. (1947), "Практический метод численной оценки решений уравнений с частными производными типа теплопроводности", Proc. Camb. Phil. Soc. , 43 : 50–67, doi : 10.1007/BF02127704
3. Чарни, Дж.Г.; Фьёртофт, Р.; фон Нейман, Дж. (1950), «Численное интегрирование уравнения баротропной завихренности», Tellus , 2 (4): 237–254, doi : 10.3402/tellusa.v2i4.8607
4. Смит, Г.Д. (1985), Численное решение уравнений с частными производными: методы конечных разностей, 3-е изд. , стр. 67–68.
5. в этом случае, используя схему дискретизации FTCS
6. Андерсон, Дж. Д. Мл. (1994). Вычислительная гидродинамика: основы и приложения . McGraw Hill .