D-матрица Вигнера

Неприводимое представление группы вращений SO

D-матрица Вигнера — это унитарная матрица в неприводимом представлении групп SU(2) и SO(3) . Она была введена в 1927 году Юджином Вигнером и играет фундаментальную роль в квантово-механической теории углового момента. Комплексно сопряженная D-матрица является собственной функцией гамильтониана сферических и симметричных жестких роторов . Буква D обозначает Darstellung , что на немецком означает «представление».

Определение D-матрицы Вигнера

Пусть J _x , J _y , J _z будут генераторами алгебры Ли SU(2) и SO(3). В квантовой механике эти три оператора являются компонентами векторного оператора, известного как угловой момент . Примерами являются угловой момент электрона в атоме, электронный спин и угловой момент жесткого ротора .

Во всех случаях три оператора удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям :

${\displaystyle [J_{x},J_{y}]=iJ_{z},\quad [J_{z},J_{x}]=iJ_{y},\quad [J_{y},J_{z}]=iJ_{x},}$

где i — чисто мнимое число , а постоянная Планка ħ была положена равной единице. Оператор Казимира

${\displaystyle J^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}}$

коммутирует со всеми генераторами алгебры Ли. Следовательно, его можно диагонализировать вместе с J _z .

Это определяет сферический базис, используемый здесь. То есть, существует полный набор кетов (т.е. ортонормированный базис совместных собственных векторов, помеченных квантовыми числами, которые определяют собственные значения) с

${\displaystyle J^{2}|jm\rangle =j(j+1)|jm\rangle ,\quad J_{z}|jm\rangle =m|jm\rangle ,}$

где j = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, ... для SU(2) и j = 0, 1, 2, ... для SO(3). В обоих случаях m = − j , − j + 1, ..., j .

Оператор трехмерного вращения можно записать как

${\displaystyle {\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )=e^{-i\alpha J_{z}}e^{-i\beta J_{y}}e^{-i\gamma J_{z}},}$

где α , β , γ — углы Эйлера (характеризуются ключевыми словами: правило zyz, правосторонняя рамка, правило правого винта, активная интерпретация).

D-матрица Вигнера представляет собой унитарную квадратную матрицу размерности 2j + 1 в этом сферическом базисе с элементами

${\displaystyle D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )\equiv \langle jm'|{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|jm\rangle =e^{-im'\alpha }d_{m'm}^{j}(\beta )e^{-im\gamma },}$

где

${\displaystyle d_{m'm}^{j}(\beta )=\langle jm'|e^{-i\beta J_{y}}|jm\rangle =D_{m'm}^{j}(0,\beta ,0)}$

является элементом ортогональной (малой) d-матрицы Вигнера .

То есть, в этой основе,

${\displaystyle D_{m'm}^{j}(\alpha ,0,0)=e^{-im'\alpha }\delta _{m'm}}$

является диагональным, как и матричный фактор γ , но в отличие от приведенного выше фактора β .

Вигнер (маленькая) d-матрица

Вигнер дал следующее выражение: ^[1]

${\displaystyle d_{m'm}^{j}(\beta )=[(j+m')!(j-m')!(j+m)!(j-m)!]^{\frac {1}{2}}\sum _{s=s_{\mathrm {min} }}^{s_{\mathrm {max} }}\left[{\frac {(-1)^{m'-m+s}\left(\cos {\frac {\beta }{2}}\right)^{2j+m-m'-2s}\left(\sin {\frac {\beta }{2}}\right)^{m'-m+2s}}{(j+m-s)!s!(m'-m+s)!(j-m'-s)!}}\right].}$

Сумма по s берется по таким значениям, факториалы которых неотрицательны, т. е . , . ${\displaystyle s_{\mathrm {min} }=\mathrm {max} (0,m-m')}$ ${\displaystyle s_{\mathrm {max} }=\mathrm {min} (j+m,j-m')}$

Примечание: Элементы d-матрицы, определенные здесь, являются действительными. В часто используемом соглашении zxz углов Эйлера множитель в этой формуле заменяется, заставляя половину функций быть чисто мнимыми. Реальность элементов d-матрицы является одной из причин, по которой соглашение zyz, используемое в этой статье, обычно предпочтительнее в квантово-механических приложениях. ${\displaystyle (-1)^{m'-m+s}}$ ${\displaystyle (-1)^{s}i^{m-m'},}$

