Z-преобразование

Математическое преобразование, преобразующее сигналы из временной области в частотную область.

В математике и обработке сигналов Z -преобразование преобразует дискретный по времени сигнал , который представляет собой последовательность действительных или комплексных чисел , в комплексное частотное представление ( z-область или z-плоскость ). ^{[1] [2]}

Его можно считать эквивалентом преобразования Лапласа в дискретном времени ( s-область или s-плоскость ). ^[3] Это сходство исследуется в теории исчисления временной шкалы .

В то время как непрерывное по времени преобразование Фурье вычисляется на вертикальной оси s-домена (мнимая ось), дискретное по времени преобразование Фурье вычисляется вдоль единичной окружности z-домена. Левая полуплоскость s-домена отображается в область внутри единичной окружности z-домена, в то время как правая полуплоскость s-домена отображается в область за пределами единичной окружности z-домена.

В обработке сигналов одним из способов проектирования цифровых фильтров является взятие аналоговых конструкций, их билинейное преобразование , которое отображает их из s-домена в z-домен, а затем создание цифрового фильтра путем проверки, манипуляции или численного приближения. Такие методы, как правило, не являются точными, за исключением случаев, когда они находятся вблизи комплексного единства, т. е. на низких частотах.

История

Основополагающая концепция, которая сейчас признана как Z-преобразование, являющееся краеугольным камнем в анализе и проектировании цифровых систем управления, не была полностью новой, когда она появилась в середине 20-го века. Ее зачаточные принципы можно проследить до работы французского математика Пьера-Симона Лапласа , который более известен благодаря преобразованию Лапласа , тесно связанному математическому методу. Однако явная формулировка и применение того, что мы теперь понимаем как Z-преобразование, были значительно продвинуты в 1947 году Витольдом Гуревичем и его коллегами. Их работа была мотивирована проблемами, представленными системами управления с выборочными данными, которые становились все более актуальными в контексте радиолокационной технологии в тот период. Z-преобразование предоставило систематический и эффективный метод решения линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами, которые повсеместно используются в анализе дискретных по времени сигналов и систем. ^{[4] [5]}

Метод был далее усовершенствован и получил официальное название «Z-преобразование» в 1952 году благодаря усилиям Джона Р. Рагаццини и Лотфи А. Заде , которые были частью группы управления выборочными данными в Колумбийском университете. Их работа не только укрепила математическую основу Z-преобразования, но и расширила сферу его применения, особенно в области электротехники и систем управления. ^{[6] [7]}

Значимое расширение, известное как модифицированное или расширенное Z-преобразование , было позже введено Элиаху И. Джури . Работа Джури расширила применимость и надежность Z-преобразования, особенно в обработке начальных условий и предоставлении более полной структуры для анализа цифровых систем управления. Эта расширенная формулировка сыграла ключевую роль в проектировании и анализе устойчивости дискретных систем управления, внеся значительный вклад в область цифровой обработки сигналов. ^{[8] [9]}

Интересно, что концептуальные основы Z-преобразования пересекаются с более широкой математической концепцией, известной как метод производящих функций , мощный инструмент в комбинаторике и теории вероятностей. На эту связь намекнул еще в 1730 году Авраам де Муавр , пионер в развитии теории вероятностей. Де Муавр использовал производящие функции для решения задач по вероятности, заложив основу для того, что в конечном итоге превратилось в Z-преобразование. С математической точки зрения Z-преобразование можно рассматривать как конкретный случай ряда Лорана , где последовательность исследуемых чисел интерпретируется как коэффициенты в (лорановском) разложении аналитической функции . Эта точка зрения не только подчеркивает глубокие математические корни Z-преобразования, но и иллюстрирует его универсальность и широкую применимость в различных областях математики и техники. ^[10]

Определение

Z-преобразование можно определить как одностороннее или двустороннее преобразование . (Точно так же, как у нас есть одностороннее преобразование Лапласа и двустороннее преобразование Лапласа .) ^[11]

Двустороннее Z-преобразование

Двустороннее Z -преобразование дискретного по времени сигнала представляет собой формальный степенной ряд, определяемый как: ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle X(z)}$

