Уилсон-премьер

Тип простого числа

В теории чисел простое число Вильсона — это простое число, такое, что делит , где « » обозначает факториальную функцию ; сравните это с теоремой Вильсона , которая гласит, что каждое простое число делит . Оба названы в честь английского математика 18-го века Джона Вильсона ; в 1770 году Эдвард Уоринг приписал теорему Вильсону, ^[1] хотя она была сформулирована столетиями ранее Ибн аль-Хайтамом . ^[2] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle (p-1)!+1}$ ${\displaystyle !}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (p-1)!+1}$

Единственными известными простыми числами Уилсона являются 5 , 13 и 563 (последовательность A007540 в OEIS ). Коста и др. пишут, что «случай тривиален», и приписывают наблюдение, что 13 является простым числом Уилсона, Мэтьюзу (1892). ^{[3] [4]} Ранние работы над этими числами включали поиски Н. Г. У. Бигера и Эммы Лемер , ^{[5] [3] [6]} но 563 не было обнаружено до начала 1950-х годов, когда к этой проблеме можно было применить компьютерный поиск. ^{[3] [7] [8]} Если существуют какие-либо другие простые числа, они должны быть больше 2 × 10 ¹³ . ^[3] Было высказано предположение , что существует бесконечно много простых чисел Уилсона, и что количество простых чисел Уилсона в интервале составляет около . ^[9] ${\displaystyle p=5}$ ${\displaystyle [x,y]}$ ${\displaystyle \log \log _{x}y}$

Было проведено несколько компьютерных поисков в надежде найти новые простые числа Уилсона. ^{[10] [11] [12]} Проект распределенных вычислений Ibercivis включает поиск простых чисел Уилсона. ^[13] Другой поиск был скоординирован на форуме Great Internet Mersenne Prime Search . ^[14]

Обобщения

Простые числа Вильсона порядкан

Теорему Вильсона можно выразить в общем виде как для любого целого числа и простого числа . Обобщенные простые числа Вильсона порядка n — это простые числа p, такие, что делит . ${\displaystyle (n-1)!(p-n)!\equiv (-1)^{n}\ {\bmod {p}}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle p\geq n}$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle (n-1)!(p-n)!-(-1)^{n}}$

Было высказано предположение, что для каждого натурального числа n существует бесконечно много простых чисел Вильсона порядка n .

Наименьшие обобщенные простые числа Вильсона по порядку : ${\displaystyle n}$

5, 2, 7, 10429, 5, 11, 17, ... (Следующий член > 1,4 × 10 ⁷ ) (последовательность A128666 в OEIS )

Простые числа, близкие к числу Уилсона

Простое число, удовлетворяющее условию сравнения с малым, можно назвать простым числом, близким к числу Вильсона . Простые числа, близкие к числу Вильсона, с являются настоящими простыми числами Вильсона. Таблица справа содержит все такие простые числа с от 10 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (p-1)!\equiv -1+Bp\ (\operatorname {mod} {p^{2}})}$ ${\displaystyle |B|}$ ${\displaystyle B=0}$ ${\displaystyle |B|\leq 100}$⁶ до 4 × 10¹¹ . ^[3]

числа Вильсона

Число Вильсона — это натуральное число , такое что , где и где член положителен тогда и только тогда, когда имеет первообразный корень , и отрицателен в противном случае. ^[15] Для каждого натурального числа , делится на , а частные (называемые обобщенными частными Вильсона ) перечислены в OEIS : A157249 . Числа Вильсона ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle W(n)\equiv 0\ (\operatorname {mod} {n^{2}})}$ $${\displaystyle W(n)=\pm 1+\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}{k},}$$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle W(n)}$ ${\displaystyle n}$

1, 5, 13, 563, 5971, 558771, 1964215, 8121909, 12326713, 23025711, 26921605, 341569806, 399292158, ... (последовательность A157250 в OEIS )

Если число Вильсона простое, то — простое число Вильсона. Существует 13 чисел Вильсона размером до 5 × 10 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$⁸ . ^[16]

Смотрите также

• PrimeGrid
• Таблица сравнений
• Стена–Солнце–Солнце простое
• Виферих-премьер
• Уолстенхолм прайм

