Теорема Вигнера–Эккарта

Теорема, используемая в квантовой механике для расчета углового момента

Теорема Вигнера –Эккарта — теорема теории представлений и квантовой механики . Она утверждает, что матричные элементы операторов сферического тензора в базисе собственных состояний углового момента могут быть выражены как произведение двух множителей, один из которых не зависит от ориентации углового момента, а другой — коэффициента Клебша–Гордана . Название происходит от физиков Юджина Вигнера и Карла Эккарта , которые разработали формализм как связь между группами преобразований симметрии пространства (применёнными к уравнениям Шрёдингера) и законами сохранения энергии, импульса и углового момента. ^[1]

Математически теорема Вигнера–Эккарта в общем случае формулируется следующим образом. При наличии тензорного оператора и двух состояний угловых моментов и существует константа такая, что для всех , и выполняется следующее уравнение: ${\displaystyle T^{(k)}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j'}$ ${\displaystyle \langle j\|T^{(k)}\|j'\rangle }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m'}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle \langle j\,m|T_{q}^{(k)}|j'\,m'\rangle =\langle j'\,m'\,k\,q|j\,m\rangle \langle j\|T^{(k)}\|j'\rangle ,}$

где

• ${\displaystyle T_{q}^{(k)}}$— q -й компонент сферического тензорного оператора ранга k , ^[2] ${\displaystyle T^{(k)}}$
• ${\displaystyle |jm\rangle }$обозначает собственное состояние полного углового момента J ² и его z -компоненты J _z ,
• ${\displaystyle \langle j'm'kq|jm\rangle }$— коэффициент Клебша–Гордана для связи j ′ с k для получения j ,
• ${\displaystyle \langle j\|T^{(k)}\|j'\rangle }$обозначает ^[3] некоторое значение, которое не зависит ни от m , ни от m ′ , ни от q и называется приведенным матричным элементом .

Теорема Вигнера–Эккарта действительно утверждает, что работа с оператором сферического тензора ранга k на собственном состоянии углового момента подобна добавлению состояния с угловым моментом k к состоянию. Матричный элемент, который можно найти для оператора сферического тензора, пропорционален коэффициенту Клебша–Гордана, который возникает при рассмотрении сложения двух угловых моментов. Если сформулировать это иначе, можно сказать, что теорема Вигнера–Эккарта — это теорема, которая рассказывает, как векторные операторы ведут себя в подпространстве. В пределах данного подпространства компонент векторного оператора будет вести себя пропорционально тому же компоненту оператора углового момента. Это определение дано в книге « Квантовая механика» Коэна–Таннуджи, Диу и Лало.

Предыстория и обзор

Мотивирующий пример: элементы матрицы оператора положения для перехода 4d → 2p

Допустим, мы хотим вычислить дипольные моменты перехода для электронного перехода с 4d на 2p орбиталь атома водорода, то есть матричные элементы вида , где r _i - это либо x , y , либо z компонент оператора положения , а m ₁ , m ₂ - магнитные квантовые числа , которые различают различные орбитали в пределах 2p или 4d подоболочки . Если мы сделаем это напрямую, то это потребует вычисления 45 различных интегралов: есть 3 возможности для m ₁ (−1, 0, 1), 5 возможностей для m ₂ (−2, −1, 0, 1, 2) и 3 возможности для i , так что общая сумма составляет 3 × 5 × 3 = 45. ${\displaystyle \langle 2p,m_{1}|r_{i}|4d,m_{2}\rangle }$

Теорема Вигнера–Эккарта позволяет получить ту же информацию после оценки только одного из этих 45 интегралов ( можно использовать любой из них, если он не равен нулю). Затем остальные 44 интеграла можно вывести из этого первого — без необходимости записывать какие-либо волновые функции или оценивать какие-либо интегралы — с помощью коэффициентов Клебша–Гордана , которые можно легко найти в таблице или вычислить вручную или на компьютере.