${\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}}$

где — целое число, а — в общем случае комплексное число . В полярной форме может быть записано как: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle z=Ae^{j\phi }=A\cdot (\cos {\phi }+j\sin {\phi })}$

где — величина , — мнимая единица , — комплексный аргумент (также называемый углом или фазой ) в радианах . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \phi }$

Одностороннее Z-преобразование

В качестве альтернативы, в случаях, когда определено только для , одностороннее или одностороннее Z-преобразование определяется как: ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

${\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}.}$

В обработке сигналов это определение можно использовать для оценки Z-преобразования единичного импульсного отклика дискретной по времени причинной системы .

Важным примером одностороннего Z-преобразования является функция генерации вероятности , где компонентом является вероятность того, что дискретная случайная величина принимает значение. Свойства Z-преобразований (перечисленные в § Свойства) имеют полезные интерпретации в контексте теории вероятностей. ${\displaystyle x[n]}$

Обратное Z-преобразование

Обратное Z -преобразование:

${\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz}$

где — замкнутый путь против часовой стрелки, охватывающий начало координат и полностью находящийся в области сходимости (ROC). В случае, когда ROC является причинным (см. Пример 2), это означает, что путь должен охватывать все полюса . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X(z)}$

Особый случай этого контурного интеграла возникает, когда является единичной окружностью. Этот контур можно использовать, когда ROC включает единичную окружность, что всегда гарантировано, когда является устойчивым, то есть когда все полюса находятся внутри единичной окружности. С этим контуром обратное Z-преобразование упрощается до обратного дискретного преобразования Фурье или ряда Фурье периодических значений Z-преобразования вокруг единичной окружности: ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X(z)}$

${\displaystyle x[n]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega .}$

Z-преобразование с конечным диапазоном и конечным числом равномерно распределенных значений может быть эффективно вычислено с помощью алгоритма БПФ Блюстейна . Дискретное преобразование Фурье (ДВПФ) — не путать с дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) — является частным случаем такого Z-преобразования, полученного путем ограничения на единичную окружность. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$

Для оценки обратного преобразования часто используются следующие три метода:

Прямая оценка путем контурной интеграции

Этот метод включает применение теоремы Коши о вычетах для оценки обратного Z-преобразования. Интегрируя по замкнутому контуру в комплексной плоскости, остатки на полюсах функции Z-преобразования внутри ROC суммируются. Этот метод особенно полезен при работе с функциями, выраженными в терминах комплексных переменных.

Расширение в ряд терминов в переменныхз из-1

В этом методе Z-преобразование разлагается в степенной ряд. Этот подход полезен, когда функция Z-преобразования рациональна, позволяя аппроксимировать обратную функцию путем разложения в ряд и определения коэффициентов сигнала почленно.

Разложение дробей и просмотр таблицы

Этот метод разлагает Z-преобразование на сумму более простых дробей, каждая из которых соответствует известным парам Z-преобразования. Обратное Z-преобразование затем определяется путем поиска каждого члена в стандартной таблице пар Z-преобразования. Этот метод широко используется из-за его эффективности и простоты, особенно когда исходную функцию можно легко разбить на узнаваемые компоненты.

Пример:^[12]

A) Определите обратное Z-преобразование следующего уравнения методом разложения в ряд:

$${\displaystyle X(z)={\frac {1}{1-1.5z^{-1}+0.5z^{-2}}}}$$

Решение:

Случай 1:

РПЦ: ${\displaystyle \left\vert Z\right\vert >1}$

Поскольку ROC является внешней частью круга, то она является причинной (сигнал существует для n≥0). ${\displaystyle x(n)}$

$${\displaystyle X(z)={1 \over 1-{3 \over 2}z^{-1}+{1 \over 2}z^{-2}}=1+{{3 \over 2}z^{-1}}+{{7 \over 4}z^{-2}}+{{15 \over 8}z^{-3}}+{{31 \over 16}z^{-4}}+....}$$