Элементы d-матрицы связаны с полиномами Якоби с неотрицательными и ^[2] Пусть ${\displaystyle P_{k}^{(a,b)}(\cos \beta )}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b.}$

${\displaystyle k=\min(j+m,j-m,j+m',j-m').}$

Если

${\displaystyle k={\begin{cases}j+m:&a=m'-m;\quad \lambda =m'-m\\j-m:&a=m-m';\quad \lambda =0\\j+m':&a=m-m';\quad \lambda =0\\j-m':&a=m'-m;\quad \lambda =m'-m\\\end{cases}}}$

Тогда, с отношением ${\displaystyle b=2j-2k-a,}$

${\displaystyle d_{m'm}^{j}(\beta )=(-1)^{\lambda }{\binom {2j-k}{k+a}}^{\frac {1}{2}}{\binom {k+b}{b}}^{-{\frac {1}{2}}}\left(\sin {\frac {\beta }{2}}\right)^{a}\left(\cos {\frac {\beta }{2}}\right)^{b}P_{k}^{(a,b)}(\cos \beta ),}$

где ${\displaystyle a,b\geq 0.}$

Полезно также рассмотреть соотношения , где и , которые приводят к: ${\displaystyle a=|m'-m|,b=|m'+m|,\lambda ={\frac {m-m'-|m-m'|}{2}},k=j-M}$ ${\displaystyle M=\max(|m|,|m'|)}$ ${\displaystyle N=\min(|m|,|m'|)}$

${\displaystyle d_{m'm}^{j}(\beta )=(-1)^{\frac {m-m'-|m-m'|}{2}}\left[{\frac {(j+M)!(j-M)!}{(j+N)!(j-N)!}}\right]^{\frac {1}{2}}\left(\sin {\frac {\beta }{2}}\right)^{|m-m'|}\left(\cos {\frac {\beta }{2}}\right)^{|m+m'|}P_{j-M}^{(|m-m'|,|m+m'|)}(\cos \beta ).}$

Свойства D-матрицы Вигнера

Комплексное сопряжение D-матрицы удовлетворяет ряду дифференциальных свойств, которые можно кратко сформулировать, введя следующие операторы с ${\displaystyle (x,y,z)=(1,2,3),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathcal {J}}}_{1}&=i\left(\cos \alpha \cot \beta {\frac {\partial }{\partial \alpha }}+\sin \alpha {\partial \over \partial \beta }-{\cos \alpha \over \sin \beta }{\partial \over \partial \gamma }\right)\\{\hat {\mathcal {J}}}_{2}&=i\left(\sin \alpha \cot \beta {\partial \over \partial \alpha }-\cos \alpha {\partial \over \partial \beta }-{\sin \alpha \over \sin \beta }{\partial \over \partial \gamma }\right)\\{\hat {\mathcal {J}}}_{3}&=-i{\partial \over \partial \alpha }\end{aligned}}}$

которые имеют квантово-механический смысл: это операторы углового момента жесткого ротора, фиксированные в пространстве .

Дальше,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathcal {P}}}_{1}&=i\left({\cos \gamma \over \sin \beta }{\partial \over \partial \alpha }-\sin \gamma {\partial \over \partial \beta }-\cot \beta \cos \gamma {\partial \over \partial \gamma }\right)\\{\hat {\mathcal {P}}}_{2}&=i\left(-{\sin \gamma \over \sin \beta }{\partial \over \partial \alpha }-\cos \gamma {\partial \over \partial \beta }+\cot \beta \sin \gamma {\partial \over \partial \gamma }\right)\\{\hat {\mathcal {P}}}_{3}&=-i{\partial \over \partial \gamma },\\\end{aligned}}}$

которые имеют квантово-механический смысл: это операторы момента импульса жесткого ротора, закрепленные на теле.

