В теории категорий слабая n -категория является обобщением понятия строгой n -категории , где композиция и тождества не являются строго ассоциативными и единичными, а только ассоциативными и единичными вплоть до когерентной эквивалентности. Это обобщение становится заметным только в измерениях два и выше, где слабые 2-, 3- и 4-категории обычно называются бикатегориями , трикатегориями и тетракатегориями . Предмет слабых n -категорий является областью текущих исследований.
Проведено много работы по определению того, какими должны быть законы когерентности для слабых n -категорий. Слабые n -категории стали основным объектом изучения в теории высших категорий . В основном существуют два класса теорий: те, в которых высшие ячейки и высшие композиции реализуются алгебраически (наиболее примечательна теория слабых высших категорий Михаила Батанина), и те, в которых используются более топологические модели (например, высшая категория как симплициальное множество, удовлетворяющее некоторым свойствам универсальности).
В терминологии Джона Баеза и Джеймса Долана ( n , k )-категория является слабой n -категорией, такой, что все h -клетки для h > k обратимы. Некоторые формализмы для ( n , k )-категорий намного проще, чем для общих n -категорий. В частности, сейчас известно несколько технически доступных формализмов (бесконечность, 1)-категорий . Сейчас самый популярный такой формализм основан на понятии квазикатегории , другие подходы включают правильно понимаемую теорию симплициально обогащенных категорий и подход через категории Сигала; класс примеров стабильных (бесконечность, 1)-категорий может быть смоделирован (в случае нулевых характеристик) также через предтриангулированные A-бесконечностные категории Максима Концевича . Категории модели Квиллена рассматриваются как представление (бесконечность, 1)-категории ; Однако не все (бесконечность, 1)-категории могут быть представлены через модельные категории.