Качественное резюме доказательства

Теорема Вигнера–Эккарта работает, потому что все 45 из этих различных вычислений связаны друг с другом вращениями. Если электрон находится на одной из 2p-орбиталей, вращение системы, как правило, переместит его на другую 2p-орбиталь (обычно он окажется в квантовой суперпозиции всех трех базисных состояний, m  = +1, 0, −1). Аналогично, если электрон находится на одной из 4d-орбиталей, вращение системы переместит его на другую 4d-орбиталь. Наконец, аналогичное утверждение верно для оператора положения: когда система вращается, три различных компонента оператора положения эффективно меняются местами или смешиваются.

Если мы начнем со знания только одного из 45 значений (скажем, мы знаем, что ), а затем повернем систему, мы можем сделать вывод, что K также является матричным элементом между повернутым вариантом , повернутым вариантом и повернутым вариантом . Это дает алгебраическое соотношение, включающее K и некоторые или все 44 неизвестных матричных элемента. Различные вращения системы приводят к различным алгебраическим соотношениям, и оказывается, что имеется достаточно информации, чтобы вычислить все матричные элементы таким образом. ${\displaystyle \langle 2p,m_{1}|r_{i}|4d,m_{2}\rangle =K}$ ${\displaystyle \langle 2p,m_{1}|}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle |4d,m_{2}\rangle }$

(На практике, работая с этой математикой, мы обычно применяем операторы углового момента к состояниям, а не вращаем состояния. Но по сути это одно и то же из-за тесной математической связи между вращениями и операторами углового момента .)

С точки зрения теории репрезентации

Чтобы точнее сформулировать эти наблюдения и доказать их, полезно обратиться к математике теории представлений . Например, множество всех возможных 4d-орбиталей (т. е. 5 состояний m  = −2, −1, 0, 1, 2 и их квантовые суперпозиции ) образуют 5-мерное абстрактное векторное пространство . Вращение системы преобразует эти состояния друг в друга, так что это пример «группового представления», в данном случае 5-мерного неприводимого представления («irrep») группы вращений SU(2) или SO(3) , также называемого «представлением спина-2». Аналогично, квантовые состояния 2p образуют 3-мерный irrep (называемый «спин-1»), а компоненты оператора положения также образуют 3-мерный «спин-1» irrep.

Теперь рассмотрим матричные элементы . Оказывается, они преобразуются вращениями в соответствии с тензорным произведением этих трех представлений, то есть представлением спина 1 2p-орбиталей, представлением спина 1 компонентов r и представлением спина 2 4d-орбиталей. Это прямое произведение, 45-мерное представление SU(2), не является неприводимым представлением , вместо этого оно является прямой суммой представления спина 4, двух представлений спина 3, трех представлений спина 2, двух представлений спина 1 и представления спина 0 (т.е. тривиального). Ненулевые матричные элементы могут исходить только из подпространства спина 0. Теорема Вигнера–Эккарта работает, потому что разложение прямого произведения содержит одно и только одно подпространство спина 0, что подразумевает, что все матричные элементы определяются одним масштабным множителем. ${\displaystyle \langle 2p,m_{1}|r_{i}|4d,m_{2}\rangle }$

Помимо общего масштабного фактора, вычисление матричного элемента эквивалентно вычислению проекции соответствующего абстрактного вектора (в 45-мерном пространстве) на подпространство со спином 0. Результатом этого вычисления являются коэффициенты Клебша–Гордана . Ключевым качественным аспектом разложения Клебша–Гордана, который заставляет аргумент работать, является то, что в разложении тензорного произведения двух неприводимых представлений каждое неприводимое представление встречается только один раз. Это позволяет использовать лемму Шура . ^[4] ${\displaystyle \langle 2p,m_{1}|r_{i}|4d,m_{2}\rangle }$

Доказательство

Начиная с определения оператора сферического тензора , имеем

${\displaystyle [J_{\pm },T_{q}^{(k)}]=\hbar {\sqrt {(k\mp q)(k\pm q+1)}}T_{q\pm 1}^{(k)},}$

который мы затем используем для расчета

${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle j\,m|[J_{\pm },T_{q}^{(k)}]|j'\,m'\rangle =\hbar {\sqrt {(k\mp q)(k\pm q+1)}}\,\langle j\,m|T_{q\pm 1}^{(k)}|j'\,m'\rangle .\end{aligned}}}$