Операторы удовлетворяют коммутационным соотношениям

${\displaystyle \left[{\mathcal {J}}_{1},{\mathcal {J}}_{2}\right]=i{\mathcal {J}}_{3},\qquad {\hbox{and}}\qquad \left[{\mathcal {P}}_{1},{\mathcal {P}}_{2}\right]=-i{\mathcal {P}}_{3},}$

и соответствующие соотношения с индексами, переставленными циклически. Удовлетворяют аномальным коммутационным соотношениям (имеют знак минус в правой части). ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}}$

Два набора взаимно коммутируют,

${\displaystyle \left[{\mathcal {P}}_{i},{\mathcal {J}}_{j}\right]=0,\quad i,j=1,2,3,}$

и общие квадраты операторов равны,

${\displaystyle {\mathcal {J}}^{2}\equiv {\mathcal {J}}_{1}^{2}+{\mathcal {J}}_{2}^{2}+{\mathcal {J}}_{3}^{2}={\mathcal {P}}^{2}\equiv {\mathcal {P}}_{1}^{2}+{\mathcal {P}}_{2}^{2}+{\mathcal {P}}_{3}^{2}.}$

Их явная форма такова:

${\displaystyle {\mathcal {J}}^{2}={\mathcal {P}}^{2}=-{\frac {1}{\sin ^{2}\beta }}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \gamma ^{2}}}-2\cos \beta {\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha \partial \gamma }}\right)-{\frac {\partial ^{2}}{\partial \beta ^{2}}}-\cot \beta {\frac {\partial }{\partial \beta }}.}$

Операторы действуют на первый (строковый) индекс D-матрицы, ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {J}}_{3}D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}&=m'D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}\\({\mathcal {J}}_{1}\pm i{\mathcal {J}}_{2})D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}&={\sqrt {j(j+1)-m'(m'\pm 1)}}D_{m'\pm 1,m}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}\end{aligned}}}$

Операторы действуют на второй (столбцовый) индекс D-матрицы, ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{3}D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}=mD_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*},}$

и, из-за аномального коммутационного соотношения, повышающие/понижающие операторы определяются с обратными знаками,

${\displaystyle ({\mathcal {P}}_{1}\mp i{\mathcal {P}}_{2})D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}={\sqrt {j(j+1)-m(m\pm 1)}}D_{m',m\pm 1}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}.}$

Окончательно,

${\displaystyle {\mathcal {J}}^{2}D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}={\mathcal {P}}^{2}D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}=j(j+1)D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}.}$

Другими словами, строки и столбцы (комплексно-сопряженной) D-матрицы Вигнера охватывают неприводимые представления изоморфных алгебр Ли, порожденных и . ${\displaystyle \{{\mathcal {J}}_{i}\}}$ ${\displaystyle \{-{\mathcal {P}}_{i}\}}$

Важное свойство D-матрицы Вигнера следует из коммутации с оператором обращения времени T : ${\displaystyle {\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )}$

${\displaystyle \langle jm'|{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|jm\rangle =\langle jm'|T^{\dagger }{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )T|jm\rangle =(-1)^{m'-m}\langle j,-m'|{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|j,-m\rangle ^{*},}$

или

${\displaystyle D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )=(-1)^{m'-m}D_{-m',-m}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}.}$

Здесь мы использовали , что является антиунитарным (отсюда и комплексное сопряжение после перехода от кет к бра), и . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{\dagger }}$ ${\displaystyle T|jm\rangle =(-1)^{j-m}|j,-m\rangle }$ ${\displaystyle (-1)^{2j-m'-m}=(-1)^{m'-m}}$

Дальнейшая симметрия подразумевает

${\displaystyle (-1)^{m'-m}D_{mm'}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )=D_{m'm}^{j}(\gamma ,\beta ,\alpha )~.}$

Отношения ортогональности

Элементы D-матрицы Вигнера образуют набор ортогональных функций углов Эйлера и : ${\displaystyle D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }d\alpha \int _{0}^{\pi }d\beta \sin \beta \int _{0}^{2\pi }d\gamma \,\,D_{m'k'}^{j'}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{\ast }D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )={\frac {8\pi ^{2}}{2j+1}}\delta _{m'm}\delta _{k'k}\delta _{j'j}.}$

Это частный случай соотношений ортогональности Шура .