таким образом,

$${\displaystyle {\begin{aligned}x(n)&=\left\{1,{\frac {3}{2}},{\frac {7}{4}},{\frac {15}{8}},{\frac {31}{16}}\ldots \right\}\\&\qquad \!\uparrow \\\end{aligned}}}$$(стрелка указывает на член при x(0)=1)

Обратите внимание, что на каждом этапе процесса деления в столбик мы исключаем член наименьшей степени . ${\displaystyle z^{-1}}$

Случай 2:

РПЦ: ${\displaystyle \left\vert Z\right\vert <0.5}$

Поскольку ROC находится внутри круга, это антикаузально (сигнал существует для n<0). ${\displaystyle x(n)}$

Выполняя деление в столбик, мы получаем,

$${\displaystyle X(z)={\frac {1}{1-{\frac {3}{2}}z^{-1}+{\frac {1}{2}}z^{-2}}}=2z^{2}+6z^{3}+14z^{4}+30z^{5}+\ldots }$$

${\displaystyle {\begin{aligned}x(n)&=\{30,14,6,2,0,0\}\\&\qquad \qquad \qquad \quad \ \ \,\uparrow \\\end{aligned}}}$(стрелка указывает на член при x(0)=0)

Обратите внимание, что на каждом этапе процесса деления в столбик мы исключаем член наименьшей степени . ${\displaystyle z}$

Примечание:

1. Когда сигнал является причинным, мы получаем положительные степени , а когда сигнал является антипричинным, мы получаем отрицательные степени . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$
2. ${\displaystyle z^{k}}$указывает срок при и указывает срок при . ${\displaystyle x(-k)}$ ${\displaystyle z^{-k}}$ ${\displaystyle x(k)}$

Б) Определите обратное Z-преобразование следующего уравнения методом разложения в ряд:

Исключая отрицательные степени if и делим на , ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle {\frac {X(z)}{z}}={\frac {z^{2}}{z(z^{2}-1.5z+0.5)}}={\frac {z}{z^{2}-1.5z+0.5}}}$$

Посредством разложения дробей,

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {X(z)}{z}}&={\frac {z}{(z-1)(z-0.5)}}={\frac {A_{1}}{z-0.5}}+{\frac {A_{2}}{z-1}}\\[4pt]&A_{1}=\left.{\frac {(z-0.5)X(z)}{z}}\right\vert _{z=0.5}={\frac {0.5}{(0.5-1)}}=-1\\[4pt]&A_{2}=\left.{\frac {(z-1)X(z)}{z}}\right\vert _{z=1}={\frac {1}{1-0.5}}={2}\\[4pt]{\frac {X(z)}{z}}&={\frac {2}{z-1}}-{\frac {1}{z-0.5}}\end{aligned}}}$$

Случай 1:

РПЦ: ${\displaystyle \left\vert Z\right\vert >1}$

Оба термина являются причинными, следовательно, является причинным. ${\displaystyle x(n)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x(n)&=2{(1)^{n}}u(n)-1{(0.5)^{n}}u(n)\\&=(2-0.5^{n})u(n)\\\end{aligned}}}$$

Случай 2:

РПЦ: ${\displaystyle \left\vert Z\right\vert <0.5}$

Оба термина являются антикаузальными, следовательно, является антикаузальным. ${\displaystyle x(n)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x(n)&=-2{(1)^{n}}u(-n-1)-(-1{(0.5)^{n}}u(-n-1))\\&=(0.5^{n}-2)u(-n-1)\\\end{aligned}}}$

Случай 3:

РПЦ: ${\displaystyle 0.5<\left\vert Z\right\vert <1}$

Один из терминов является причинным (p=0,5 обеспечивает причинную часть), а другой — антипричинным (p=1 обеспечивает антипричинную часть), следовательно, является двусторонним. ${\displaystyle x(n)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x(n)&=-2{(1)^{n}}u(-n-1)-1{(0.5)^{n}}u(n)\\&=-2u(-n-1)-0.5^{n}u(n)\\\end{aligned}}}$

Регион конвергенции

Область сходимости (ROC) — это множество точек на комплексной плоскости, для которых суммирование Z-преобразования сходится (т.е. не стремится к бесконечности):

