Уравнение Юнга-Лапласа

Описание разницы давления на границе раздела в механике жидкости

В физике уравнение Юнга-Лапласа ( / l ə ˈ p l ɑː s / ) представляет собой алгебраическое уравнение, описывающее разницу капиллярного давления, поддерживаемую на границе раздела двух статических жидкостей , таких как вода и воздух , из-за явления поверхностного натяжения или натяжения стенки , хотя использование последнего применимо только в том случае, если предположить, что стенка очень тонкая. Уравнение Юнга-Лапласа связывает разницу давления с формой поверхности или стенки, и оно принципиально важно при изучении статических капиллярных поверхностей . Это утверждение о нормальном балансе напряжений для статических жидкостей, встречающихся на границе раздела, где граница раздела рассматривается как поверхность ( нулевая толщина): где — давление Лапласа , разница давлений на границе раздела жидкостей (внешнее давление за вычетом внутреннего давления), — поверхностное натяжение (или натяжение стенки ), — единичная нормаль, указывающая наружу от поверхности, — средняя кривизна , а и — главные радиусы кривизны . Обратите внимание, что рассматривается только нормальное напряжение, поскольку статическое взаимодействие возможно только при отсутствии касательного напряжения. ^[1] $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta p&=-\gamma \nabla \cdot {\hat {n}}\\&=-2\gamma H_{f}\\&=-\gamma \left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \Delta p}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle H_{f}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$

Уравнение названо в честь Томаса Юнга , который разработал качественную теорию поверхностного натяжения в 1805 году, и Пьера-Симона Лапласа , который завершил математическое описание в следующем году. Иногда его также называют уравнением Юнга–Лапласа–Гаусса, поскольку Карл Фридрих Гаусс объединил работу Юнга и Лапласа в 1830 году, выведя как дифференциальное уравнение, так и граничные условия, используя принципы виртуальной работы Иоганна Бернулли . [ ^2]

Мыльные фильмы

Если разность давлений равна нулю, как в мыльной пленке без учета силы тяжести, интерфейс примет форму минимальной поверхности .

Эмульсии

Уравнение также объясняет энергию, необходимую для создания эмульсии . Для образования маленьких, сильно изогнутых капель эмульсии требуется дополнительная энергия для преодоления большого давления, возникающего из-за их малого радиуса.

Давление Лапласа, которое больше для более мелких капель, вызывает диффузию молекул из самых маленьких капель в эмульсии и приводит к огрублению эмульсии посредством созревания Оствальда . ^{[ необходима ссылка ]}

Капиллярное давление в трубке

Сферический мениск с углом смачивания менее 90°

В достаточно узкой (т.е. с малым числом Бонда ) трубке круглого сечения (радиус a ) граница раздела двух жидкостей образует мениск , который является частью поверхности сферы с радиусом R. Скачок давления на этой поверхности связан с радиусом и поверхностным натяжением γ соотношением $${\displaystyle \Delta p={\frac {2\gamma }{R}}.}$$

Это можно показать, записав уравнение Юнга–Лапласа в сферической форме с граничным условием угла контакта , а также заданным граничным условием высоты, скажем, на дне мениска. Решение представляет собой часть сферы, и решение будет существовать только для разницы давлений, показанной выше. Это важно, поскольку нет другого уравнения или закона, определяющего разницу давлений; существование решения для одного конкретного значения разницы давлений предписывает это.

Радиус сферы будет зависеть только от угла контакта θ, который, в свою очередь, зависит от точных свойств жидкостей и материала контейнера, с которым данные жидкости контактируют/взаимодействуют: $${\displaystyle R={\frac {a}{\cos \theta }}}$$

так что разность давлений можно записать как: $${\displaystyle \Delta p={\frac {2\gamma \cos \theta }{a}}.}$$

Иллюстрация капиллярного подъема. Красный = угол контакта менее 90°; синий = угол контакта более 90°

Для поддержания гидростатического равновесия , индуцированное капиллярное давление уравновешивается изменением высоты h , которая может быть положительной или отрицательной, в зависимости от того, меньше или больше угла смачивания 90°. Для жидкости с плотностью ρ: где g — ускорение свободного падения . Иногда это называют законом Жюрина или высотой Жюрина ^[3] в честь Джеймса Жюрина, который изучал этот эффект в 1718 году. ^[4] $${\displaystyle \rho gh={\frac {2\gamma \cos \theta }{a}}.}$$

Для стеклянной трубки, заполненной водой, находящейся в воздухе на уровне моря :

• γ = 0,0728 Дж/м ² при 20 ° С
• θ = 20° (0,35 рад )
• ρ = 1000 кг/м ³
• g = 9,8 м/с ²