Если мы расширим коммутатор на ЛС, вычислив действие J _± на бра и кет, то получим

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j\,m|[J_{\pm },T_{q}^{(k)}]|j'\,m'\rangle ={}&\hbar {\sqrt {(j\pm m)(j\mp m+1)}}\,\langle j\,(m\mp 1)|T_{q}^{(k)}|j'\,m'\rangle \\&-\hbar {\sqrt {(j'\mp m')(j'\pm m'+1)}}\,\langle j\,m|T_{q}^{(k)}|j'\,(m'\pm 1)\rangle .\end{aligned}}}$

Мы можем объединить эти два результата, чтобы получить

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {(j\pm m)(j\mp m+1)}}\langle j\,(m\mp 1)|T_{q}^{(k)}|j'\,m'\rangle =&{\sqrt {(j'\mp m')(j'\pm m'+1)}}\,\langle j\,m|T_{q}^{(k)}|j'\,(m'\pm 1)\rangle \\&+{\sqrt {(k\mp q)(k\pm q+1)}}\,\langle j\,m|T_{q\pm 1}^{(k)}|j'\,m'\rangle .\end{aligned}}}$

Это рекурсивное соотношение для матричных элементов очень похоже на соотношение коэффициента Клебша–Гордана . Фактически, оба имеют вид Σ _c a _{b , c} x _c = 0 . Таким образом, мы имеем два набора линейных однородных уравнений:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{c}a_{b,c}x_{c}&=0,&\sum _{c}a_{b,c}y_{c}&=0.\end{aligned}}}$

один для коэффициентов Клебша–Гордана ( x _c ) и один для матричных элементов ( y _c ). Точное решение для x _c невозможно . Мы можем только сказать, что отношения равны, то есть

${\displaystyle {\frac {x_{c}}{x_{d}}}={\frac {y_{c}}{y_{d}}}}$

или что x _c ∝ y _c , где коэффициент пропорциональности не зависит от индексов. Следовательно, сравнивая рекурсивные соотношения, мы можем отождествить коэффициент Клебша–Гордана ⟨ j ₁ m ₁ j ₂ ( m ₂ ± 1)| jm ⟩ с матричным элементом ⟨ j ′ m ′| T ^{( k )} _{q ± 1} | j m ⟩ , тогда мы можем записать

${\displaystyle \langle j'\,m'|T_{q\pm 1}^{(k)}|j\,m\rangle \propto \langle j\,m\,k\,(q\pm 1)|j'\,m'\rangle .}$

Альтернативные конвенции

Существуют различные соглашения для редуцированных матричных элементов. Одно соглашение, используемое Ракахом ^[5] и Вигнером ^[6], включает дополнительную фазу и фактор нормализации,

${\displaystyle \langle j\,m|T_{q}^{(k)}|j'\,m'\rangle ={\frac {(-1)^{2k}\langle j'\,m'\,k\,q|j\,m\rangle \langle j\|T^{(k)}\|j'\rangle _{\mathrm {R} }}{\sqrt {2j+1}}}=(-1)^{j-m}{\begin{pmatrix}j&k&j'\\-m&q&m'\end{pmatrix}}\langle j\|T^{(k)}\|j'\rangle _{\mathrm {R} }.}$

где массив 2 × 3 обозначает символ 3-j . (Поскольку на практике k часто является целым числом, множитель (−1) ^{2 k} в литературе иногда опускается.) При таком выборе нормализации приведенный матричный элемент удовлетворяет соотношению:

${\displaystyle \langle j\|T^{\dagger (k)}\|j'\rangle _{\mathrm {R} }=(-1)^{k+j'-j}\langle j'\|T^{(k)}\|j\rangle _{\mathrm {R} }^{*},}$

где эрмитово сопряженное выражение определяется с помощью соглашения k − q . Хотя это соотношение не зависит от наличия или отсутствия фазового множителя (−1) ^{2 k} в определении приведенного матричного элемента, на него влияет соглашение о фазе для эрмитово сопряженного выражения.