${\displaystyle \mathrm {ROC} =\left\{z:\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\right|<\infty \right\}}$

Пример 1 (без ROC)

Пусть Расширяя на интервале это становится ${\displaystyle x[n]=(.5)^{n}\ .}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

${\displaystyle x[n]=\left\{\dots ,(.5)^{-3},(.5)^{-2},(.5)^{-1},1,(.5),(.5)^{2},(.5)^{3},\dots \right\}=\left\{\dots ,2^{3},2^{2},2,1,(.5),(.5)^{2},(.5)^{3},\dots \right\}.}$

Глядя на сумму

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\to \infty .}$

Следовательно, не существует значений, удовлетворяющих этому условию. ${\displaystyle z}$

Пример 2 (причинно-следственная ROC-кривая)

ROC (синий), | z | = .5 (пунктирный черный круг) и единичная окружность (пунктирный серый круг).

Пусть (где — ступенчатая функция Хевисайда ). Расширяя на интервале , получаем ${\displaystyle x[n]=(.5)^{n}\,u[n]}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

${\displaystyle x[n]=\left\{\dots ,0,0,0,1,(.5),(.5)^{2},(.5)^{3},\dots \right\}.}$

Глядя на сумму

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }(.5)^{n}z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {.5}{z}}\right)^{n}={\frac {1}{1-(.5)z^{-1}}}.}$

Последнее равенство вытекает из бесконечной геометрической прогрессии , и равенство выполняется только в том случае, если которое можно переписать в виде Таким образом, ROC имеет вид В этом случае ROC представляет собой комплексную плоскость с «выбитым» в начале координат кругом радиуса 0,5. ${\displaystyle |(.5)z^{-1}|<1,}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|>(.5).}$ ${\displaystyle |z|>(.5).}$

Пример 3 (анти-каузальный ROC)

ROC (синий), | z | = .5 (пунктирный черный круг) и единичная окружность (пунктирный серый круг).

Пусть (где — ступенчатая функция Хевисайда ). Расширяя на интервале , получаем ${\displaystyle x[n]=-(.5)^{n}\,u[-n-1]}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

${\displaystyle x[n]=\left\{\dots ,-(.5)^{-3},-(.5)^{-2},-(.5)^{-1},0,0,0,0,\dots \right\}.}$

Глядя на сумму

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,z^{-n}&=-\sum _{n=-\infty }^{-1}(.5)^{n}\,z^{-n}\\&=-\sum _{m=1}^{\infty }\left({\frac {z}{.5}}\right)^{m}\\&=-{\frac {(.5)^{-1}z}{1-(.5)^{-1}z}}\\&=-{\frac {1}{(.5)z^{-1}-1}}\\&={\frac {1}{1-(.5)z^{-1}}}\\\end{aligned}}}$

и снова используя бесконечную геометрическую прогрессию , равенство выполняется только в том случае, если которое можно переписать в виде Таким образом, ROC имеет вид В этом случае ROC представляет собой диск с центром в начале координат и радиусом 0,5. ${\displaystyle |(.5)^{-1}z|<1}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|<(.5).}$ ${\displaystyle |z|<(.5).}$

Этот пример отличается от предыдущего только ROC. Это сделано намеренно, чтобы продемонстрировать, что одного результата преобразования недостаточно.

Примеры заключения

Примеры 2 и 3 ясно показывают, что Z-преобразование уникально тогда и только тогда, когда задан ROC. Создание графика полюс–ноль для каузального и антикаузального случая показывает, что ROC для любого случая не включает полюс, который находится на 0,5. Это распространяется на случаи с несколькими полюсами: ROC никогда не будет содержать полюсов. ${\displaystyle X(z)}$ ${\displaystyle x[n]}$

В примере 2 каузальная система дает ROC, которая включает в себя, в то время как антикаузальная система в примере 3 дает ROC, которая включает в себя ${\displaystyle |z|=\infty }$ ${\displaystyle |z|=0.}$

ROC показан синим кольцом 0,5 < | z | < 0,75

В системах с несколькими полюсами возможно наличие ROC, который не включает ни ROC создает круговую полосу. Например, ${\displaystyle |z|=\infty }$ ${\displaystyle |z|=0.}$