Что особенно важно, по теореме Петера–Вейля они образуют полный набор.

Тот факт, что являются матричными элементами унитарного преобразования из одного сферического базиса в другой, отражается соотношениями: ^[3] ${\displaystyle D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )}$ ${\displaystyle |lm\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|lm\rangle }$

${\displaystyle \sum _{k}D_{m'k}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )=\delta _{m,m'},}$

${\displaystyle \sum _{k}D_{km'}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}D_{km}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )=\delta _{m,m'}.}$

Характеры группы для SU(2) зависят только от угла поворота β , являясь функциями класса , поэтому, независимо от осей вращения,

${\displaystyle \chi ^{j}(\beta )\equiv \sum _{m}D_{mm}^{j}(\beta )=\sum _{m}d_{mm}^{j}(\beta )={\frac {\sin \left({\frac {(2j+1)\beta }{2}}\right)}{\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)}},}$

и, следовательно, удовлетворяют более простым соотношениям ортогональности через меру Хаара группы, ^[4]

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }d\beta \sin ^{2}\left({\frac {\beta }{2}}\right)\chi ^{j}(\beta )\chi ^{j'}(\beta )=\delta _{j'j}.}$

Соотношение полноты (выведенное в той же ссылке, (3.95)) равно

${\displaystyle \sum _{j}\chi ^{j}(\beta )\chi ^{j}(\beta ')=\delta (\beta -\beta '),}$

откуда, для ${\displaystyle \beta '=0,}$

${\displaystyle \sum _{j}\chi ^{j}(\beta )(2j+1)=\delta (\beta ).}$

Кронекеровское произведение D-матриц Вигнера, ряд Клебша – Гордана.

Набор матриц произведений Кронекера

${\displaystyle \mathbf {D} ^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )\otimes \mathbf {D} ^{j'}(\alpha ,\beta ,\gamma )}$

образует приводимое матричное представление групп SO(3) и SU(2). Редукция на неприводимые компоненты осуществляется следующим уравнением: ^[3]

${\displaystyle D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )D_{m'k'}^{j'}(\alpha ,\beta ,\gamma )=\sum _{J=|j-j'|}^{j+j'}\langle jmj'm'|J\left(m+m'\right)\rangle \langle jkj'k'|J\left(k+k'\right)\rangle D_{\left(m+m'\right)\left(k+k'\right)}^{J}(\alpha ,\beta ,\gamma )}$

Символ — коэффициент Клебша–Гордана . ${\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}m_{3}\rangle }$

Связь со сферическими гармониками и полиномами Лежандра

Для целых значений элементы D-матрицы со вторым индексом, равным нулю, пропорциональны сферическим гармоникам и связанным с ними полиномам Лежандра , нормализованным к единице и с соглашением о фазах Кондона и Шортли: ${\displaystyle l}$

${\displaystyle D_{m0}^{\ell }(\alpha ,\beta ,\gamma )={\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell }^{m*}(\beta ,\alpha )={\sqrt {\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\beta })\,e^{-im\alpha }.}$

Это подразумевает следующее соотношение для d-матрицы:

${\displaystyle d_{m0}^{\ell }(\beta )={\sqrt {\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\beta }).}$

Вращение сферических гармоник тогда фактически является композицией двух вращений, ${\displaystyle \langle \theta ,\phi |\ell m'\rangle }$

${\displaystyle \sum _{m'=-\ell }^{\ell }Y_{\ell }^{m'}(\theta ,\phi )~D_{m'~m}^{\ell }(\alpha ,\beta ,\gamma ).}$

Когда оба индекса установлены в ноль, элементы D-матрицы Вигнера задаются обычными полиномами Лежандра :

${\displaystyle D_{0,0}^{\ell }(\alpha ,\beta ,\gamma )=d_{0,0}^{\ell }(\beta )=P_{\ell }(\cos \beta ).}$

В настоящей конвенции углов Эйлера, является продольным углом, а является колатитудным углом (сферические полярные углы в физическом определении таких углов). Это одна из причин, по которой соглашение z - y - z часто используется в молекулярной физике. Из свойства обращения времени D-матрицы Вигнера немедленно следует ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \left(Y_{\ell }^{m}\right)^{*}=(-1)^{m}Y_{\ell }^{-m}.}$

