Квантовая модель Гейзенберга

Статистическая модель в квантовой механике магнитных материалов

Квантовая модель Гейзенберга , разработанная Вернером Гейзенбергом , представляет собой статистическую механическую модель , используемую при изучении критических точек и фазовых переходов магнитных систем, в которой спины магнитных систем рассматриваются квантовомеханически . Это связано с прототипической моделью Изинга , где в каждом узле решетки спин представляет собой микроскопический магнитный диполь, магнитный момент которого направлен либо вверх, либо вниз. Помимо связи между магнитными дипольными моментами, существует также мультиполярная версия модели Гейзенберга, называемая мультиполярным обменным взаимодействием . ${\displaystyle \sigma _{i}\in \{\pm 1\}}$

Обзор

По квантово-механическим причинам (см. Обменное взаимодействие или Магнетизм § Квантово-механическое происхождение магнетизма ) доминирующая связь между двумя диполями может привести к тому, что ближайшие соседи будут иметь наименьшую энергию, когда они выровнены . В этом предположении (так что магнитные взаимодействия происходят только между соседними диполями) и на одномерной периодической решетке гамильтониан можно записать в виде

${\displaystyle {\hat {H}}=-J\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}\sigma _{j+1}-h\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}}$,

где – константа связи , а диполи представлены классическими векторами (или «спинами») σ _j , подчиняющимися периодическому граничному условию . Модель Гейзенберга является более реалистичной моделью, поскольку она рассматривает спины квантово-механически, заменяя спин квантовым оператором, действующим на тензорное произведение размерности . Чтобы определить это, вспомним матрицы Паули со спином 1/2. ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \sigma _{N+1}=\sigma _{1}}$ ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{2})^{\otimes N}}$ ${\displaystyle 2^{N}}$

${\displaystyle \sigma ^{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$,

${\displaystyle \sigma ^{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}$,

${\displaystyle \sigma ^{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$,

и для и обозначаем , где – единичная матрица. При выборе вещественных констант связи и гамильтониан имеет вид ${\displaystyle 1\leq j\leq N}$ ${\displaystyle a\in \{x,y,z\}}$ ${\displaystyle \sigma _{j}^{a}=I^{\otimes j-1}\otimes \sigma ^{a}\otimes I^{\otimes N-j}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle J_{x},J_{y},}$ ${\displaystyle J_{z}}$

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{N}(J_{x}\sigma _{j}^{x}\sigma _{j+1}^{x}+J_{y}\sigma _{j}^{y}\sigma _{j+1}^{y}+J_{z}\sigma _{j}^{z}\sigma _{j+1}^{z}+h\sigma _{j}^{z})}$

где справа указано внешнее магнитное поле с периодическими граничными условиями . Цель состоит в том, чтобы определить спектр гамильтониана, из которого можно рассчитать статистическую сумму и изучить термодинамику системы. ${\displaystyle h}$

Модель принято называть в зависимости от значений , и : если , то модель называется моделью Гейзенберга XYZ; в случае это модель Гейзенберга XXZ; если , то это модель Heisenberg XXX. Модель Гейзенберга со спином 1/2 в одном измерении может быть точно решена с использованием анзаца Бете . ^[1] В алгебраической формулировке они относятся к конкретным квантовым аффинным алгебрам и эллиптическим квантовым группам в случаях XXZ и XYZ соответственно. ^[2] Другие подходы делают это без анзаца Бете. ^[3] ${\displaystyle J_{x}}$ ${\displaystyle J_{y}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle J_{x}\neq J_{y}\neq J_{z}}$ ${\displaystyle J=J_{x}=J_{y}\neq J_{z}=\Delta }$ ${\displaystyle J_{x}=J_{y}=J_{z}=J}$

ХХХ модель

Физика модели Гейзенберга XXX сильно зависит от знака константы связи и размерности пространства. При положительном основном состоянии всегда ферромагнитно . В отрицательном состоянии основное состояние является антиферромагнитным в двух и трех измерениях. ^[4] В одном измерении характер корреляций в антиферромагнитной модели Гейзенберга зависит от спина магнитных диполей. Если спин целочисленный, то присутствует только ближний порядок . Система полуцелых спинов обладает квазидальним порядком. ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$

Упрощенной версией модели Гейзенберга является одномерная модель Изинга, где поперечное магнитное поле направлено в направлении x , а взаимодействие происходит только в направлении z :

${\displaystyle {\hat {H}}=-J\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}^{z}\sigma _{j+1}^{z}-gJ\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}^{x}}$.