${\displaystyle x[n]=(.5)^{n}\,u[n]-(.75)^{n}\,u[-n-1]}$

имеет полюса в 0,5 и 0,75. ROC будет 0,5 < | z | < 0,75, что не включает ни начало, ни бесконечность. Такая система называется системой смешанной причинности, поскольку она содержит причинный член и антипричинный член ${\displaystyle (.5)^{n}\,u[n]}$ ${\displaystyle -(.75)^{n}\,u[-n-1].}$

Устойчивость системы также можно определить, зная только ROC. Если ROC содержит единичную окружность (т.е. | z | = 1), то система устойчива. В приведенных выше системах причинная система (пример 2) устойчива, поскольку | z | > 0,5 содержит единичную окружность.

Предположим, что нам предоставлено Z-преобразование системы без ROC (т.е. неоднозначное ). Мы можем определить уникальное при условии, что мы желаем следующего: ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle x[n]}$

• Стабильность
• Причинность

Для устойчивости ROC должна содержать единичную окружность. Если нам нужна каузальная система, то ROC должна содержать бесконечность, а системная функция будет правосторонней последовательностью. Если нам нужна антикаузальная система, то ROC должна содержать начало координат, а системная функция будет левосторонней последовательностью. Если нам нужны и устойчивость, и причинность, все полюса системной функции должны находиться внутри единичной окружности.

Тогда можно найти уникальное . ${\displaystyle x[n]}$

Характеристики

Теорема Парсеваля

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\quad =\quad {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\tfrac {1}{v^{*}}})v^{-1}\mathrm {d} v}$

Теорема о начальном значении : Еслиявляется причинно-следственной, то ${\displaystyle x[n]}$

${\displaystyle x[0]=\lim _{z\to \infty }X(z).}$

Теорема об окончательном значении : Если полюсанаходятся внутри единичной окружности, то ${\displaystyle (z-1)X(z)}$

${\displaystyle x[\infty ]=\lim _{z\to 1}(z-1)X(z).}$

Таблица общих пар Z-преобразований

Здесь:

${\displaystyle u:n\mapsto u[n]={\begin{cases}1,&n\geq 0\\0,&n<0\end{cases}}}$

является единичной (или Хевисайдовой) ступенчатой ​​функцией и

${\displaystyle \delta :n\mapsto \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}}$

является дискретной по времени единичной импульсной функцией (ср. дельта-функцию Дирака , которая является версией с непрерывным временем). Две функции выбираются вместе так, чтобы единичная ступенчатая функция была накоплением (текущим итогом) единичной импульсной функции.

Связь с рядом Фурье и преобразованием Фурье

Для значений в области , известной как единичная окружность , мы можем выразить преобразование как функцию одной действительной переменной , определив И двустороннее преобразование сводится к ряду Фурье : ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|{=}1}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle z{=}e^{j\omega }.}$

которое также известно как дискретное преобразование Фурье (DTFT) последовательности . Эта -периодическая функция является периодическим суммированием преобразования Фурье , что делает ее широко используемым инструментом анализа. Чтобы понять это, пусть будет преобразованием Фурье любой функции, , выборки которой на некотором интервале равны последовательности. Тогда DTFT последовательности можно записать следующим образом. ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle X(f)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle x[n]}$

где имеет единицы секунды, имеет единицы герц . Сравнение двух рядов показывает, что является нормализованной частотой с единицей радиан на выборку . Значение соответствует . И теперь, с заменой Уравнение 1 можно выразить через (преобразование Фурье): ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \omega {=}2\pi fT}$ ${\displaystyle \omega {=}2\pi }$ ${\textstyle f{=}{\frac {1}{T}}}$ ${\textstyle f{=}{\frac {\omega }{2\pi T}},}$ ${\displaystyle X({\tfrac {\omega -2\pi k}{2\pi T}})}$