Существует более общая связь со спин-взвешенными сферическими гармониками :

${\displaystyle D_{ms}^{\ell }(\alpha ,\beta ,-\gamma )=(-1)^{s}{\sqrt {\frac {4\pi }{2{\ell }+1}}}{}_{s}Y_{\ell }^{m}(\beta ,\alpha )e^{is\gamma }.}$^[5]

Связь с вероятностью перехода при вращениях

Абсолютный квадрат элемента D-матрицы,

${\displaystyle F_{mm'}(\beta )=|D_{mm'}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )|^{2},}$

дает вероятность того, что система со спином, приготовленная в состоянии с проекцией спина вдоль некоторого направления, будет измерена так, чтобы иметь проекцию спина вдоль второго направления под углом к ​​первому направлению. Сам набор величин образует действительную симметричную матрицу, которая зависит только от угла Эйлера , как указано. ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m'}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle F_{mm'}}$ ${\displaystyle \beta }$

Примечательно, что задача собственных значений для матрицы может быть решена полностью: ^{[6] [7]} ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \sum _{m'=-j}^{j}F_{mm'}(\beta )f_{\ell }^{j}(m')=P_{\ell }(\cos \beta )f_{\ell }^{j}(m)\qquad (\ell =0,1,\ldots ,2j).}$

Здесь собственный вектор, , представляет собой масштабированный и сдвинутый дискретный полином Чебышёва , а соответствующее собственное значение, , является полиномом Лежандра. ${\displaystyle f_{\ell }^{j}(m)}$ ${\displaystyle P_{\ell }(\cos \beta )}$

Связь с функциями Бесселя

В пределе, когда мы имеем ${\displaystyle \ell \gg m,m^{\prime }}$

${\displaystyle D_{mm'}^{\ell }(\alpha ,\beta ,\gamma )\approx e^{-im\alpha -im'\gamma }J_{m-m'}(\ell \beta )}$

где — функция Бесселя , конечна. ${\displaystyle J_{m-m'}(\ell \beta )}$ ${\displaystyle \ell \beta }$

Список элементов d-матрицы

Используя соглашение о знаках Вигнера и др., элементы d-матрицы для j = 1/2, 1, 3/2 и 2 приведены ниже. ${\displaystyle d_{m'm}^{j}(\theta )}$

Для j = 1/2

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{\frac {1}{2}}&=\cos {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}^{\frac {1}{2}}&=-\sin {\frac {\theta }{2}}\end{aligned}}}$

Для j = 1

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{1,1}^{1}&={\frac {1}{2}}(1+\cos \theta )\\[6pt]d_{1,0}^{1}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\sin \theta \\[6pt]d_{1,-1}^{1}&={\frac {1}{2}}(1-\cos \theta )\\[6pt]d_{0,0}^{1}&=\cos \theta \end{aligned}}}$

Для j = 3/2

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{{\frac {3}{2}},{\frac {3}{2}}}^{\frac {3}{2}}&={\frac {1}{2}}(1+\cos \theta )\cos {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {3}{2}},{\frac {1}{2}}}^{\frac {3}{2}}&=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}(1+\cos \theta )\sin {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {3}{2}},-{\frac {1}{2}}}^{\frac {3}{2}}&={\frac {\sqrt {3}}{2}}(1-\cos \theta )\cos {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {3}{2}},-{\frac {3}{2}}}^{\frac {3}{2}}&=-{\frac {1}{2}}(1-\cos \theta )\sin {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{\frac {3}{2}}&={\frac {1}{2}}(3\cos \theta -1)\cos {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}^{\frac {3}{2}}&=-{\frac {1}{2}}(3\cos \theta +1)\sin {\frac {\theta }{2}}\end{aligned}}}$