и поэтому высота столба воды определяется по формуле: Таким образом, для трубки шириной 2 мм (радиусом 1 мм) вода поднимется на 14 мм. Однако для капиллярной трубки с радиусом 0,1 мм вода поднимется на 14 см (около 6 дюймов ). $${\displaystyle h\approx {{1.4\times 10^{-5}}\mathrm {m} ^{2} \over a}.}$$

Капиллярное действие в целом

В общем случае, для свободной поверхности и там, где есть приложенное «избыточное давление», Δ p , на границе раздела в равновесии, существует баланс между приложенным давлением, гидростатическим давлением и эффектами поверхностного натяжения. Уравнение Юнга–Лапласа становится: $${\displaystyle \Delta p=\rho gh-\gamma \left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)}$$

Уравнение может быть обезразмерено в терминах его характерного масштаба длины, длины капилляра : и характерного давления $${\displaystyle L_{c}={\sqrt {\frac {\gamma }{\rho g}}},}$$ $${\displaystyle p_{c}={\frac {\gamma }{L_{c}}}={\sqrt {\gamma \rho g}}.}$$

Для чистой воды при стандартной температуре и давлении длина капилляра составляет ~2 мм .

Тогда безразмерное уравнение принимает вид: $${\displaystyle h^{*}-\Delta p^{*}=\left({\frac {1}{{R_{1}}^{*}}}+{\frac {1}{{R_{2}}^{*}}}\right).}$$

Таким образом, форма поверхности определяется только одним параметром — избыточным давлением жидкости Δ p ^* , а масштаб поверхности задается длиной капилляра . Решение уравнения требует начального условия для положения и градиента поверхности в начальной точке.

Осесимметричные уравнения

(Безразмерная) форма r ( z ) осесимметричной поверхности может быть найдена путем подстановки общих выражений для главных кривизн, чтобы получить гидростатические уравнения Юнга-Лапласа : ^[5] $${\displaystyle {\frac {r''}{(1+r'^{2})^{{3}/{2}}}}-{\frac {1}{r(z){\sqrt {1+r'^{2}}}}}=z-\Delta p^{*}}$$ $${\displaystyle {\frac {z''}{(1+z'^{2})^{3/2}}}+{\frac {z'}{r(1+z'^{2})^{{1}/{2}}}}=\Delta p^{*}-z(r).}$$

Применение в медицине

В медицине его часто называют законом Лапласа , используемым в контексте сердечно-сосудистой физиологии , ^[6] а также физиологии дыхания , хотя последнее использование часто ошибочно. ^[7]

История

Фрэнсис Хоксби провел некоторые из самых ранних наблюдений и экспериментов в 1709 году ^[8] , и они были повторены в 1718 году Джеймсом Юрином , который заметил, что высота жидкости в капиллярном столбе является функцией только площади поперечного сечения на поверхности, а не каких-либо других размеров столба. ^{[4] [9]}

Томас Юнг заложил основы уравнения в своей работе 1804 года « Очерк о сцеплении жидкостей» ^[10] , где он в описательных терминах изложил принципы, управляющие контактом между жидкостями (наряду со многими другими аспектами поведения жидкостей). Пьер Симон Лаплас продолжил это в «Небесной механике» ^[11] с формальным математическим описанием, данным выше, которое воспроизвело в символических терминах соотношение, описанное ранее Юнгом.

Лаплас принял идею, высказанную Хауксби в его книге «Физико-механические эксперименты» (1709), о том, что явление было вызвано силой притяжения, которая была неощутима на ощутимых расстояниях. ^{[12] [13]} Часть, которая касается действия твердого тела на жидкость и взаимного действия двух жидкостей, не была проработана досконально, но в конечном итоге была завершена Карлом Фридрихом Гауссом . ^[14] Франц Эрнст Нейман (1798-1895) позже дополнил несколько деталей. ^{[15] [9] [16]}