При изменении параметра T отдельные члены уравнения 2 смещаются дальше друг от друга или ближе друг к другу вдоль оси f . Однако в уравнении 3 центры остаются на расстоянии 2 π друг от друга, в то время как их ширина расширяется или сжимается. Когда последовательность представляет собой импульсную характеристику системы LTI , эти функции также известны как ее частотная характеристика . Когда последовательность периодична, ее DTFT расходится на одной или нескольких гармонических частотах и ​​равна нулю на всех других частотах. Это часто представляется с помощью использования амплитудно-вариантных дельта -функций Дирака на гармонических частотах. Из-за периодичности существует только конечное число уникальных амплитуд, которые легко вычисляются с помощью гораздо более простого дискретного преобразования Фурье (DFT). (См. Дискретное преобразование Фурье § Периодические данные .) ${\displaystyle x(nT)}$ ${\displaystyle x(nT)}$

Связь с преобразованием Лапласа

Билинейная трансформация

Билинейная трансформация может быть использована для преобразования непрерывных по времени фильтров (представленных в области Лапласа) в дискретные по времени фильтры (представленные в области Z) и наоборот. Используется следующая подстановка:

${\displaystyle s={\frac {2}{T}}{\frac {(z-1)}{(z+1)}}}$

преобразовать некоторую функцию в области Лапласа в функцию в Z-области ( преобразование Тастина ), или ${\displaystyle H(s)}$ ${\displaystyle H(z)}$

${\displaystyle z=e^{sT}\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}}$

из Z-области в область Лапласа. С помощью билинейного преобразования комплексная s- плоскость (преобразования Лапласа) отображается в комплексную z-плоскость (z-преобразования). Хотя это отображение (обязательно) нелинейно, оно полезно тем, что отображает всю ось s -плоскости на единичную окружность в z-плоскости. Таким образом, преобразование Фурье (которое является преобразованием Лапласа, вычисленным на оси) становится дискретным по времени преобразованием Фурье. Это предполагает, что преобразование Фурье существует; т. е. что ось находится в области сходимости преобразования Лапласа. ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle j\omega }$

Звездное преобразование

При наличии одностороннего Z-преобразования функции с временной выборкой соответствующее звездчатое преобразование создает преобразование Лапласа и восстанавливает зависимость от (параметра выборки): ${\displaystyle X(z)}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\bigg .}X^{*}(s)=X(z){\bigg |}_{\displaystyle z=e^{sT}}}$

Обратное преобразование Лапласа — это математическая абстракция, известная как функция импульсной выборки .

Линейное дифференциальное уравнение с постоянным коэффициентом

Линейное уравнение разности постоянных коэффициентов (LCCD) представляет собой представление линейной системы, основанной на уравнении авторегрессии скользящего среднего :

${\displaystyle \sum _{p=0}^{N}y[n-p]\alpha _{p}=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}.}$

Обе стороны уравнения выше можно разделить на если оно не равно нулю. Нормализуя с помощью LCCD уравнение можно записать ${\displaystyle \alpha _{0}}$ ${\displaystyle \alpha _{0}{=}1,}$

${\displaystyle y[n]=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}-\sum _{p=1}^{N}y[n-p]\alpha _{p}.}$

Эта форма уравнения LCCD благоприятна для того, чтобы сделать более явным тот факт, что «текущий» выход является функцией прошлых выходов, текущего входа и предыдущих входов. ${\displaystyle y[n]}$ ${\displaystyle y[n-p],}$ ${\displaystyle x[n],}$ ${\displaystyle x[n-q].}$

Передаточная функция

Применяя Z-преобразование к приведенному выше уравнению (используя законы линейности и сдвига во времени), получаем:

${\displaystyle Y(z)\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}=X(z)\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}$

где и являются z-преобразованием и соответственно. (В соглашениях об обозначениях обычно используются заглавные буквы для обозначения z-преобразования сигнала, обозначенного соответствующей строчной буквой, аналогично соглашению, используемому для обозначения преобразований Лапласа.) ${\displaystyle X(z)}$ ${\displaystyle Y(z)}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle y[n],}$

Перестановка результатов в передаточной функции системы :