Для j = 2 ^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{2,2}^{2}&={\frac {1}{4}}\left(1+\cos \theta \right)^{2}\\[6pt]d_{2,1}^{2}&=-{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(1+\cos \theta \right)\\[6pt]d_{2,0}^{2}&={\sqrt {\frac {3}{8}}}\sin ^{2}\theta \\[6pt]d_{2,-1}^{2}&=-{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(1-\cos \theta \right)\\[6pt]d_{2,-2}^{2}&={\frac {1}{4}}\left(1-\cos \theta \right)^{2}\\[6pt]d_{1,1}^{2}&={\frac {1}{2}}\left(2\cos ^{2}\theta +\cos \theta -1\right)\\[6pt]d_{1,0}^{2}&=-{\sqrt {\frac {3}{8}}}\sin 2\theta \\[6pt]d_{1,-1}^{2}&={\frac {1}{2}}\left(-2\cos ^{2}\theta +\cos \theta +1\right)\\[6pt]d_{0,0}^{2}&={\frac {1}{2}}\left(3\cos ^{2}\theta -1\right)\end{aligned}}}$

Элементы d-матрицы Вигнера с переставленными нижними индексами находятся с помощью соотношения:

${\displaystyle d_{m',m}^{j}=(-1)^{m-m'}d_{m,m'}^{j}=d_{-m,-m'}^{j}.}$

Симметрии и особые случаи

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{m',m}^{j}(\pi )&=(-1)^{j-m}\delta _{m',-m}\\[6pt]d_{m',m}^{j}(\pi -\beta )&=(-1)^{j+m'}d_{m',-m}^{j}(\beta )\\[6pt]d_{m',m}^{j}(\pi +\beta )&=(-1)^{j-m}d_{m',-m}^{j}(\beta )\\[6pt]d_{m',m}^{j}(2\pi +\beta )&=(-1)^{2j}d_{m',m}^{j}(\beta )\\[6pt]d_{m',m}^{j}(-\beta )&=d_{m,m'}^{j}(\beta )=(-1)^{m'-m}d_{m',m}^{j}(\beta )\end{aligned}}}$

Смотрите также

• Коэффициенты Клебша–Гордана
• Оператор тензора
• Симметрии в квантовой механике

Ссылки

1. Вигнер, EP (1951) [1931]. Gruppentheorie und ihre Anwendungen auf die Quantenmechanik der Atomspectren . Брауншвейг: Vieweg Verlag. ОСЛК  602430512.Перевод на английский язык: Group Theory and its Application to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra. Перевод: Griffin, JJ Elsevier. 2013 [1959]. ISBN 978-1-4832-7576-5.
2. Biedenharn, LC; Louck, JD (1981). Угловой момент в квантовой физике . Чтение: Addison-Wesley. ISBN 0-201-13507-8.
3. Rose, Morris Edgar (1995) [1957]. Элементарная теория углового момента. Довер. ISBN 0-486-68480-6. OCLC  31374243.
4. Швингер, Дж. (26 января 1952 г.). Об угловом моменте (технический отчет). Гарвардский университет , Ассоциация ядерных разработок. doi :10.2172/4389568. NYO-3071, TRN: US200506%%295.
5. Шираиши, М. (2013). "Приложение A: Спин-взвешенная сферическая гармоническая функция" (PDF) . Исследование ранней Вселенной с помощью скалярного, векторного и тензорного биспектра реликтового излучения (PhD). Университет Нагои. С. 153–4. ISBN 978-4-431-54180-6.
6. Меклер, А. (1958). "Формула Майораны". Physical Review . 111 (6): 1447. doi :10.1103/PhysRev.111.1447.
7. Мермин, НД; Шварц, ГМ (1982). «Совместные распределения и локальный реализм в эксперименте Эйнштейна-Подольского-Розена с высшими спинами». Основы физики . 12 (2): 101. doi :10.1007/BF00736844. S2CID  121648820.
8. Эден, М. (2003). «Компьютерное моделирование в твердотельном ЯМР. I. Теория динамики спина». Концепции магнитного резонанса , часть A. 17A (1): 117–154. doi :10.1002/cmr.a.10061.

Внешние ссылки

• Амслер, К.; и др. (Particle Data Group) (2008). "PDG-таблица коэффициентов Клебша-Гордана, сферических гармоник и d-функций" (PDF) . Physics Letters B667 .