Ссылки

1. Модуль поверхностного натяжения. Архивировано 27 октября 2007 г. на Wayback Machine Джоном В. М. Бушем в MIT OCW .
2. Роберт Финн (1999). «Капиллярные поверхностные интерфейсы» (PDF) . AMS .
3. "Правило Джурина". Словарь научных и технических терминов McGraw-Hill . McGraw-Hill на Answers.com. 2003. Получено 05.09.2007 .
4. См.:
   • Джеймс Юрин (1718) «Отчет о некоторых экспериментах, показанных Королевскому обществу; с исследованием причины подъёма и взвешивания воды в капиллярных трубках», Философские труды Лондонского королевского общества , 30  : 739–747.
   • Джеймс Юрин (1719) «Отчет о некоторых новых экспериментах, касающихся действия стеклянных трубок на воду и ртуть», Философские труды Лондонского королевского общества , 30  : 1083–1096.
5. Лэмб, Х. Статика, включая гидростатику и элементы теории упругости, 3-е изд. Кембридж, Англия: Cambridge University Press, 1928.
6. Басфорд, Джеффри Р. (2002). «Закон Лапласа и его значение для современной медицины и реабилитации». Архивы физической медицины и реабилитации . 83 (8): 1165–1170. doi :10.1053/apmr.2002.33985. PMID  12161841.
7. Prange, Henry D. (2003). «Закон Лапласа и альвеола: неправильное представление об анатомии и неправильное применение физики». Advances in Physiology Education . 27 (1): 34–40. doi :10.1152/advan.00024.2002. PMID  12594072. S2CID  7791096.
8. См.:
   • Фрэнсис Хоксби, Физико-механические эксперименты на различных предметах … (Лондон, Англия: (самоиздание автора; напечатано Р. Бругисом), 1709), страницы 139–169.
   • Фрэнсис Хоксби (1711) «Отчет об эксперименте, касающемся направления капли апельсинового масла между двумя стеклянными плоскостями к любой из сторон, которая ближе всего прижата друг к другу», Философские труды Лондонского королевского общества , 27  : 374–375.
   • Фрэнсис Хоксби (1712) «Отчет об эксперименте, касающемся подъема воды между двумя стеклянными плоскостями в гиперболической фигуре», Философские труды Лондонского королевского общества , 27  : 539–540.
9. Максвелл, Джеймс Клерк ; Стратт, Джон Уильям (1911). «Капиллярное действие»  . Encyclopaedia Britannica . Т. 5 (11-е изд.). С. 256–275.
10. Томас Янг (1805) «Очерк о сцеплении жидкостей», Философские труды Лондонского королевского общества , 95  : 65–87.
11. Пьер Симон, маркиз де Лаплас, Traité de Mécanique Céleste , том 4, (Париж, Франция: Courcier, 1805), Supplement au dixième livre du Traité de Mécanique Céleste , страницы 1–79.
12. Пьер Симон, маркиз де Лаплас, Traité de Mécanique Céleste , том 4, (Париж, Франция: Courcier, 1805), Supplement au dixième livre du Traité de Mécanique Céleste . На странице 2 Приложения Лаплас утверждает, что капиллярное действие обусловлено «… les lois dans lesquelles l'attraction n'est sensible qu'à des distances insensibles;…» (… законы, по которым притяжение чувствительно [значимо] только на неощутимых [бесконечно малых] расстояниях…).
13. В 1751 году Иоганн Андреас Зегнер пришел к тому же выводу, к которому пришел Хоксби в 1709 году: Дж. А. фон Зегнер (1751) «De figuris superficierum fluidarum» (О формах жидких поверхностей), Commentarii Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis (Мемуары королевского Научное общество в Геттингене), 1  : 301–372. На странице 303 Сегнер предполагает, что жидкости удерживаются вместе силой притяжения ( vim atttractricem ), которая действует на таких коротких расстояниях, «что никто еще не мог воспринять ее своими органами чувств» (… ut nullo adhuc sensu percipi poterit. ).
14. Карл Фридрих Гаусс, Principia Generalia Theoriae Figurae Fluidorum in statu Aequilibrii [Общие принципы теории форм жидкости в состоянии равновесия] (Геттинген, (Германия): Dieterichs, 1830). Доступно в Интернете по адресу: Hathi Trust.
15. Франц Нойман с А. Вангерином, изд., Vorlesungen über die Theorie der Capillarität [Лекции по теории капиллярности] (Лейпциг, Германия: Б. Г. Тойбнер, 1894).
16. Рауз Болл, WW [1908] (2003) «Пьер Симон Лаплас (1749–1827)», в «Кратком изложении истории математики» , 4-е изд., Дувр, ISBN 0-486-20630-0 

Дальнейшее чтение

• Максвелл, Джеймс Клерк ; Стратт, Джон Уильям (1911). «Капиллярное действие»  . В Чисхолм, Хью (ред.). Encyclopaedia Britannica . Том 5 (11-е изд.). Cambridge University Press. С. 256–275.
• Бэтчелор, Г.К. (1967) Введение в гидродинамику , Cambridge University Press
• Юрин, Дж. (1716). «Отчет о некоторых экспериментах, показанных Королевскому обществу; с исследованием причины подъема и суспензии воды в капиллярных трубках». Philosophical Transactions of the Royal Society . 30 (351–363): 739–747. doi :10.1098/rstl.1717.0026. S2CID  186211806.
• Тадрос ТФ (1995) Поверхностно-активные вещества в агрохимикатах , серия Surfactant Science, т.54, Dekker