При малых и больших g вырождение основного состояния различно, а это означает, что между ними должен быть квантовый фазовый переход . Ее можно решить точно для критической точки, используя анализ двойственности. ^[5] Двойственный переход матриц Паули — это и , где и — также матрицы Паули, подчиняющиеся матричной алгебре Паули. Можно показать, что при периодических граничных условиях преобразованный гамильтониан имеет очень похожую форму: ${\textstyle \sigma _{i}^{z}=\prod _{j\leq i}S_{j}^{x}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}^{x}=S_{i}^{z}S_{i+1}^{z}}$ ${\displaystyle S^{x}}$ ${\displaystyle S^{z}}$

${\displaystyle {\hat {H}}=-gJ\sum _{j=1}^{N}S_{j}^{z}S_{j+1}^{z}-J\sum _{j=1}^{N}S_{j}^{x}}$

но для члена, присоединенного к спиновому взаимодействию. Предполагая, что существует только одна критическая точка, можно заключить, что фазовый переход происходит при . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g=1}$

Решение Бете анзац

ХХХ1/2модель

Следуя подходу Людвига Фаддеева  (1996), спектр гамильтониана модели XXX можно определить с помощью анзаца Бете. В этом контексте для соответствующим образом определенного семейства операторов, зависящих от спектрального параметра , действующего на полное гильбертово пространство с каждым , вектор Бете является вектором формы где . Если удовлетворяют уравнению Бете , то вектор Бете является собственным вектором с собственным значением . $${\displaystyle H={\frac {1}{4}}\sum _{\alpha ,n}(\sigma _{n}^{\alpha }\sigma _{n+1}^{\alpha }-1)}$$ ${\displaystyle B(\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}=\bigotimes _{n=1}^{N}h_{n}}$ ${\displaystyle h_{n}\cong \mathbb {C} ^{2}}$ $${\displaystyle \Phi (\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{m})=B(\lambda _{1})\cdots B(\lambda _{m})v_{0}}$$ ${\displaystyle v_{0}=\bigotimes _{n=1}^{N}|\uparrow \,\rangle }$ ${\displaystyle \lambda _{k}}$ $${\displaystyle \left({\frac {\lambda _{k}+i/2}{\lambda _{k}-i/2}}\right)^{N}=\prod _{j\neq k}{\frac {\lambda _{k}-\lambda _{j}+i}{\lambda _{k}-\lambda _{j}-i}},}$$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle -\sum _{k}{\frac {1}{2}}{\frac {1}{\lambda _{k}^{2}+1/4}}}$

Семейство , а также три других семейства происходят из трансфер-матрицы (в свою очередь, определенной с помощью матрицы Лакса ), которая действует вместе со вспомогательным пространством и может быть записана как блочная матрица с элементами в , которая удовлетворяет фундаментальным коммутационным соотношениям ( FCRs), аналогичное по форме уравнению Янга–Бакстера, используемому для вывода уравнений Бете. FCR также показывают, что существует большая коммутирующая подалгебра, заданная производящей функцией , как , поэтому, когда она записана как полином в , все коэффициенты коммутируют, охватывая коммутативную подалгебру, которая является элементом . Векторы Бете фактически являются одновременными собственными векторами для всей подалгебры. ${\displaystyle B(\lambda )}$ ${\displaystyle T(\lambda )}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle h_{a}\cong \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle \mathrm {End} ({\mathcal {H}})}$ $${\displaystyle T(\lambda )={\begin{pmatrix}A(\lambda )&B(\lambda )\\C(\lambda )&D(\lambda )\end{pmatrix}},}$$ ${\displaystyle F(\lambda )=\mathrm {tr} _{a}(T(\lambda ))=A(\lambda )+D(\lambda )}$ ${\displaystyle [F(\lambda ),F(\mu )]=0}$ ${\displaystyle F(\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle H}$