Ссылки

1. Эдвард Уоринг, Meditationes Algebraicae (Кембридж, Англия: 1770), стр. 218 (на латыни). В третьем (1782 г.) издании « Meditationes Algebraicae» Уоринга теорема Вильсона появляется как задача 5 на странице 380. На этой странице Уоринг утверждает: «Hanc maxime Elegantem primorum numerorum proprietatem invenit vir clarissimus, rerumque mathematicarum peritissimus Джоаннес Уилсон Армигер». (Сквайр Джон Уилсон, самый выдающийся и самый опытный в математике человек, обнаружил это самое изящное свойство простых чисел.)
2. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. «Абу Али аль-Хасан ибн аль-Хайсам». MacTutor Архив истории математики . Университет Сент-Эндрюс .
3. Коста, Эдгар; Гербиц, Роберт; Харви, Дэвид (2014). «Поиск простых чисел Вильсона». Математика вычислений . 83 (290): 3071–3091. arXiv : 1209.3436 . doi : 10.1090/S0025-5718-2014-02800-7. MR  3246824. S2CID  6738476.
4. Мэтьюз, Джордж Баллард (1892). «Пример 15». Теория чисел, часть 1. Дейтон и Белл. стр. 318.
5. Лемер, Эмма (апрель 1938 г.). «О сравнениях с числами Бернулли и частными Ферма и Вильсона» (PDF) . Annals of Mathematics . 39 (2): 350–360. doi :10.2307/1968791. JSTOR  1968791 . Получено 8 марта 2011 г. .
6. Бигер, NGWH (1913–1914). «Quelques remarques sur les congruences et ». Вестник математики . 43 : 72–84. ${\displaystyle r^{p-1}\equiv 1\ (\operatorname {mod} {p^{2}})}$ ${\displaystyle (p-1)!\equiv -1\ (\operatorname {mod} {p^{2}})}$
7. Уолл, Д.Д. (октябрь 1952 г.). «Неопубликованные математические таблицы» (PDF) . Математические таблицы и другие вспомогательные средства для вычислений . 6 (40): 238. doi :10.2307/2002270. JSTOR  2002270.
8. Голдберг, Карл (1953). «Таблица частных Вильсона и третье простое число Вильсона». J. London Math. Soc. 28 (2): 252–256. doi :10.1112/jlms/s1-28.2.252.
9. The Prime Glossary: ​​Прайм Уилсона
10. Макинтош, Р. (9 марта 2004 г.). "WILSON STATUS (февраль 1999 г.)". Электронное письмо Полу Циммерманну . Получено 6 июня 2011 г.
11. Crandall, Richard E.; Dilcher, Karl; Pomerance, Carl (1997). "Поиск простых чисел Вифериха и Вильсона". Math. Comput . 66 (217): 433–449. Bibcode :1997MaCom..66..433C. doi : 10.1090/S0025-5718-97-00791-6 .См. стр. 443.
12. Рибенбойм, П .; Келлер, В. (2006). Die Welt der Primzahlen: Geheimnisse und Rekorde (на немецком языке). Берлин Гейдельберг Нью-Йорк: Springer. п. 241. ИСБН 978-3-540-34283-0.
13. "Сайт Ibercivis". Архивировано из оригинала 2012-06-20 . Получено 10-03-2011 .
14. Распределенный поиск простых чисел Уилсона (на mersenneforum.org)
15. см . обобщение Гауссом теоремы Вильсона
16. Агох, Такаши; Дилчер, Карл; Скула, Ладислав (1998). "Wilson quotients for composite moduli" (PDF) . Math. Comput . 67 (222): 843–861. Bibcode :1998MaCom..67..843A. doi : 10.1090/S0025-5718-98-00951-X .

Дальнейшее чтение

• Крэндалл, Ричард Э.; Померанс, Карл (2001). Простые числа: вычислительная перспектива . Springer-Verlag. стр. 29. ISBN 978-0-387-94777-8.
• Пирсон, Эрна Х. (1963). «О сравнениях (p − 1)! ≡ −1 и 2p−1 ≡ 1 (mod p2)» (PDF) . Math. Comput . 17 : 194–195.

Внешние ссылки

• Глоссарий Prime: Уилсон Prime
• Вайсштейн, Эрик В. «Прайм Уилсона». Математический мир .
• Статус поиска простых чисел Уилсона