${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}{\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}}}={\frac {\beta _{0}+z^{-1}\beta _{1}+z^{-2}\beta _{2}+\cdots +z^{-M}\beta _{M}}{\alpha _{0}+z^{-1}\alpha _{1}+z^{-2}\alpha _{2}+\cdots +z^{-N}\alpha _{N}}}.}$

Нули и полюса

Из основной теоремы алгебры числитель имеет корни (соответствующие нулям ), а знаменатель имеет корни (соответствующие полюсам). Переписываем передаточную функцию в терминах нулей и полюсов ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle H(z)={\frac {(1-q_{1}z^{-1})(1-q_{2}z^{-1})\cdots (1-q_{M}z^{-1})}{(1-p_{1}z^{-1})(1-p_{2}z^{-1})\cdots (1-p_{N}z^{-1})}},}$

где — ноль, а — полюс. Нули и полюса обычно являются комплексными, и при построении на комплексной плоскости (z-плоскости) это называется графиком полюс–ноль . ${\displaystyle q_{k}}$ ${\displaystyle k^{\text{th}}}$ ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle k^{\text{th}}}$

Кроме того, могут существовать также нули и полюса в и Если принять во внимание эти полюса и нули, а также нули и полюса нескольких порядков, то количество нулей и полюсов всегда одинаково. ${\displaystyle z{=}0}$ ${\displaystyle z{=}\infty .}$

Факторизуя знаменатель, можно использовать разложение дроби , которое затем можно преобразовать обратно во временную область. Это приведет к импульсному отклику и линейному уравнению разности постоянных коэффициентов системы.

Выходной ответ

Если такая система управляется сигналом , то выход будет Выполняя частичное дробное разложение на и затем выполняя обратное Z-преобразование, выход может быть найден. На практике часто бывает полезно дробно разложить перед умножением этой величины на для генерации формы , которая имеет члены с легко вычисляемыми обратными Z-преобразованиями. ${\displaystyle H(z)}$ ${\displaystyle X(z)}$ ${\displaystyle Y(z)=H(z)X(z).}$ ${\displaystyle Y(z)}$ ${\displaystyle y[n]}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {Y(z)}{z}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle Y(z)}$

Смотрите также

• Расширенное Z-преобразование
• Билинейная трансформация
• Разностное уравнение (рекуррентное соотношение)
• Дискретная свертка
• Дискретное преобразование Фурье
• Конечный импульсный отклик
• Формальный степенной ряд
• Производящая функция
• Производящая функция преобразования
• Преобразование Лапласа
• Серия Лорана
• Спектральный анализ методом наименьших квадратов
• Функция генерации вероятности
• Звездное преобразование
• Зак трансформируется
• Регуляризация дзета-функции

