Теорема Ямады–Ватанабе

Теорема теории вероятностей

Теорема Ямады–Ватанабе является результатом теории вероятностей , утверждающей, что для большого класса стохастических дифференциальных уравнений слабое решение с попутной единственностью подразумевает сильное решение и единственность в распределении . В своей первоначальной форме теорема была сформулирована для -мерных уравнений Ито и была доказана Тосио Ямадой и Синдзо Ватанабе в 1971 году. ^[1] С тех пор появилось много обобщений, в частности, одно для общих семимартингалов Жаном Жакодом в 1980 году. ^[2] ${\displaystyle n}$

Теорема Ямады–Ватанабе

История, обобщения и связанные с ними результаты

Жан Жакод обобщил результат до СДУ вида

${\displaystyle dX_{t}=u(X,Z)dZ_{t},}$

где — полумартингал , а коэффициент может зависеть от пути . ^[2] ${\displaystyle (Z_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle Z}$

Дальнейшие обобщения были сделаны Гансом-Юргеном Энгельбертом (1991 ^[3] ) и Томасом Г. Курцем (2007 ^[4] ). Для СДУ в банаховых пространствах есть результат Мартина Ондреята (2004 ^[5] ), один Михаэля Рёкнера , Байрона Шмуланда и Сичэна Чжана (2008 ^[6] ) и один Стефана Таппе (2013 ^[7] ).

Обратное утверждение теоремы также верно и называется двойственной теоремой Ямады–Ватанабе . Первая версия этой теоремы была доказана Энгельбертом (1991 ^[3] ), а более общая версия — Александром Черным (2002 ^[8] ).

Параметр

Пусть и — пространство непрерывных функций. Рассмотрим -мерное уравнение Ито ${\displaystyle n,r\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle C(\mathbb {R} _{+},\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle dX_{t}=b(t,X)dt+\sigma (t,X)dW_{t},\quad X_{0}=x_{0}}$

где

• ${\displaystyle b\colon \mathbb {R} _{+}\times C(\mathbb {R} _{+},\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {R} ^{n}}$и являются предсказуемыми процессами , ${\displaystyle \sigma \colon \mathbb {R} _{+}\times C(\mathbb {R} _{+},\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {R} ^{n\times r}}$
• ${\displaystyle (W_{t})_{t\geq 0}=\left((W_{t}^{(1)},\dots ,W_{t}^{(r)})\right)_{t\geq 0}}$- это -мерное броуновское движение , ${\displaystyle r}$
• ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$является детерминированным.

Основная терминология

Мы говорим об уникальности распределения (или слабой уникальности ), если для двух произвольных решений и определенных на (возможно, разных) отфильтрованных вероятностных пространствах и , мы имеем для их распределений , где . ${\displaystyle (X^{(1)},W^{(1)})}$ ${\displaystyle (X^{(2)},W^{(2)})}$ ${\displaystyle (\Omega _{1},{\mathcal {F}}_{1},\mathbf {F} _{1},P_{1})}$ ${\displaystyle (\Omega _{2},{\mathcal {F}}_{2},\mathbf {F} _{2},P_{2})}$ ${\displaystyle P_{X^{(1)}}=P_{X^{(2)}}}$ ${\displaystyle P_{X^{(1)}}:=\operatorname {Law} (X_{t}^{1},t\geq 0)}$

Мы говорим о путевой уникальности (или сильной уникальности ), если любые два решения и , определенные на одних и тех же фильтрованных вероятностных пространствах с одним и тем же -броуновским движением, являются неразличимыми процессами, т.е. мы имеем -почти наверняка, что ${\displaystyle (X^{(1)},W)}$ ${\displaystyle (X^{(2)},W)}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbf {F} ,P)}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \{X_{t}^{(1)}=X_{t}^{(2)},t\geq 0\}}$

Теорема

Предположим, что описанная выше ситуация верна, тогда теорема имеет вид:

Если существует путевая уникальность , то также существует и уникальность в распределении . И если для каждого начального распределения существует слабое решение, то для каждого начального распределения также существует путевое уникальное сильное решение. ^{[3] [8]}

Результат Жакода улучшил утверждение с помощью дополнительного утверждения, что

Если существует слабое решение и выполняется путевая уникальность, то это решение также является сильным решением. ^[2]

Ссылки

1. Ямада, Тосио; Ватанабэ, Синдзо (1971). «О единственности решений стохастических дифференциальных уравнений». J. Math. Kyoto Univ . 11 (1): 155–167. doi :10.1215/kjm/1250523691.
2. Жакод, Жан (1980). «Слабые и сильные решения стохастических дифференциальных уравнений». Стохастика . 3 : 171–191. doi :10.1080/17442508008833143.
3. Энгельберт, Ханс-Юрген (1991). «О теореме Т. Ямады и С. Ватанабе». Stochastics and Stochastic Reports . 36 (3–4): 205–216. doi :10.1080/17442509108833718.
4. Курц, Томас Г. (2007). «Теорема Ямады-Ватанабе-Энгельберта для общих стохастических уравнений и неравенств». Electron. J. Probab . 12 : 951–965. doi :10.1214/EJP.v12-431.
5. Ондрейат, Мартин (2004). «Единственность для стохастических эволюционных уравнений в банаховых пространствах». Dissertationes Math. (Rozprawy Mat.) . 426 : 1–63.
6. Рёкнер, Михаэль; Шмуланд, Байрон; Чжан, Сичэн (2008). «Теорема Ямады–Ватанабе для стохастических эволюционных уравнений в бесконечных измерениях». Физика конденсированных сред . 11 (2): 247–259.
7. Tappe, Stefan (2013), «Теорема Ямады–Ватанабе для мягких решений стохастических уравнений в частных производных», Electronic Communications in Probability , 18 (24): 1–13
8. Черный, Александр С. (2002). «О единственности по закону и единственности по траектории для стохастических дифференциальных уравнений». Теория вероятностей и ее приложения . 46 (3): 406–419. doi :10.1137/S0040585X97979093.