ХХХсмодель

Для более высоких спинов, скажем, spin , замените на представление алгебры Ли алгебры Ли размерности . _{Гамильтониан} XXX разрешим с помощью анзаца Бете с уравнениями Бете . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \sigma ^{\alpha }}$ ${\displaystyle S^{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle 2s+1}$ $${\displaystyle H=\sum _{\alpha ,n}(S_{n}^{\alpha }S_{n+1}^{\alpha }-(S_{n}^{\alpha }S_{n+1}^{\alpha })^{2})}$$ $${\displaystyle \left({\frac {\lambda _{k}+is}{\lambda _{k}-is}}\right)^{N}=\prod _{j\neq k}{\frac {\lambda _{k}-\lambda _{j}+i}{\lambda _{k}-\lambda _{j}-i}}.}$$

XXZсмодель

Для спина и параметра деформации из модели XXX BAE (уравнение анзаца Бете) равно Примечательно, что это именно BAE для шестивершинной модели после определения , где параметр анизотропии шестивершинной модели . ^{[6] [7]} Первоначально это считалось случайным, пока Бакстер не показал, что гамильтониан XXZ содержится в алгебре, порожденной трансфер-матрицей ^[8] , заданной в точности формулой ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle \left({\frac {\sinh(\lambda _{k}+is\gamma )}{\sinh(\lambda _{k}-is\gamma )}}\right)^{N}=\prod _{j\neq k}{\frac {\sinh(\lambda _{k}-\lambda _{j}+i\gamma )}{\sinh(\lambda _{k}-\lambda _{j}-i\gamma )}}.}$$ ${\displaystyle s={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \gamma =2\eta }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle T(\nu )}$ $${\displaystyle H_{XXZ_{1/2}}=-i\sin 2\eta {\frac {d}{d\nu }}\log T(\nu ){\Big |}_{\nu =-i\eta }-{\frac {1}{2}}\cos 2\eta 1^{\otimes N}.}$$

Приложения

• Другой важный объект — энтропия запутанности . Один из способов описать это — разделить уникальное основное состояние на блок (несколько последовательных вращений) и окружающую среду (остальную часть основного состояния). Энтропию блока можно рассматривать как энтропию запутанности. При нулевой температуре в критической области (термодинамический предел) он логарифмически масштабируется с размером блока. С повышением температуры логарифмическая зависимость переходит в линейную функцию. ^[9] При больших температурах линейная зависимость следует из второго закона термодинамики .
• Модель Гейзенберга представляет собой важный и понятный теоретический пример применения перенормировки матрицы плотности .
• Шестивершинную модель можно решить, используя алгебраический анзац Бете для спиновой цепочки Гейзенберга (Бакстер, 1982).
• Наполовину заполненная модель Хаббарда в пределе сильных отталкивающих взаимодействий может быть преобразована в модель Гейзенберга, представляющую силу сверхобменного взаимодействия. ${\displaystyle J<0}$
• Пределы модели, поскольку шаг решетки равен нулю (и для переменных, появляющихся в теории, принимаются различные пределы), описывает интегрируемые теории поля, как нерелятивистские, такие как нелинейное уравнение Шредингера , так и релятивистские, такие как сигма-модель , сигма -модель (которая также является основной киральной моделью ) и модель синус-Гордона . ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{3}}$
• Вычисление некоторых корреляционных функций в плоском или большом пределе N = 4 суперсимметричной теории Янга – Миллса ^[10] ${\displaystyle N}$

Расширенная симметрия

Интегрируемость подкрепляется существованием больших алгебр симметрии для различных моделей. Для случая XXX это янгиан , а в случае XXZ это квантовая группа , q-деформация аффинной алгебры Ли , как объяснено в заметках Фаддеева (1996). ${\displaystyle Y({\mathfrak {sl}}_{2})}$ ${\displaystyle {\hat {{\mathfrak {sl}}_{q}(2)}}}$ ${\displaystyle {\hat {{\mathfrak {sl}}_{2}}}}$

Они появляются через трансфер-матрицу, и условие, что векторы Бете генерируются из удовлетворяющего состояния, соответствует тому, что решения являются частью представления расширенных алгебр симметрии с наибольшим весом . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle C(\lambda )\cdot \Omega =0}$