Ссылки

1. Мандал, Джотсна Кумар (2020). " Обратимое кодирование на основе Z -преобразования". Обратимая стеганография и аутентификация с помощью кодирования-преобразования . Исследования в области вычислительного интеллекта. Т. 901. Сингапур: Springer Singapore. С. 157–195. doi :10.1007/978-981-15-4397-5_7. ISBN 978-981-15-4396-8. ISSN  1860-949X. S2CID  226413693. Z — комплексная переменная. Z-преобразование преобразует дискретный сигнал пространственной области в комплексное представление частотной области. Z-преобразование выводится из преобразования Лапласа.
2. Линн, Пол А. (1986). «Преобразование Лапласа и z -преобразование». Электронные сигналы и системы . Лондон: Macmillan Education UK. С. 225–272. doi :10.1007/978-1-349-18461-3_6. ISBN 978-0-333-39164-8. Преобразование Лапласа и z -преобразование тесно связаны с преобразованием Фурье. z -преобразование особенно подходит для работы с дискретными сигналами и системами. Оно предлагает более компактную и удобную запись, чем дискретное преобразование Фурье.
3. Палани, С. (2021-08-26). « Анализ z -преобразования дискретных сигналов и систем времени». Сигналы и системы . Cham: Springer International Publishing. стр. 921–1055. doi :10.1007/978-3-030-75742-7_9. ISBN 978-3-030-75741-0. S2CID  238692483. z -преобразование является дискретным аналогом преобразования Лапласа. z -преобразование преобразует разностные уравнения дискретных временных систем в алгебраические уравнения, что упрощает анализ дискретных временных систем. Преобразование Лапласа и z -преобразование являются общими, за исключением того, что преобразование Лапласа имеет дело с непрерывными во времени сигналами и системами.
4. Э. Р. Канасевич (1981). Анализ временных последовательностей в геофизике. Университет Альберты. стр. 186, 249. ISBN. 978-0-88864-074-1.
5. ER Kanasewich (1981). Анализ временной последовательности в геофизике (3-е изд.). Университет Альберты. С. 185–186. ISBN 978-0-88864-074-1.
6. Рагаццини, Дж. Р.; Заде, ЛА (1952). «Анализ систем выборочных данных». Труды Американского института инженеров-электриков, часть II: приложения и промышленность . 71 (5): 225–234. doi :10.1109/TAI.1952.6371274. S2CID  51674188.
7. Корнелиус Т. Леондес (1996). Реализация цифровых систем управления и вычислительные методы. Academic Press. стр. 123. ISBN 978-0-12-012779-5.
8. Элиаху Ибрагим Джури (1958). Системы управления выборочными данными . John Wiley & Sons.
9. Элиаху Ибрагим Жюри (1973). Теория и применение метода Z-преобразования . Krieger Pub Co. ISBN 0-88275-122-0.
10. Элиаху Ибрагим Джури (1964). Теория и применение метода Z-преобразования . John Wiley & Sons. стр. 1.
11. Джексон, Леланд Б. (1996). «Z-преобразование». Цифровые фильтры и обработка сигналов . Бостон, Массачусетс: Springer US. стр. 29–54. doi :10.1007/978-1-4757-2458-5_3. ISBN 978-1-4419-5153-3. z-преобразование для систем с дискретным временем является тем же, чем преобразование Лапласа для систем с непрерывным временем. z — комплексная переменная. Иногда это называют двусторонним z- преобразованием, при этом одностороннее z-преобразование является тем же самым, за исключением суммирования от n = 0 до бесконечности. Основное применение одностороннего преобразования ... — для причинно-следственных последовательностей, в этом случае два преобразования в любом случае одинаковы. Поэтому мы не будем делать этого различия и будем называть ... просто z-преобразованием x ( n ).
12. Прокис, Джон; Манолакис, Димитрис. Принципы цифровой обработки сигналов, алгоритмы и приложения (3-е изд.). PRENTICE-HALL INTERNATIONAL, INC.
13. Больцерн, Паоло; Скаттолини, Риккардо; Скьявони, Никола (2015). Fondamenti di Controlli Automatici (на итальянском языке). MC Graw Hill Education. ISBN 978-88-386-6882-1.
14. AR Forouzan (2016). "Область сходимости производной Z-преобразования". Electronics Letters . 52 (8): 617–619. Bibcode : 2016ElL....52..617F. doi : 10.1049/el.2016.0189. S2CID  124802942.

Дальнейшее чтение

• Рефаат Эль Аттар, Конспект лекций по Z-преобразованию , Lulu Press, Моррисвилл, Северная Каролина, 2005. ISBN 1-4116-1979-X . 
• Огата, Кацухико, Дискретные системы управления временем, 2-е изд ., Prentice-Hall Inc, 1995, 1987. ISBN 0-13-034281-5 . 
• Алан В. Оппенгейм и Рональд В. Шефер (1999). Обработка сигналов в дискретном времени, 2-е издание, Серия обработки сигналов Prentice Hall. ISBN 0-13-754920-2 . 

Внешние ссылки

• «Z-преобразование». Энциклопедия математики . EMS Press . 2001 [1994].
• Меррих-Баят, Фаршад (2014). «Два метода численного обращения Z-преобразования». arXiv : 1409.1727 [math.NA].
• Таблица Z-преобразований некоторых распространенных преобразований Лапласа
• Запись Mathworld о Z-преобразовании
• Потоки Z-Transform в Comp.DSP
• График взаимосвязи между s-плоскостью преобразования Лапласа и Z-плоскостью преобразования Z
• Видеообъяснение Z-преобразования для инженеров
• Что такое z-преобразование?