Другое соглашение для редуцированных матричных элементов принято в «Современной квантовой механике» Сакураи :

${\displaystyle \langle j\,m|T_{q}^{(k)}|j'\,m'\rangle ={\frac {\langle j'\,m'\,k\,q|j\,m\rangle \langle j\|T^{(k)}\|j'\rangle }{\sqrt {2j'+1}}}.}$

Пример

Рассмотрим ожидаемое значение положения ⟨ njm | x | njm ⟩ . Этот матричный элемент является ожидаемым значением декартова оператора в сферически симметричном базисе атома водорода с собственным состоянием , что является нетривиальной задачей. Однако теорема Вигнера–Эккарта упрощает задачу. (На самом деле, мы могли бы быстро получить решение с помощью четности , хотя будет выбран немного более длинный путь.)

Мы знаем, что x — один из компонентов r , который является вектором. Поскольку векторы — это сферические тензорные операторы ранга 1, отсюда следует, что x должен быть некоторой линейной комбинацией сферического тензора ранга 1 T ⁽¹⁾ _q с q ∈ {−1, 0, 1 }. Фактически, можно показать, что

${\displaystyle x={\frac {T_{-1}^{(1)}-T_{1}^{(1)}}{\sqrt {2}}},}$

где мы определяем сферические тензоры как ^[7]

${\displaystyle T_{q}^{(1)}={\sqrt {\frac {4\pi }{3}}}rY_{1}^{q}}$

и Y _l ^m являются сферическими гармониками , которые сами по себе также являются сферическими тензорами ранга l . Кроме того, T ⁽¹⁾ ₀ = z , и

${\displaystyle T_{\pm 1}^{(1)}=\mp {\frac {x\pm iy}{\sqrt {2}}}.}$

Поэтому,

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle n\,j\,m|x|n'\,j'\,m'\rangle &=\left\langle n\,j\,m\left|{\frac {T_{-1}^{(1)}-T_{1}^{(1)}}{\sqrt {2}}}\right|n'\,j'\,m'\right\rangle \\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\langle n\,j\|T^{(1)}\|n'\,j'\rangle \,{\big (}\langle j'\,m'\,1\,(-1)|j\,m\rangle -\langle j'\,m'\,1\,1|j\,m\rangle {\big )}.\end{aligned}}}$

Выражение выше дает нам матричный элемент для x в базисе | njm ⟩ . Чтобы найти ожидаемое значение, мы устанавливаем n ′ = n , j ′ = j и m ′ = m . Правило выбора для m ′ и m имеет вид m ± 1 = m ′ для сферических тензоров T ⁽¹⁾ _±1 . Поскольку у нас m ′ = m , это делает коэффициенты Клебша–Гордана нулевыми, что приводит к тому, что ожидаемое значение равно нулю.

Смотрите также

• Оператор тензора
• Ланде g-фактор

Ссылки

1. Биография Эккарта – Издательство Национальной академии наук.
2. Заключенный в скобки верхний индекс ( k ) напоминает о его ранге. Однако, в отличие от q , он не обязательно должен быть фактическим индексом.
3. Это специальное обозначение, характерное для теоремы Вигнера–Эккарта.
4. Холл 2015 Приложение C.
5. Рака, Г. (1942). «Теория комплексных спектров II». Physical Review . 62 (9–10): 438–462. Bibcode : 1942PhRv...62..438R. doi : 10.1103/PhysRev.62.438.
6. Вигнер, Э. П. (1951). «О матрицах, которые редуцируют произведения Кронекера представлений групп SR». В Вайтмане, Артур С. (ред.). Собрание сочинений Юджина Пола Вигнера . Том 3. стр. 614. doi :10.1007/978-3-662-02781-3_42. ISBN 978-3-642-08154-5.
7. Дж. Дж. Сакурай: «Современная квантовая механика» (Массачусетс, 1994, Эддисон-Уэсли).

Общий

• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666

Внешние ссылки

• JJ Sakurai, (1994). «Современная квантовая механика», Addison Wesley, ISBN 0-201-53929-2 . 
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Вигнера – Эккарта». Математический мир .
• Теорема Вигнера–Эккарта
• Тензорные операторы