модель Уиттекера

В математике — представление редуктивной алгебраической группы.

В теории представлений , разделе математики, модель Уиттекера является реализацией представления редуктивной алгебраической группы , такой как GL ₂ над конечным или локальным или глобальным полем на пространстве функций на группе. Она названа в честь ET Whittaker , хотя он никогда не работал в этой области, поскольку (Jacquet 1966, 1967) указал, что для группы SL ₂ ( R ) некоторые из функций, участвующих в представлении, являются функциями Уиттекера .

Неприводимые представления без модели Уиттекера иногда называются «вырожденными», а те, у которых есть модель Уиттекера, иногда называются «генерическими». Представление θ 10 симплектической группы Sp ₄ является простейшим примером вырожденного представления.

Модели Whittaker для GL2

Если G — алгебраическая группа GL2 _, F — локальное поле, τ — фиксированный нетривиальный характер аддитивной группы F , а π — неприводимое представление общей линейной группы G ( F ), то модель Уиттекера для π — это представление π на пространстве функций ƒ на G ( F ), удовлетворяющее

${\displaystyle f\left({\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}g\right)=\tau (b)f(g).}$

Жаке и Ленглендс (1970) использовали модели Уиттекера для назначения L-функций допустимым представлениям GL ₂ .

Модели Whittaker для GLн

Пусть — общая линейная группа , гладкий комплекснозначный нетривиальный аддитивный характер и подгруппа из , состоящая из унипотентных верхних треугольных матриц. Невырожденный характер на имеет вид ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \chi (u)=\psi (\alpha _{1}x_{12}+\alpha _{2}x_{23}+\cdots +\alpha _{n-1}x_{n-1n}),}$

для ∈ и ненулевого ∈ . Если — гладкое представление , функционал Уиттекера — это непрерывный линейный функционал на такой, что для всех ∈ , ∈ . Кратность один утверждает, что для унитарных неприводимых пространство функционалов Уиттекера имеет размерность, не превышающую единицу. ${\displaystyle u=(x_{ij})}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (\pi ,V)}$ ${\displaystyle G(F)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \lambda (\pi (u)v)=\chi (u)\lambda (v)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \pi }$

Модели Уиттекера для редуктивных групп

Если G — расщепляемая редуктивная группа, а U — унипотентный радикал подгруппы Бореля B , то модель Уиттекера для представления — это вложение ее в индуцированное ( Гельфанда–Граева ) представление Ind^Г
_У( χ ), где χ — невырожденный характер U , такой как сумма характеров, соответствующих простым корням.

Смотрите также

• Представление Гельфанда–Граева , грубо говоря, сумма моделей Уиттекера над конечным полем.
• модель Кириллова

Ссылки

• Жаке, Эрве (1966), «Геометрическая интерпретация и обобщение функций Уиттакера в теории полупростых групп», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B , 262 : A943–A945, ISSN  0151-0509, МР  0200390
• Жаке, Эрве (1967), «Fonctions de Whittaker associées aux groupes de Chevalley», Bulletin de la Société Mathématique de France , 95 : 243–309, doi : 10.24033/bsmf.1654 , ISSN  0037-9484, MR  0271275
• Жаке, Х.; Ленглендс, Роберт П. (1970), Автоморфные формы на GL(2), Lecture Notes in Mathematics, т. 114, т. 114, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0058988, ISBN 978-3-540-04903-6, MR  0401654, S2CID  122773458
• JA Shalika, Теорема о кратности один для ${\displaystyle GL_{n}}$ , Анналы математики, 2-я серия, т. 100, № 2 (1974), 171-193.

Дальнейшее чтение

• Жаке, Эрве; Шалика, Джозеф (1983). «Модели Уиттекера индуцированных представлений». Pacific Journal of Mathematics . 109 (1): 107–120. doi : 10.2140/pjm.1983.109.107 . ISSN  0030-8730.