Смотрите также

• Классическая модель Гейзенберга
• DMRG модели Гейзенберга
• Модель квантового ротора
• модель tJ
• Модель J1 J2
• Модель Маджумдара – Гоша
• Модель АКЛТ
• Многополярное обменное взаимодействие

Рекомендации

• Р. Дж. Бакстер, Точно решенные модели в статистической механике , Лондон, Academic Press, 1982.
• Гейзенберг, В. (1 сентября 1928 г.). «Zur Theorie des Ferromagnetismus» [К теории ферромагнетизма]. Zeitschrift für Physik (на немецком языке). 49 (9): 619–636. Бибкод : 1928ZPhy...49..619H. дои : 10.1007/BF01328601. S2CID  122524239.
• Бете, Х. (1 марта 1931 г.). «Zur Theorie der Metalle» [К теории металлов]. Zeitschrift für Physik (на немецком языке). 71 (3): 205–226. Бибкод : 1931ZPhy...71..205B. дои : 10.1007/BF01341708. S2CID  124225487.

Примечания

1. Бонечи, Ф; Челегини, Э; Джачетти, Р; Сорасе, Э; Тарлини, М. (7 августа 1992 г.). «Модель Гейзенберга XXZ и квантовая группа Галилея». Журнал физики A: Математический и общий . 25 (15): L939–L943. arXiv : hep-th/9204054 . Бибкод : 1992JPhA...25L.939B. дои : 10.1088/0305-4470/25/15/007. S2CID  119046025.
2. Фаддеев, Л.Д. (26 мая 1996 г.). «Как алгебраический анзац Бете работает для интегрируемой модели». arXiv : hep-th/9605187v1 .
3. Рохас, Онофре; Соуза, С.М. де; Корреа Силва, EV; Томаз, Монтана (декабрь 2001 г.). «Термодинамика предельных случаев модели XXZ без анзаца Бете». Бразильский физический журнал . 31 (4): 577–582. Бибкод : 2001BrJPh..31..577R. дои : 10.1590/s0103-97332001000400008 .
4. Том Кеннеди; Бруно Нахтергаэле. «Модель Гейзенберга — библиография» . Проверено 6 июня 2019 г.
5. Фишер, Мэтью Пенсильвания (2004). «Двойственность в низкоразмерных квантовых теориях поля». Сильные взаимодействия в низких размерностях . Физика и химия материалов малых размеров. Том. 25. С. 419–438. дои : 10.1007/978-1-4020-3463-3_13. ISBN 978-1-4020-1798-8.
6. Либ, Эллиот Х. (24 апреля 1967 г.). «Точное решение проблемы энтропии двумерного льда». Письма о физических отзывах . 18 (17): 692–694. Бибкод : 1967PhRvL..18..692L. doi : 10.1103/PhysRevLett.18.692.
7. Дори, Патрик; Даннинг, Клэр; Татео, Роберто (10 августа 2007 г.). «Переписка ODE/IM». Физический журнал A: Математический и теоретический . 40 (32): Р205–Р283. дои : 10.1088/1751-8113/40/32/R01. ISSN  1751-8113. S2CID  14281617.
8. Бакстер, Родни Дж. (1 апреля 1972 г.). «Одномерная анизотропная цепочка Гейзенберга». Анналы физики . 70 (2): 323–337. Бибкод : 1972AnPhy..70..323B. дои : 10.1016/0003-4916(72)90270-9. ISSN  0003-4916.
9. Корепин, В.Е. (5 марта 2004 г.). «Универсальность масштабирования энтропии в одномерных моделях без щелей». Письма о физических отзывах . 92 (9): 096402. arXiv : cond-mat/0311056 . Бибкод : 2004PhRvL..92i6402K. doi : 10.1103/PhysRevLett.92.096402. PMID  15089496. S2CID  20620724.
10. Байсерт, Никлас (1 декабря 2004 г.). «Оператор дилатации N = 4 супертеории Янга – Миллса и интегрируемость». Отчеты по физике . 405 (1): 1–202. arXiv : hep-th/0407277 . Бибкод : 2004PhR...405....1B. doi :10.1016/j.physrep.2004.09.007. S2CID  118949332.