Vorlesungen über Zahlentheorie (немецкое произношение: [ˈfoːɐ̯ˌleːzʊŋən ˈyːbɐ ˈtsaːlənteoˌʁiː] ; немецкое дляЛекции по теории чисел) — название нескольких различных учебников потеории чисел. Самый известный был написанПетером Густавом Леженом ДирихлеиРихардом Дедекиндоми опубликован в 1863 году. Другие были написаныЛеопольдом Кронекером,Эдмундом ЛандауиГельмутом Хассе. Все они охватывают элементарную теорию чисел, теорему Дирихле, квадратичные поля и формы, а иногда и более сложные темы.
Основанные на курсе теории чисел Дирихле в Гёттингенском университете , Vorlesungen были отредактированы Дедекиндом и опубликованы после смерти Лежена Дирихле. Дедекинд добавил несколько приложений к Vorlesungen , в которых он собрал дальнейшие результаты Лежена Дирихле, а также развил свои собственные оригинальные математические идеи.
Vorlesungen охватывают темы элементарной теории чисел, алгебраической теории чисел и аналитической теории чисел , включая модульную арифметику , квадратичные сравнения, квадратичный закон взаимности и бинарные квадратичные формы .
Содержание перевода Vorlesungen , выполненного профессором Джоном Стиллвеллом в 1999 году, следующее:
В этот перевод не включены Дополнения X и XI Дедекинда, в которых он начинает разрабатывать теорию идеалов .
Немецкие названия приложений X и XI:
Главы 1–4 охватывают схожие темы с Disquisitiones Arithmeticae Гаусса , а Дедекинд добавил сноски, которые специально ссылаются на соответствующие разделы Disquisitiones . Эти главы можно рассматривать как резюме существующих знаний, хотя Дирихле упрощает изложение Гаусса и в некоторых местах вводит собственные доказательства.
Глава 5 содержит вывод Дирихле формулы числа классов для действительных и мнимых квадратичных полей . Хотя другие математики предполагали подобные формулы, Дирихле дал первое строгое доказательство.
Приложение VI содержит доказательство Дирихле того, что арифметическая прогрессия вида a + nd , где a и d взаимно просты, содержит бесконечное число простых чисел.
Vorlesungen можно рассматривать как водораздел между классической теорией чисел Ферма , Якоби и Гаусса и современной теорией чисел Дедекинда, Римана и Гильберта . Дирихле явно не признает концепцию группы , которая является центральной для современной алгебры , но многие из его доказательств показывают неявное понимание теории групп.
Vorlesungen содержит два ключевых результата в теории чисел, которые впервые были доказаны Дирихле. Первый из них — это формулы чисел классов для бинарных квадратичных форм. Второй — доказательство того, что арифметические прогрессии содержат бесконечное число простых чисел (известное как теорема Дирихле ); это доказательство вводит L-ряды Дирихле . Эти результаты являются важными вехами в развитии аналитической теории чисел.
Книга Леопольда Кронекера была впервые опубликована в 1901 году в двух частях и переиздана издательством Springer в 1978 году. Она охватывает элементарную и алгебраическую теорию чисел, включая теорему Дирихле.
Книга Эдмунда Ландау Vorlesungen über Zahlentheorie была впервые опубликована в виде трехтомника в 1927 году. Первая половина первого тома была опубликована как Vorlesungen über Zahlentheorie. Aus der elementare Zahlentheorie в 1950 году, с английским переводом в 1958 году под названием «Элементарная теория чисел» . В 1969 году «Челси» переиздал вторую половину первого тома вместе с томами 2 и 3 как один том.
Том 1 по элементарной и аддитивной теории чисел включает такие темы, как теорема Дирихле, решето Бруна, бинарные квадратичные формы, гипотеза Гольдбаха, проблема Варинга и работа Харди–Литтлвуда о сингулярных рядах. Том 2 охватывает темы аналитической теории чисел, такие как оценки погрешности в теореме о простых числах, и темы геометрической теории чисел, такие как оценка числа точек решетки. Том 3 охватывает алгебраическую теорию чисел, включая теорию идеалов, квадратичные числовые поля и приложения к последней теореме Ферма. Многие из результатов, описанных Ландау, были современными в то время, но с тех пор были заменены более сильными результатами.
Книга Гельмута Хассе Vorlesungen über Zahlentheorie была опубликована в 1950 году и отличается от его книги Zahlentheorie и является более элементарной . Он охватывает элементарную теорию чисел, теорему Дирихле и квадратичные поля.